湖南长沙市铁路第一中学2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南长沙市铁路第一中学2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，且，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】D2.若，则（）A. B. C. D.【答案】D3.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B4.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】C5.已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A.，互斥 B.C. D.【答案】C7.如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖．可放小球的最大半径为．若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则（）A. B.C. D.【答案】D8.已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（）A.函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4B.三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2C.数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4D.立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6【答案】AC10.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（）A.焦点到抛物线的准线的距离为8B.C.若的中点的横坐标为3，则D.若，则【答案】BCD11.已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则所有可能取值的集合为C.若，则D.若为正整数，则的前项和为【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的图象在点处的切线方程为__________.【答案】13.的展开式中所有项的系数和为__________．【答案】24314.已知函数，若存在实数，使函数至少有两个不同的零点，则的取值范围是___________.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前n项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，求的表达式．解：（1）因为，所以（，）．所以（，）．又也满足上式，所以数列的通项公式为；（2）由（1）知，所以，．两式作差得，．16.为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响．（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望．解：（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为．设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，则．（2）由题意可知，3，4，5，则，，，，故X的分布列为X2345P．17.如图，在直三棱柱中，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：连接交于，∵三棱柱为直棱柱，平面，∵平面，∴，∵.∴四边形为正方形，∴，，，，平面.平面，∵平面，∴.又，，平面.平面.平面，.（2）解：以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系.由题意得：.则.设平面的法向量为.则，令，则..直线与平面所成角的正弦值为.（3）解：存在，理由如下：设()，则，.若平面，则，解得，存在点，使平面，此时.18.设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点．（1）求轨迹W的方程；（2）过点的动直线与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线交于点C．过点F作直线，直线与直线，分别交于点D，E．（ⅰ）证明：为定值；（ⅱ）若的面积与的面积之比为，求点Q的坐标．（1）解：设动点为．则由直线，斜率之积为3，得，整理可得．因此轨迹W的方程为．（2）（ⅰ）证明：设直线的方程为，，，则．由得，．故，直线的方程为，直线的方程为，由解得．同理解得．故，因此．即点F是线段的中点，因此为定值．（ⅱ）解：方法一：不妨假设点P在第二象限，点Q在第一象限，此时，，得．由题意（*）．由（ⅰ）得，．代入（*）化简得，得，即，解得或（舍去），因此，代入双曲线方程得．由对称性可得当点Q在第四象限时，，．因此点Q的坐标为．方法二：由题意，利用结合，可得．不妨设，则，得，，得．因此，得．解得（负值舍去）．故，因此，代入双曲线方程得，因此点Q的坐标为．方法三：不妨设，，．因为利用结合，得，由，得，化简得，解得．因此．故，因此，代入双曲线方程得，因此点Q的坐标为．19.已知，函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）证明：当时，对任意，，都有；（3）若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围.（1）解：由，得.令，解得，，当时，；当时，；当时，.所以在、上单调递增，在上单调递减，因此，的极小值为.（2）证明：当时，，其中时取等号，所以为增函数，对任意的，，不妨设，则，又，所以为增函数，得，即，故.（3）解：由题意，不妨设，，因为，所以，整理得，，令，，.①当时，，此时.②当时，令，解得，因此，在上单