吉林省普通中学2026届高三下学期第三次调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省普通中学2026届高三下学期第三次调研测试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】联立方程，解得，所以.2.若经过，两点的直线的方向向量为，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由，，可得直线的斜率为.由直线方向向量为，可得直线斜率为，所以.3.等比数列中，，，则（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】因为为等比数列，所以，解得或（舍），则，设公比为q，则，所以.4.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】由题意得，故，，由椭圆定义得，故的周长为.故选：B.5.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】B【解析】A，由，，则平行或异面，错，B，由，，根据线面垂直的性质，垂直于任意平行于的直线，故，对，C，由，，则或，错，D，由，，则或或相交但不一定垂直，错.6.已知集合，集合，且，.记事件“函数是幂函数”，事件“函数在上单调递增”，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设样本空间为，则，对于事件“函数是幂函数”，可知，则，可得，对于事件“幂函数在上单调递增”，则，则，可得，所以.7.已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】因为方程表示圆，所以或.当时，方程可化为，不表示圆；当时，方程可化为，表示圆的圆心为.故选项B正确.8.已知函数，对于正实数，定义集合，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当，且时，此时，则，解得，不符合题意；当且时，，所以，整理得，在且内有根，则在且内有根，即与图象在且内有交点，由图象可得，符合题意；当，则，此时，则，解得，不符合题意；综上，的取值范围是.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，则（）A.展开式共有7项 B.常数项是第4项C.各二项式系数的和为 D.各项系数的和为【答案】ABC【解析】由知，其展开式共有7项，且二项式系数的和为，A、C对，由该二项式的展开式的通项为，令，则常数项为第四项，B对，令，则各项系数的和为，D错.10.在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（）A.圆的面积为 B.椭圆的长轴长为C.抛物线的焦点到准线的距离为1 D.双曲线的离心率为【答案】AD【解析】由题意底面半径为1，圆锥高，对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的，即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确；对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为，为母线的中点，，，椭圆的长轴长，B错误；对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为，以为x轴，在平面中建立平面直角坐标系，则，，设抛物线方程为，则，解得：，则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误.对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等，则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为，设双曲线方程为，则，将代入双曲线方程得，解得，所以，故双曲线的离心率为，D正确.11.设等差数列的前n项和为，且，.设，数列的前n项和为，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】因为，即，且，则，所以等差数列的公差，，故A正确；所以，故B错误；因为，则，即，所以，即，所以，所以，故CD正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.12.已知随机变量，若，则______.【答案】【解析】因为，且，所以，所以.13.若双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为________.【答案】或【解析】渐近线变形为，若焦点在x轴，则，则离心率；若焦点在y轴，则，则.14.已知函数存在极值，则实数a的取值范围是_______，若对，恒成立，则实数a的最大值为_______.【答案】；【解析】空一：由，，则，当时，，则函数在上单调递增，此时函数无极值；当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则函数在时取得极大值.综上所述，要使函数存在极值，则实数a的取值范围是.空二：由，则，即对恒成立，设，，设，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立，而函数与在上有一个交点，则方程有解，则，即，则，所以实数a的最大值为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知抛物线C：的焦点F到直线的距离为.（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点的直线与抛物线C交于M，N两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程.解：（1）抛物线的焦点坐标为，所以焦点到直线的距离为：.解得：.所以，抛物线的标准方程为：.（2）由题意设过点的直线方程为，设.联立方程，消去得：，所以，，所以，由弦长公式，.原点到直线的距离为.所以，化简可得：，解得

，即.所以直线方程为：或，即或.16.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，若函数有唯一零点，求实数的取值范围.解：（1）当

​

时，，求导得：

，即切线斜率

，且

，切点为

，切线方程是：，即.（2）当

时，，，有唯一零点等价于方程

有唯一实根，令

，求导得：

，

令

，得

，当，，单调递增；当时，，单调递减；当，，单调递增，所以极大值，极小值

；又

时

，时

，恒成立，画出函数图象，如下：结合图象可知当或时，与有一个交点，故函数有唯一零点，求实数的取值范围是.17.某公司开展“每月幸运抽好礼”活动，规则如下：在抽奖箱中放入标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外无任何差异，每位参与者从抽奖箱中随机抽取1个球，抽到3号球即可获得礼品，每次抽取后将球放回抽奖箱中，每位员工每月仅参与一次.（1）设该公司A部门有4位员工参加该活动，用X表示获得礼品的人数，求X的分布列和数学期望；（2）该公司B部门有20位员工参加该活动，用Y表示获得礼品的人数，令，，若为数列的最大项，求k的值.解：（1）由题意，每次抽奖抽到奖品的概率为，4位员工抽奖是独立重复试验，因此，即，，，，，，因此的分布列为：01234P由二项分布期望公式，数学期望（2）由题意，，作商得：

，，当，即时，​，即，当，即时，，即，数列递减；因此为最大项，即.18.在平面四边形中，，.（1）若.（i）若A，B，C，D四点共圆M，求；（ii）求四边形面积S的最大值.（2）若，，与交于点.记，求当为何值时，.解：（1）设，，其中，在中，由余弦定理可得；在中，由余弦定理可得；即，可得.（i）若A，B，C，D四点共圆M，则，可得，，由可得，即，则，即；（ii）因为四边形面积，即，且，又因为，当且仅当时，等号成立即，解得，所以四边形面积S的最大值为.（2）在中，由余弦定理可得，即，则，即，因为，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径，则，且，可知，若，则，即，可得，又因为，则，可得，解得，所以当时，.19.如图，在四棱锥中，平面平面，点M，N在线段上，，.（1）求证：；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值；（3）若垂直且平分，E是的中点，于点F，且，求三棱锥外接球H的表面积S的最小值.（1）证明：因为，，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：连接，因为，所以，且，由（1）知，平面，因为平面，所以，又，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则m⋅BP=-2x+2z=0m⋅设平面的一个法向量为，则n⋅BP=-2x1设平面与平面的夹角为，则，平面与平面的夹角的余弦值为.（3）解：由（1）知，，而，，可得为等腰直角三角形，则，又E是的中点，则，因为，，