吉林省长春市汽车经济技术开发区第六中学2026届高三下学期二模数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省长春市汽车经济技术开发区第六中学2026届高三下学期二模试卷第Ⅰ卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A2.已知复数，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B3.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C4.已知直线和平面，下列表述正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A6.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，为的中点，则线段的长度为（）A. B. C. D.【答案】C7.已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A8.已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（）A.80 B.75 C.70 D.65【答案】B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（）A. B.C.的周长为 D.的面积为【答案】BD10.在棱长为2的正方体中，M为边的中点，下列结论正确的有（）A.与所成角的余弦值为B.过三点A、M、的截面面积为C.四面体的内切球的表面积为D.E是边的中点，F是边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．【答案】AD11.若无穷数列存在满足：①为等差数列；②为等比数列；③对任意正整数恒成立，则称数列为“项等差-等比过渡循环数列”.已知前项和为的数列为“项等差-等比过渡循环数列”，且，，则（）A.若，则B.若，则C.若，则的值可以为11D.不存在，使得【答案】ABD三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知等差数列的前项和为，，，则__________．【答案】110013.已知抛物线的焦点是双曲线：的右焦点，点是两曲线的一个公共点，为坐标原点．若，则的离心率为__________．【答案】14.三棱锥的一组对棱长为，其余四条棱长均为1，则该三棱锥体积最大值为______________.【答案】第Ⅱ卷四、解答题：（本题共5小题，共77分.其中第15题满分13分，第16、17题满分15分，第18、19题满分17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：.解：（1）设的公比为，由知，，由得，.（2）证明：由题知，所以，.16.已知函数的一段图象过点，如图所示．（1）求函数的表达式；（2）将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；（3）若，求的值.解：（1）由图知，，则.由图可得，在处最大值，又因为图象经过，故，所以，故，又因为，所以，函数又经过，故，得.所以函数的表达式为．（2）由题意得，，因为，所以，则，所以，所以在区间上的值域为.（3）因为，所以，即，又因为，所以，由，所以.所以，所以.17.如图，在四棱锥中，平面，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）设平面．（i）求实数的值；（ii）求二面角的正弦值．（1）证明：以为原点，以、、的正方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系，则：，，即．又平面知，由，则平面．（2）解：（i），平面的一个法向量为，显然，故平面，而平面平面，于是，设；（ii）由（i），设平面的一个法向量分别为，则：，取，则，即．设平面的一个法向量分别为，，取．则，即，．设二面角的平面角为，则，，，，，，即二面角的正弦值为．18.已知一动圆的圆心为，该动圆与圆外切，同时与圆内切.（1）求该动圆圆心的轨迹方程；（2）设圆心的轨迹为曲线.点在曲线上（异于顶点），，，，直线交轴于点，若的面积是的面积的两倍，求的值.解：（1）设动圆的半径为.由题意，圆与圆的标准方程分别为和，故，半径，，半径，由题意得，，故，由椭圆的定义，得圆心的轨迹是焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆.，，故，故圆心的轨迹方程为.（2）由（1）知，曲线即椭圆.由题意，点，是椭圆的左、右顶点.由题意知，直线的斜率一定存在，设为，则，且，直线的方程为，则设，由消去，整理得.由题意得，故，故，又点到直线的距离，故.又，由题意，化简得，解得或当时，，则；当时，，则.综上，的值为或.19.已知函数在点处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）设．（i）证明：存在唯一极小值；（ii）设的极小值点为，证明：．（1）解：因为在点处的切线方程为，即.所以切线的斜率为，且当时，.因为，所以，所以，所以.（2）证明：（i）因为，其定义域为.所以.令，得或，设，所以在上恒成立，所以在上单调递减.又，所以存在唯一，使．故时，，单调递减，时