北师大版数学 4.3多边形和圆的初步认识 学案 含答案

4.3多边形和圆的初步认识（导学案）（解析版）1.教学目标（1）经历从现实世界中抽象出多边形、圆的有关概念的过程，发展抽象能力。（2）结合实例了解多边形、正多边形、圆、扇形。（3）能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数。（4）在活动中发展有条理的思考和表达能力。重点：为从现实世界中抽象出平面图形的过程，在具体的情境中认识多边形、正多边形、圆、扇形。难点：感受图形世界的丰富图形，养成把数学应用于生活实际问题的习惯。第一环节自主学习温故知新：观察图4-31，你能发现哪些熟悉的平面图形?与同伴进行交流。新知自研：自研课本第128--130页的内容【学法指导】自研课本P128-130页内容，思考：(一)多边形再认识问题：请你画出看到的多边形，你能给出多边形的定义吗?（1）三角形、四边形、五边形的共同特征是什么?三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。（2）这些图形是由线段如何组成的?不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形（3）你能给出多边形的定义吗？多边形:由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形(我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧)。（4）多边形有哪些相关要素？指出下图多边形的各个元素？多边形的边:组成多边形的各条线段。多边形的顶点:相邻两条边的公共端点。多边形的内角:过多边形一个顶点两条边构成的角。多边形的对角线:连接不相邻两个顶点的线段。如图4-32，在多边形ABCDE中，点A，B，C，D，E是多边形的顶点;线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边;∠EAB，∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEA是多边形的内角(可简称为多边形的角);AC，AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的对角线。（二）多边形的边数与各个元素之间数量关系（1）n边形有多少个顶点、多少条边？多少个内角?n边形有n个顶点、n条边、n个内角。（2）过n边形的每一个顶点有几条对角线?一共有几条对角线过n边形的每一个顶点和其余的（n－3）个顶点之间都构成一条对角线，有（n－3）条对角线；n边形有n个顶点，共有条对角线条对角线。（三）正多边形观察下图的多边形，它们的边、角有什么特点?与同伴进行交流。（1）上面的多边形的边有什么特点？角呢？边都相等；角相等。（2）什么样的多边叫正多边形？上图中的多边形叫什么？各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。上图分别是正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形。（3）现实生活中有许多正多边形的实例，你能举出例子吗?略（四）圆再认识下图中的图形中有我们熟悉的圆和扇形，你还记得用哪些方法可以画一个圆吗?你能用一根细绳和笔画出一个圆吗?（1）结合刚才的操作，你能给圆下个定义吗?如图，平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点0称为圆心，线段OA称为半径。（2）圆的相关要素有哪些？圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧;由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形;顶点在圆心的角叫作圆心角。【自研自探】自研课本128-130页例题内容，回答问题：典例分析例1.如图，将四边形剪去一个角，剩下的部分是几边形？【分析】根据所剪位置进行讨论，确定剩下部分是几边形。【详解】过邻边上的两点（不含顶点)剪,如图①，剩下部分是五边形；过一个顶点和另一边上的一个点剪,如图②，剩下部分是四边形；过不相邻的两顶点剪,如图③，剩下部分是三角形。例2.过十边形的一个顶点有多少条对角线？它一共有多少条对角线？【分析】过n边形的每一个顶点和其余的（n－3）个顶点之间都构成一条对角线，有（n－3）条对角线；n边形有n个顶点，共有条对角线条对角线。【详解】过十边形的一个顶点对角线条数是：(条)过十边形共有对角线条数是：(条).例3：如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为()A.34cmB.32cmC.30cmD.28cm【分析】正三角形和正六边形的边长分别相等。【详解】正三角形和正六边形的边长分别相等，得到正六边形木板的边长为正三角形边长的，所以正六边形木板的边长为（cm），故选Ｃ。例4.将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数。【分析】一个周角为360º，按圆心角的度数比求出这三个扇形的圆心角的度数。【详解】解:因为一个周角为360º，所以分成的三个扇形的圆心角分别是：，，第二环节合作探究1.讨论怎样给出多边形的定义吗？多边形有哪些相关要素？2.讨论n边形有多少个顶点、多少条边？多少个内角?过n边形的每一个顶点有几条对角线?一共有几条对角线？3.讨论什么样的多边叫正多边形？4.讨论如何能给圆下个定义?圆的相关要素有哪些？5.拓展提升：1.阅读材料:多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形,图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数，试把这一结论推广至n边形.【详解】图2分别将六边形分割成了4个、5个、6个小三角形；把这一结论推广至n边形时，割成了（n－2）个、(n−1)个、n个小三角形。具体如下：在六边形的一个顶点处，连接该顶点与六边形的其他3个顶点，可将六边形分割成4个小三角形。在六边形的一条边上取一点（非顶点），连接该点与六边形的其他4个顶点，可将六边形分割成5个小三角形。在六边形的内部取一点，连接该点与六边形的6个顶点，可将六边形分割成6个小三角形。推广至n边形时，结论如下：若点取在n边形的一个顶点处，连接该顶点与n边形的其他n−3个顶点，可将n边形分割成(n－2)个小三角形。若点取在n边形的一条边上（非顶点），连接该点与n边形的其他n−2个顶点，可将n边形分割成(n−1)个小三角形。若点取在n边形的内部，连接该点与n边形的n个顶点，可将n边形分割成n个小三角形。2.如图所示，两个圆的圆心相同，圆环的面积是8，求阴影部分的面积(结果保留π).【详解】设大圆的半径为，小圆的半径为，则阴影部分的面积为；因为圆环的面积是8，所以，所以。课本课堂练习1现实生活中有许多正多边形的实例，试举出两例。2.如图，将一个圆分割成三个扇形，求这三个扇形的圆心角的度数。答案：1.略。2.∠BOC=180°，∠AOB=72°,∠A0C=108°。1.（2024－2025上，金安期末）过多边形一个顶点与其他顶点连线把图形分割成三角形，可以分成4个三角形的是()A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形【详解】过多边形一个顶点与其他顶点连线把图形分割成（n－2）个三角形，所以n－2＝4，即n＝6.2.（2024－2025上，南京期末）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆，有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地，老鼠见猫沿着大半圆行走它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走，假设猫和老鼠行走的速度相同，那么______先到达B地【详解】根据圆的周长公式，猫和老鼠走的路程一样长，同时到达。3.（2024－2025上，淮安期末）画出下面各图中多边形的所有对角线.【详解】分别将三个图形中的与每个顶点不相邻的顶点连接起来，如图所示，即为所求:1.多边形:由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形(我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧)。多边形的边:组成多边形的各条线段。多边形的顶点:相邻两条边的公共端点。多边形的内角:过多边形一个顶点两条边构成的角。多边形的对角线:连接不相邻两个顶点的线段。2.过n边形的每一个顶点和其余的（n－3）个顶点之间都构成一条对角线，有（n－3）条对角线；n