2026年小升初数学专项复习：第九章 排列组合（A组）

1.现有0、1、2、3、4五张数字卡片。

(1)可以组成多少个三位数？

(2)可以组成多少个没有重复数字的三位数？

(3)可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？

(4)可以组成多少个小于1000的自然数？

2.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？

(1)某两人必须入选；

(2)某两人中至少有一人入选。

3.七个同学照相，分别求出在卜列条件卜有多少种站法？

(1)七个人排成一排：

(2)七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间。

4.从1到99的所有自然数中，不含数字2的自然数有多少个？

5.用1、2、3、4可组成多少个没有重复数字的三位数并且是双数？

6.在自然数。〜9中任意选三个不同的数，使得它们的积是偶数，共有多少种不同选法？

7.如下图，从A到B,要求按照从左到右，从下到上，从左下向右上的走法，有多少种不

同走法？

8.1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一

个乘号)，可以得到多少个不同的乘积？

9.面值为I元、2元、5元、10元币各一张，从中任取其一或若干，共能凑出多少种不同

面值？

10.如图所示，按照向右或向上的方向，沿着方格线从A到B,共有多少种不同走法？

试卷第1页，共2页

B

试卷第2页，共2页

参考答案：

1.(1)10()

⑵48

(3)30

(4)125

【难度】0.27

【知识点】排列组合

【分析】(1)组成三位数时，百位不能为0,有4种选择，十位、个位各有5种选择，根据

分步乘法计数原理，总数为4x5x5=100。

(2)组成没有重复数字的三位数时，先从1—4中选I个排百位，再依次从剩余4个数字中

选I个排十位、剩余3个数字中选I个排个位，总数为4x4x3=48。

(3)组成没有重复数字的三位偶数，需按个位数字分类讨论：个位为0时，百位从1一4

中选1个、十位从剩余3个数字中选1个，数量为4x3x1=12；个位为2或4时，个位有2

种选择，百位从剩余非0数字中选1个、十位从剩余3个数字中选1个，数量3x3x2=18,

再将两类数量相加。

(4)组成小于1000的自然数，包含一位数、两位数和三位数：一位数有5个，两位数为

4x5=20个，三位数按(1)的结论有100个，再根据分类加法计数原理求和。

【详解】(1)此问未限制数字不可重复，视为数字组合问题。

百位：不能为0,可选1、2、3、4,共4种选择。

十位：可选0、1、2、3、4,共5种选择。

个位：可选0、1、2、3、4,共5种选择。

根据乘法原理：4x5x5=100

答：可以组成100个三位数。

(2)此问限制数字不可重复。

百位：不能为0,可选1、2、3、4,共4种选择。

十位：不能与百位重复，可选剩余4个数字，共4种选择。

个位：不能与百位、十位重复，可选剩余3个数字，共3种选择。

根据乘法原理：4x4x3=48(个)

答：可以组成48个没有重复数字的三位数。

(3)此间限制数字不可重复且为偶数，需根据个位数字分类讨论。

答案第1页，共7页

情况一：个位是0

个位：1种选择。

百位：不能为0,可选1、2、3、4,共4种选择。

十位：不能与百位、个位重匆:，可选剩余3个数字，共3种选择。

数量：4x3x1=12（个）

情况二：个位是2或4

个位：可选2、4,共2种选择。

百位：不能为0且不能与个位重复，可选剩余3个数字，共3种选择。

十位：不能与百位、个位重复（可以是0）,可选剩余3个数字，共3种选择。

数量:3x3x2=18（个）

总计：12+18=30（个）

答：可以组成3（）个没有市纪数字的三位偶数。

（4）此问未限制数字不可重复，包含一位数、两位数和三位数。

一位数：可选0、1、2、3、4,共5个。

两位数：

十位：不能为0,可选1、2、3、4,共4种选择。

个位：可选0、1、2、3、4,共5种选择。

数量：4x5=20（个）

三位数：

由第（1）题可知，共100lo

总计：5+20+100=125（个）

答：可以组成125个小于1000的自然数。

【点睛】这类数字排列问题，核心是用好乘法原理.，同时注意首位不能为0、是否允许重复、

偶数个位限制等这些关键条件，按要求分步确定每位的选择数，再相乘得到结果。

2.（1）286种

（2）1716种

【难度】0.62

【知识点】排列组合

【分析】（1）既然某两人必须入选，那么只需要从剩下的13名同学中再选出3人即可满足

条件。

答案第2页，共7页

（2）要求某两人中至少有一人入选，直接分类讨论较为复杂，可以采用排除法（互补法）。

即用从15人中任选5人的总选法，减去某两人都不入选（即从剩下的13人中选5人）的选

法，即可得到至少有•人入选的选法。

【详解】（1）某两人必须入选：

剩余可选人数：15-2=13（人）

还需选出人数：5-2=3（A）

选法数量为:

13x12x11

=286（种）

3=3x2x1

答：某两人必须入选有286种选法。

（2）某两人中至少有一人入选:

方法一：总选法减去两人都不入选的选法。

从15人中选5人的总选法:

15x14x13x12x11

3003（种）

5x4x3x2xl

某两人都不入选，即从剩下的13人中选5人:

13x12x11x10x9

党==1287（种）

5x4x3x2xl

至少有一人入选的选法:

3003-1287=1716（种）

答：某两人中至少有一人入选有1716种选法。

3.（1）5040种

⑵1440种

【难度】0.67

【知识点】乘法原理、排列组合

【分析】＜1）7个人排成-排，相当丁7个人全排列。

（2）首先确定中间位置，某两人中必有一人站在中间，有2种选择：中间位置确定后，其

余6个位置由剩下的6人进行全排列，最后将两步的结果相乘。

【详解】（1）=71=5040（种）

答：七个人排成一排有5040种站法。

（2）七个人排成一排，共有7个位置，中间位置为第4个位置确定中间位置的人选，某

答案第3页，共7页

两人中必须有一人站在中旬，有2种选法。第二步：剩余6人全排列。

2x4=2x61=1440（种）

答：七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间有1440种站法。

4.80个

【难度】0.65

【知识点】乘法原理、排列组合

【分析】将从1到99的自然数按照位数分为一位数和两位数两类。分别找出一位数和两位

数中不含数字2的数的个数，最后将两类数的个数相加即可得到总数。

【详解】从1到99的所有自然数可分为两大类，即一位数和两位数。

一位数中，不含数字2的有8个，它们是1、3、4、5、6、7、8、9；

两位数中，不含数字2的可以这样考虑：

十位上，不含2、0的有1、3、4、5、6、7、8、9这8种情况；

个位上，不含2的有（）、I、3、4、5、6、7、8、9这9种情况。

要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有：8x9=72（个）

根据加法原理，从I到99的所有自然数中，不含有数字2的自然数一共有：8+72=80（个）

答：不含有数字2的自然数有80个。

5.12个

【难度】0.65

【知识点】数字中的组合问题

【分析】由题意知，需要组成没有重复数字的三位数并且是双数，那就可以确定个位是2

或4,然后列举所有可能的组合，数出个数即可。

【详解】个位为2时，三位数有：132、312、142、412、342、432,6个数；

个位为4时，三位数有：124、214、134、314、234、324,6个数；

能组成没有重复数字的三位数并且是双数有：6+6=12（个）

答：用1、2、3、4可组成12个没有重复数字的三位数并且是双数。

6.60种

【难度】（）.65

【知识点】排列组合

【分析】根据奇偶数的运算性质，三个数的积是偶数，意味着这三个数中至少有一个是偶数;

答案第4页，共7页

反之，如果三个数的积是奇数，则这三个数必须全部是奇数。直接计算积为偶数的情况较为

复杂(包含1个偶数、2个偶数、3个偶数三种情况)，因此采用“排除法”思考：用从10个

数中任选3个数的总选法，减去三个数全是奇数的选法，就是为枳是偶数的选法。计算选法

数量时，需注意选取的三个数不分顺序。

【详解】。〜9共10个数，从10个数中任选3个不同的数，不考虑顺序。

4=(10x9x8)+(3x2x1)

=720+6

=120(种)

0〜9共有5个奇数，从5个奇数中任选3个不同的数，不考虑顺序。

Cj=(5x4x3)+(3x2x1)

=60+6

=10(种)

积是偶数的选法：120—10=110(种)

答：共有110种不同选法，

7.2()种

【难度】0.65

【知识点】加法原理

【分析】根据题意，“从左到右，从下到上，从左下向右上”的走法，表示不走回头路，所以

每个点只能从它的正下方、左下方、正左方这三个方向过来。每个点的走法数=所有能“走

到它”的点的数字之和。

【详解】根据分析•，作图如下，从A点到B点共有20种走法。

615A

A―7\~720

8.7个

【难度】0.15

【知识点】加法原理

答案第5页，共7页

【分析】4个数字，总共3个间隔，那么可以选择插入1个、2个、3个乘号，分类枚举，

求出每种情况下的乘积个数，相加得到总数。

【详解】(1)若插入一个烫号，4个数字之间有3个空当，选3个空当中的任一空当放乘号,

所以有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：

1x234,12x34,123x4,

(2)若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从3个空档中选2个空当插入乘

号有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：

1x2x34,1x23x4,12x3x4。

(3)若插入三个乘号，则只有1个插法，可以得到1个不同的乘积，枚举如下：

Ix2x3x4o

所以，根据加法原理共有3+3+1=7种不同的乘积。

答：可以得到7个不同的乘积。

【点睛】每个空可以放入乘号可以可以不放乘号共有两种选择，除去一个也不放的情况，总

共的方法数是23—1种。

9.15种

【难度】0.65

【知识点】排列组合

【分析】按取出人民币的张数进行分类，分别列举出每类中