高考数学一轮复习讲义 第6节 第1课时 双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质

第六节双曲线

第1课时双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质

课标解读考向预测

近三年高考考查了双曲线的定义、标准方程及几何

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准

性质，其中对双曲线的定义、标准方程的考查以解

方程.

答题为主，儿何性质主要考杳了离心率和渐近线，

2了.解双曲线的简单几何性质（范围、对

题型以选择题、填空题为主.预计2027年高考本

称性、顶点、离心率、渐近线）.

部分内容仍是考查的重点，题型以选择题、填空题

3.了解双曲线的简单应用.

为主，难度中档.

必备知识强基础

知识梳理

1.双曲线的定义

把平面内与两个定点Fl，尸2的距离的差的回绝对值等于*零常数（向小于IF1F2I）的点的轨迹叫

做双曲线.这两个定点叫做双曲线的画焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的蚂随.

2.双曲线的标准方程和简单几何性质

72

标准方程'一方=l（a>0，b>0）/一.=1（。>0,b>o）

图形

焦点回尸］（―c,0）,F?（c,0）国&（0,—c）,&（0，

焦距历1尸/引=2a

范围圆xW—〃或回y£Rx£R,yW一。或y2

对称性对称轴：一坐标轴,对称中心：回原点

顶点回4（一4,0）,4（。，0）回4（0,­a）,，2（0，日）

实轴：线段㈣&鱼，长：同2。；虚轴：线段以纳，长：幽池,实

轴

半轴长：密，虚半轴长：皿

离心率e=.w.(l,+8)

渐近线产令y=4x

a,b,c的关系(?=回♦+/(c»0,c>b>0)

常用结论

1.双曲线的焦点到渐近线的距离为常数4顶点到两条渐近线的距离为常数,.

2.双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数色.

3.若P是双曲线右支上一点，%,尸2分别为双曲线的左、右焦点，则|PK|min=〃+c，

=c-a.

4

-离心率e=*正普=5号

5.双曲线上一点PCw，抑)与两焦点厂”尸2构成的△尸£尸2为焦点三角形.

(1)APFIF2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值«；

(2)设NQP&=，，|PFi|=，i，|PF2|=r2，则cos〃=l一差，5"勺々=%|3访。・〃

b2

〃.

tan-

诊断自测

题组一走出误区——判一判

(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.()

(2)方程5一，=表示焦点在x轴上的双曲线.()

(3)双曲线展一'=1(〃?>(),〃>0)的渐近线方程是露=().()

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于，1()

答案：(1)X(2)X(3)7(4)7

题组二回归教材——练一练

(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2T3改编)双曲线2炉一«=1的渐近线方程是()

A.尸纵B.y=±2x

C.y=^^xD.y=±\2x

答案：C

解析：依题意知，双曲线"一f=l的焦点在），轴上，实半轴长。=半，虚半轴长〃=1,所以

JL4

2

双曲线2），一『=1的渐近线方程是丁=土坐工

72

（2）（人教B选择性必修第一册2.6.2练习BT5改编）若双曲线，一方=1（。>0,〃>0）的焦点到其

渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（）

A.小B.5

C.72D.2

答案：A

解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即h=2a,又/+/=/,...5〃2=/,

.”=云=5,，6=小.故选A.

,2

（3）（人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编）设。是双曲线十一言=1上一点，Fi，B分别

是双曲线的左、右焦点，若|PQ|=9,则|PBI=.

答案：17

解析：根据双曲线的定义得IIPBI—「匕||=8,因为|PR|=9,所以|P&|=1或17.又『川2。一。

=2,故俨尸21=17.

（4）（人教A选择性必修第一册习题3.2T6改编）对称轴为坐标轴，且经过点P（5,3）的等轴双

曲线的标准方程为

答案

解析：设双曲线方程为^-72=4；^0）,则4=52—32=16,所以双曲线的方程为X2—）2=16,

2

味f廿v

考点探究提素养

考点一双曲线的定义及其应用（多考向探究）

考向1利用双曲线的定义求轨迹方程

阿n(2026•辽宁沈阳模拟)已知动点M(x,y)满足4立+(>—3)?—+()，+3)?=4,则动

点M的轨迹方程为

答案:

4-y=i(3<-2)

解析：因为(y—3)2-«e+(y+3)2=4表示点M(x,)，)到点F)(0,3)的距离与到点

6(0,-3)的距离的差为4,且所以点M的轨迹是以P，F2为焦点的双曲线的下

支，且该双曲线的实半轴长。=2,半焦距c=3,所以〃=d—标=5,即动点M的轨迹方程

为3一方=1()£-2).

通性通法利用双曲线的定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的绝对值；(2)2〃<|居/2|;

(3)焦点所在坐标轴的位置.

O0一定要分清■是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.

22

巩固迁移1.已知圆G：(x+3)+y=l,C2：。-3)2+)，2=9,动圆M同时与圆G和圆C2

外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为()

A.『一'=1B.^—y2=l

v2V2

C.f一事=1(后一1)D./一,=1(工21)

答案：C

解析：设圆M的半径为八由动圆M同时与圆G和圆C2外切，得|MG|=l+r,|MC2|=3+r,

|MC2|一|MG|=2<6,所以国心M的轨迹是以G(—3,0)和。2(3,0)为焦点的双曲线的左支,

且2a=2,。=1,又c=3,则〃=/—“2=8,所以圆心M的轨迹方程为x2—g-=l(x<—1).故

选C.

考向2利用双曲线的定义解决焦点三角形问题

例囱己知Q,B为双曲线Cf—>2=2的左、右焦点，点尸在。上，ZFIPF2=60°,则

△QP尸2的面积为.

答案：2小

解析：解法一：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PQ|一|P3|=2a=2啦，在△RPB中,由

余弦定理，得cosNF|P&=

|PF||2+|PF|2-|F|F2|21..l.OriAn-OH

------7..।2.।"------=5，・・l尸产山。出|=8，・・S八/产2=习|D尸r四l•「&lsin60=2^/3.

〃2

解法二：S^PF2=-万=皿］30c=2小.

tan-^-

通性通法在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PQ|—|P/；2ll=2。，运

用平方的方法建立与|PF||・IPBI的联系.

巩固迁移2.(2026•河北保定十县一中期末联考)已知0为坐标原点，双曲线C：兴一去=

l(a>0)的左、右焦点分别为Q,Fi，以线段FiB为直径的圆与C在第一象限内的交点为户.

3

若cosNPBR*则点0到直线户人的距离为.

3

答案：j

3

-

解析：由题可知，PF」PB，设|PBI=3x,Q0,则由cos/尸5

=4x,则2a=|PQ|一|尸22|=工.由b2=c2—a2,得6=（：）,解得x=l,则点0到直线

的如说/此213

PF\的距离d=」==5・

考点二双曲线的标准方程

(1)(2026♦河北寿家庄模拟)与椭圆工+V=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线的标准方程

是.

答案：f-/=l

解析：解法一：椭圆5+9=1的焦点坐标是(±6，0).设双曲线的标准方程为a一方=1(〃>0,

4I

b>0),因为双曲线过点P(2,1),所以宗一.=1,又。2+序=3,解得/=2,从=[,所以所

求双曲线的标准方程是与一产1.

解法二：由题意知，双曲线的焦点分别为B(一小，0),尸2(小，0),设双曲线的方程为3一£

=l（a>0,b>0）,贝［2〃=||PFi|一|PB||=d（2+小）2+］一7（2一小）2+1=。8+4小一

8—4小，即〃=62+小—一小,所以4=2,则力2=d—/=1,所以所求双曲线的标

准方程为微一9=1.

解法三：设所求双曲线的标准方程为；上+g=l（lO＜4）,将点尸（2,1）的坐标代入，可得

X1Z

4Iv2

■7777+7777=1，解得％=2（丸=一2舍去），所以所求双曲线的标准方程为予一＞2=1.

（2）（2026•湖北武汉二中模拟）已知双曲线的离心率6=雪，且该双曲线经过点（2,2小），则该

双曲线的标准方程为.

解析：由题意，知。巧=\11+*=乎'解得/=4/，当焦点在x轴上时，设双曲线的标

•rv2l42049（）

准方程为方一笈=130,比＞0）,•・•点（2,2小）在该双曲线上，.•*—*=1,即含一$=1,

此方程无解；当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为《一方=1（。＞0,b＞0）,..•点（2,2小）

7049（）4

在该双曲线上，，了一.=1，即年一记=1，解得力2=1,.,.，=4.综上所述，该双曲线的标

准方程为9一/=1.

通性通法求双曲线的标准方程的方法

由题目条件判断出动点枕迹是双曲线，由双曲线定义确定2a,28或2c,从而求得

定义法

双曲线方程

能确定焦点在x轴还是y轴上时，设出标准方程，再由条件确定/,序的值

29

焦点的位直不确定时，要注意分类讨论.也可以将双曲线的方程设为三一方=，人

待定系

数法#=0）或nvr—ny1=1求解

与双曲线5一1=1共渐近线的双曲线的方程可设为.一齐=2（入W0）

巩固迁移3.若双曲线经过点（3,6且渐近线方程是y=±*,则双曲线的标准方程是

答案：）?一方=1

V2L9

解析：设双曲线的方程是『一§=』（%=0）.因为双曲线过点（3,也），所以；1=2—§=1,故双

曲线的标准方程为尸卷=1.

4.过点P（3,2币），。（一5小，7）的双曲线的标准方程为.

V2X2

答案：25~15=i

解析：设双曲线的方程为/加+〃尸=］（/〃〃＜（））.因为所求双曲线过点P（3,2巾），Q（-6爪,

96+28〃=1，故所求双曲线的标准方程为《一［=1.

7）,所以1解得

72〃?+49〃=1，4J/J

考点三双曲线的简单几何性质（多考向探究）

考向1双曲线的实轴、虚轴、焦距

例h）双曲线"一尸=1的实轴长是（

C.小

答案：D

解析：由，一）2=1,得/=4,解得［=2,所以2〃=4.故双曲线［一）＞2=1的实轴长是4.故选

D.

⑵已知双曲线C：尸一方=1,则该双曲线的虚轴长为，焦距为.

答案：2^22小

轴长为25焦距为2小.

通性通法求解与双曲级几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、

焦距等基本量的内在联系.

巩固迁移5.（2026•河北唐山调研）若4『十。2—4左=0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为

（）

A.2y［kB.2k

C.2\j—kD.—2y［k

答案：C

72

解析：由题意，得M0,将4F+姬一妹=0整理，得叁+5=1,由题意，得k0,故焦点在

），轴上，b2=~k,所以人=，』，所以该双曲线的虚轴长为2，二Z.故选C.

6.（2026•辽宁沈阳期末）双曲线卷一5=1与与一号=1有相同的（）

A.离心率B.渐近线

C.实轴长D.焦点

答案：D

29

解析：对于双曲线,一，=1,其焦点在X轴上，41=#,加=，5,a=26离心率白=舒=

斗^,渐近线），=4*=今早工，实轴长2al=2#,焦点为（±2，L0）；对于双曲线与一■^=1,

其焦点在x轴上，s=隹。2=丽C2=2，L离心率及=冷=2,渐近线尸吟尸土小心

实轴长2a2=2陋，焦点为（±2吸，0）.故选D.

考向2双曲线的渐近线

5⑴（2026•河北衡水模拟）已知双曲线C：，一m=心0,比＞0）的焦距为2小，且实轴长

为2,则双曲线。的渐近线方程为（）

A.B.y=±2x

C.y=±4^xD.

答案：B

解析：由题意可知，2c=力，2a=2,所以c=小，a=\,所以。二浸=2,则2=2.故

双曲线C的渐近线方程为），=±2x.

（2）若双曲线y2一5=1（〃?＞0）的渐近线与圆F+y2-4y+3=0相切，则m=.

答案:中

解析：双曲线）?一壬=1（加＞0）的渐近线方程为y=*，即x±"i），=0,不妨取x+〃?y=0,圆

$+）?—4），+3=0,即/+°，-2）2=|,所以圆心为（0,2）,半径r=I,依题意，圆心（0,2）

|2/»1解得/〃=乎或"】=一坐（舍去）.

到渐近线x+〃”=0的距箱d==1,

5+〃门

通性通法求双曲线渐近线方程的方法

7292

若双曲线的方程为/〃2—1（。>0，/»（））.令/从一。，得渐近线方程〃节一

方法一

第=制

双曲线力一层=1（4>0,/»0）的渐近线y=±-\,的斜率k=±^与离心率e的关

方法二

系为必吟=/—1

o®两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于X轴、），轴对称.

巩固迁移7.（2026・河南济、洛、平、许模拟）已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线

C的离心率为小，则其渐近线方程为（）

A.y=±\[2xB.y=±^x

J

C.y=±2xD.y=

答案：A

解析：因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为），=备,又因为双曲线的离心率为小，

且片十户二^,所以€=^=^1^=7"：）=yj1+"=小,解得q=也，即渐近线方程为

y=±^2x.

8.己知双曲线系一3=1（心（））的渐近线方程为.1±小），=0,则机=.

答案：|

解析：由渐近线方程），=gx=q^r,得£=乎，则*=/即〃％]=；,解得〃?=亨.

考向3双曲线的离心率

例6（1）（2025•北京卷，3）双曲线『一4『=4的离心率为（

A必

2

Q-D.小

答案：B

解析：由%2—4）2=4,得，一）?=1，所以序=4,Z?2=l,（r=a2-\-b2=5,即。=2,c=小,

所以所求双曲线的离心率0=标=坐.故选B.

＞）2

（2）（2026•云南昭通模拟）已知双曲线C：，一*=13＞0,加0）的左、右焦点分别为Q,B，过

点尸2作斜率为仃的直线/交双曲线。的右支于A，B两点，其中点4在第一象限，若依同

=P4Fi|,则双曲线C的离心率为（）

A.gB.啦

C.2D.小

答案：C

解析：如图，根据双曲线的定义得|AR|-HBI=2a,|8R|一山同=2。,由于|AB|=|AQ|,\AB\

=|AF2|+|BF2|,则|ABI+|M2l=HQI，所以|3尸2|=2〃，|6川=4&设由题意可得

tan0=y[\5,则cosO=；,在中，由余弦定理，可得cos。="^^^^幺=；，整

理得2/—4C-6/=0,即2/—0—6=0,又。＞1,所以e=2.故选C.

通性通法求双曲线离心率的方法

,.2/+〃2序

直接法求a,b,c的值，由/=宗=一—=l+g直接求e

列出含有小儿c的齐次方杼，借助序=/一。2消去儿然后转化成关于e的方程

方程法

求解

巩固迁移9.设双曲线C：，一忘=13＞（）,比＞0）的左、右焦点分别为R,产2，过坐标原点

的直线与C交于A,B两点，「出|=2|RA|,帝•奇=4，，则。的离心率为（）

A.y/2B.2

C.小D.币

答案：D

解析：由双曲线的对称性可知历4|=|&B|,|F由|=尸乂|,则四边形AQBE为平行四边形，令

\F\A\=\FiB\=m,则/归|=匹认|=2〃?，由双曲线的定义可知尸/|一旧园=2小故有2m—/〃=

2a,即加=2。，即历川=|/2阴=〃?=2。，|Q阴=/认|=4。，F^A-F\B=\f^A\\F\B\cosZAF2B=

2

2aX4acosZAF2B=4a,则cosNA38=J,即NAB8=子，故/巳防=牛，则cosNF2防

_尸1砰+尸2阴2一|尸产2|2(4a)2+(2a)?一(2c)】_J20fl2-4c2__\_20_4^_

=f2=f

2|F,B|•\F2B\=2X4aX2a~2即-16a~2即正一记二

—T，则i=7,又e>l,故6=干.故选D.

课时作业

基础题（占比50%）中档题（占比40%）拔高题（占比10%）

题号123456789

难度★★★★★★★★★★★

利用双

曲线的

定义解

双曲线

决焦点

利用双的实双曲线双曲线椭圆、

三角形利用双利用双

曲线的轴、虚的渐近求双曲的离心双曲线

问题；曲线的曲线的

考点定义求轴、焦线；双线的方率；双简单儿

双曲线定义求定义求

线段长距；双曲线的程曲线的何性质

的离心轨迹最值

度曲线的离心率渐近线的综合

率；双

离心率

曲线的

实轴、

焦距

题号1011121314151617

难度★★★★★★★★★★★★★★★★

双曲线双曲线求与己双曲线利用双求双曲双曲线双曲线的渐近

考点的渐近的离心知双曲的离心曲线的线的标的离心线；双曲线的离

线；双率；双线共渐率的取定义求准方率；双心率的取值范围

曲线的曲线的近线的值范围最值程；双曲线的

离心率渐近线双曲线曲线的渐近

的标准离心线；与

方程率；利双曲线

用双曲几何性

线的定质有关

义求线的最值

段长（范围）

问题

A

一、单项选择题

1.（2026•河南南阳模拟）已知双曲线C:一三=1的两个焦点分别为长，F2,双曲线C上有

一点P,若仍尸i|=6,则|P冏=（）

A.2B.10

C.2或9D.2或10

答案：B

解析：VO2=4,y=21,AC2=25,.*.<?=5,由归刑一『人||=2。=4,|尸川=6,得|尸冏=2

或|P尸2|=10,又|夕&|2。一〃=5—2=3,所以故选B.

2.（2025・新课标【卷，3）若双曲线C的虚轴长为实轴长的由倍，则C的离心率为（）

A.6B.2

C.于D.272

答案：D

解析：设双曲线。的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a,2b,2c,由题意，知b=Sa,于是

222222

a+b=c=a-\-la=Sat则c=2啦”，即。的离心率e=j=2吸.故选D.

3.（2025•江苏扬州、盐城、南通联考）已知双曲线C的离心率为，1Fi，尸2是C的两个焦点，

P为C上一点，|PQ|=3|P"2l，若△「/•】出的面积为啦，则双曲线C的实轴长为（）

A.IB.2

C.3D.6

答案：B

解析：由题意知，|PB|一伊川=2公所以\PF,\=3a,又离心率6=?=小，尸必|=

2c=2，§〃，所以COSNQPF2=2X3aXtj=6a2=一个sinNRPF2=^^^，所以SaF产

=；XaX3〃X§F=/序=啦，所以〃=],实抽长2a=2.故选B.

22

4.（2026.E川成都模拟）已知产（c,0）是双曲线C：^2-p=l（«>0,GO）的右焦点，过点产向

。的一条渐近线引垂线，垂足为A,交另一条渐近线于点B,若2万'=丽，0为坐标原点，

则下列结论不正确的是（）

A.\OB\=2\OA\B.ZAFO=ZAOB

C.离心率e=y[3D.若SZ\AO8=2，3,则c=—

答案:C

解析：如图，:2万=/，：,2\AF]=\FB\,2s4OAF=S&OBF，二点尸到两条渐近线的距离相等,

：.\0B\=2\0A\r故A正确；*：AB±OAf\0B\=2\0A\t：.ZABO=30°,NAOB=60°,Z

AOF=ZBOF=30°，/AFO=60°，故B正确；由B项分析知，一条渐近线的斜率\=tan30°

=幸，则e=?=\/i+Rj=平，故C不正确；由C项分析知，煤答=cos30。=乎，：.|OA|

3Cl\UyJ|（,ZfI乙

=坐。=乎乂^^4=4=小/?,|AQ=〃，|A8|=3Z?,.,.5M（；3=^义56><3。=25，

a=2,c=挚，故D正确.故选C.

5.已知定点八（一2,0）,尸2（2,0）,N是圆O：/十尸=1上任意一点，点Q关丁点N的对

称点为M,线段QM的中垂线与直线6M交于点P,则点。的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线

C.抛物线D.圆

答案：B

解析：如图，连接0M由题意可得QN|=1,且N为MR的中点，又。为FiB的中点，所

以|M3|=2.因为点拈关于点N的对称点为M,线段为M的中垂线与宜线匕何交于点P,由

垂直平分线的性质可得|PM=|PRI，所以IIPF2lTPRII=|PBITPMI=|MF2|=2v|RBI，所以

由双曲线的定义可得，点。的轨迹是以B，B为焦点的双曲线.故选B.

6.（2026・湖南张家界模拟）设双曲线C：，一方=1（〃>0,故0）的左、右焦点分别为R,B，过

坐标原点的直线与C交于A,8两点，\AF2\=2\AF]\,ZUBB的面积为8小，且NAF28为钝

角，|ABITAQ|=4,则双曲线C的方程为（）

，2），

A工一二=1R工一上=1

A-42-1B48-1

X2V2炉y2

=424101691

答案：B

解析：由双曲线的定义可知，|AB|—|AH|=HQ|=2a=4,所以«=2,|AF2|=8,|BF2|=4,

所以5AABF2=||AF2|i^F2|sinZAF2B=1x8X4sinZAF2B=16sinZ8^/5,解得sinZA/^

=零因为N4B8为钝角，所以乙仍8=?，所以/QAB=^，由余弦定理，得「同

=依/针+依&|2-2Hpi11ABico$=16+64-32=48,所以4=12,一/=12—4=8,

所以双曲线C的方程为±（=1.故选B.

7.（2026.山西吕梁模拟）已知3分别为双曲线C：衿苏1（5），比>0）的左、右焦点，

过B作双曲线。的一条渐近线的垂线，垂足为A,O为坐标原点，若HQI—HBI=HO|，则

双曲线C的离心率为（）

A号B.华

34

C.^3

-2

答案：B

解析：由题意可得|ABI=b，14。=，，且cos/F/M=g,在中，由余弦定理，得

3b2—b=a,平方化简，整理得4c2=/+4〃+2〃力，又/=/+〃，所以3/=2",即

3a=2b,所以4〃2,得13.2=4/,则°=、尼=延2

8.已知双曲线C：$一产=1,点Fi是C的左焦点，若点P为C右支上的动点,设点P到C

的一条渐近线的距离为d,则d+|PQ|的最小值为（）

答案：B

解析：过尸作PH垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H,则上”!="，连接P与双曲线的另

一个焦点尸2,如图所示.由双曲线的定义可知，d+|户川=|P”|+|PB|+2a,又双曲线方程为

]—）?=],故a=3,b=l,。=476,所以点&的坐标为（、丽，0）,双曲线的一条渐近线为

yio

直线），=%,故点B到渐近线的距离为条=1,故/"|+俨川+2〃21+6=7.故选B.

3

二、多项选择题

，2>>

9.已知椭圆G：笈+看=1与双曲线C2：寻工+七=1（9<内16）,下列关于两曲线的说法

10K,xK

正确的是（）

A.G的长轴长与C2的实轴长相等

B.G的短轴长与。2的虚轴长相等

C.G与C2的焦距相等

D.Ci与C2的离心率不相等

答案：CD

解析：由题意可知，椭圆G的长轴长为2m=8,短轴长为2"=6,焦距为2口=2灰三=

2市，离心率为白=色=平，当94<16时，16-Q0,9—&<0,双曲线C2的焦点在x轴上,

v（1\4

其实轴长为2a2=2、T6—k,虚轴长为2岳=2也不，焦跑为2c2=2416—^•女一9=2巾,离

心率为62=?=-7婆十故G的长轴长与C2的实轴长不相等，G的短轴长与C2的虚轴长不

“2716f

相等，G与C2的焦距相等，G与C2的离心率不相等.故选CD.

10.（2026•黑龙江大庆模拟）热爱数学的小数同学经研究发现，函数），=一；的图象是双曲线.设

其焦点为K,B，若P为其图象上任意一点，则（）

A.直线y=x不是函数），=一千的图象的对称轴

B.双曲线丁=一%1勺离心率为血

C.若点P到点（一陋，啦）的距离为:+2&,则点P到点（6，一也）的距离为刎W+4也

D.类比以上结论可猜测尸的图象是双曲线

人

答案：BD

解析：对于A,由反比例函数的性质可知，直线y=ir是函数>，=一；的图象的对称轴，故A

错误；对丁B,根据反比例函数的图象知，两条坐标轴是其图象的渐近线，两渐近线互相垂

直，由双曲线的定义知其为等轴双曲线，即〃=力，2=\仁图=也，故B正确；对于C,

易知直线>，=一］与y=一1的图象的交点为（-1,1）,（1,-1）,即该双曲线的两个顶点为（一

1,1）,（1,-1）,所以a=小,所以两焦点坐标为Fi（f,g）和尸2（、"，一地），c=2,

根据双曲线的定义知，若仍Q|=3+2/，则|PB|=|PQ|+2a=义+4也或|PBI=|PQ|—2a=；,

又俨问2c—a=2一陋,所以|PF2l=J+4，L故C错误；对于D,y=x+J的图象的渐近线方

程为），=x,x=0,对称轴为两条渐近线的角平分线，其图象绕原点逆时针旋转高即可得到标

准的双曲线方程，所以可猜测y=x+9的图象是双曲线，故D正确.故选BD.

人

11.（2025•新课标II卷，II）双曲线C：，一方=1（。＞0,比＞。）的左、右焦点分别是K，巳，左、

右顶点分别为A，A2，以为尸2为直径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点，且

争则（）

Ji

A.N41MA2=不

B.\MA\\=2\MA2\

C.C的离心率为回

D.当〃=①.时，四边形N4MA2的面积为8Q

答案：ACD

解析：不妨设渐近线为M在第一象限，N在第三象限.对于A,由双曲线的对称性

可得，四边形AM/hN为平行四边形，故N4M42=L子=卷，故A正确；对于B,解法

卜8+）3=/,

一：因为M在以凡尸2为直径的圆上，故且|OM|=c,设M（%o,兆），则彳地_。，

段._b故M/12_LA]A2，又乙41MA2=不,所以，川|MA||='|例4],故B错误；

解法二：因为lan/M042=，。2=〃2+护，所以池/欣我二夕又因为以FE为直径的圆

与。的一条渐近线交于M,N两点、,所以|OM=。，则若过点M向x轴作垂线，垂足为“，

则|。"1=4=。=|。42|,则点”与4重合，则M42-Lx轴，又N4M42=卷，所以cosNAM/h

=版^=乎，则|MA1|=¥1MA2|，故B错误;

解法三：因为tanNMCM2=,/=/+/,所以cos/MQh=?在△OMA?中利用余弦定理，

得|MA2|2=|OM2+KM2|2-2|OMKM2|COSNMOA2,即网八2|2=/+。2—2a4=炉，贝"MA2|=〃，

因为以QB为直径的圆与。的一条渐近线交于M，N两点，所以|OM=c,又|0&|=。，CT

+Z>2—c2,所以/MA2O=~!"，又/AIMA2=看,则cos/A|M42=|J^；卜坐,则|MAI|=^^|MA2|，

故B错误；对于C,解法一：因为痴>=；（而[+[92），故4疏）2=/而]2+2应就・应»十忘2?，

由B项分析可知IM/hlf，|M4|=邛%,故4c・扣+2><邛2?X/?X乎+〃=学?2=*^

一/）,即。2=13/,故离心率。=仃，故C正确；解法二：因为牖=5=4，则§=2小，

则离心率+[=、1+（25）2=^/T5,故C正确；对于D,当〃=加时，由C项

知离心率e=4H,故c=、无，故〃=2加，故四边形N4M4的面积为2SMA此=2X^X2也

X2加=8小，故D正确.故选ACD.

三、填空题

12.（2026•河北邢台模拟）双曲线E与双曲线，一卷=1共渐近线且过点P（2,3小），则双曲线

E的标准方程为________________.

答案:亲H

解析：设双曲线E的方程为y一号=9工0）,代入点P（2,3小），得（售=九即2=—4,

所以双曲线E的方程为｝得=-4,整理，得%需=1.

2o

13.（2026・湖南长沙模拟）已知双曲线C：力一方=13>0,/»0）的上、下焦点分别为〜&，

。是双曲线C上支上的任意一点（不在y轴上），与/轴交于点A,△必人的内切圆在边

AFi上的切点为B,若|AB|>2〃，则双曲线C的离心率的取值范围是.

答案：(I，耍)

解析：设该内切圆在尸R,用上的切点分别为D,E,由切线长定理可得|AB|=H£],|PD|=|PEb

|FiB|=|F|D|,又|P同一|PQ|=2m\AF]\=\AF2\,所以照|+HR|一|尸Q|=2〃，所以HE|十|PE1

十|A8|+|8Fi|一|尸尸i|=2a,所以依8|+|PD|+|AB|+历。|一|P尸i|=2a,故21ABi=2a,所以|AB|

=小因为|/W|>2〃，所以〃>2方，故又点。，所以e=§=

14.已知双曲线C：5一]=1的左、右焦点分别为Q,尸2，P为双曲线。右支上的动点，Q

为圆氏x2+)2—4)，+3=0上的动点，则|PQ|+|PQ|的最小值是,

答案:5+2小

解析：由题设，知月(一4,0),F2(4,0),E(0,2),圆E的半径，・=1.由尸为双曲线C右支

上的动点，知伊川=|尸BI+6,，俨。|+|尸ai=|PQ|+『&l+6,••・(|PQ|+|PFi|)min=(|PQI+

|PBI)min+6=|尸2月一一+6=2小-1+6=5+2小.

四、解答题

15.在①左顶点为(一3,0)：②双曲线过点(3啦，4)；③离心率这三个条件中任选一个,

补充在下面问题中，并解答.

问题：已知双曲线与椭圆W+若=1共焦