同角三角函数基本关系式及诱导公式（讲义）-2027届高考数学一轮复习解析版

知识点1同角三角函数的基本关系

1.同角三角函数的基本关系

基本关系式语言描述

壬方关系sin2a+cos2a=1同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1.

sina,,.7t小同一个角。的正弦、余弦的商等于角a的正

商数关系------=tana,«于Qr+—(AGZ)

cosa-----------------------2切.

2.基本关系式的变形公式

sin2a=1—cos2a,

cos2a=1—sin2a,

sin2a4-cos2a=I<sina=±—cos%,

cosa=±Ji-sin%,

(sina±coscc)2=1±2sinacos<z.

.Isina=tanacosa,

sinaI.

tana=------<sina

cosacos«=------.

tana

知识点2同角三角函数基本关系式的应用技巧

1.正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧

(1)利用si^a+cos2a=1可以实现角a的正弦、余修的互化,利用鬻■=tana,aH履+与(上£Z)可以实

现角。的弦切互化.

(2)形如竺叫罕汪,asin%+bsinxcosx+CCOS2A:等类型可进行弦化切.

csinx十acosx

2.注意公式的逆用及变形应用：

I=sin2a+cos2a,sin2a=1—cos2a,cos2a=1—sin2a.

3.应用公式时注意方程思想的应用：

对于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa这三个式子，利用(sinaicosa)2=l±2sinacosa,可以知一求二.

考点2诱导公式

知识点3诱导公式

1.诱导公式

(1)诱导公式

公式—二三四五六七八

7t3

角2E+a(4£Z)%+a-a7r—a5+仪27一a

正弦sina-sina-sinasinaCOSQcosa-cos«-COSft

余弦cosa-cosacos«-cosasina-sincesina-sina

正切tanatana-tana-Ianacota-cota-cotacota

余切cotacota-cota-cotatana-tana-tanatana

口诀函数名丕变，符号看象限.函数名改变，符号看象限.

(2)诱导公式的作川

诱导公式作用

公式一将任意角转化为0〜27r的角求值

公式二将0〜27r的角转化为(Mr的角求值

公式三将负角转化为正角求值

公式四将与〜兀的角转化为。〜3的角求值

公式五实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化

公式六实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化

知识点4诱导公式的应用的解题策略

1.诱导公式的两个应用

⑴求值:负化正，大化小，化到锐角为终了.

(2)化简:统一角，统一名，同角名少为终了.

2.含27r整数倍的诱导公式的应月

由终边相同的角的关系可知，在计算含有271的整数倍的三角函数式中可直接将2兀的整数倍云掉后再进行

运算.如cos(5兀—a)=cos(n—a)=—cosa.

知识点5同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略

1.化简、求值

利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行

变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.

2.用诱导公式求值

用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有

^一夕与^+0，g+a与，-%J+a与J—a等，常见的互补关系，一。与塔+，，J+。与

363644663

竽一。，?+〃与,一。等.

【方法技巧与总结】

1.同角三角函数关系式的常用变形：(sina±cosa)?=1±2sinacosa：since=tan(x-cosa.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指多的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3.同角三角函数关系式的注意事项

在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

.....................................................................

【题型1同角三角函数基本关系式的应用】

4

【例1】(2026•云南玉溪•模拟预测J)已知a为第四象限角，tan”=一子贝kosa=()

4334

A.-7□B.-7aC.07D.°7

【答案】c

【解题思路】根据同角三角函数的关系，结合角Q的范围，即可得答案.

sRa+cos2a=1_

【解答过程】由题意得tana=M£=_±，解得cos?。=元9，

cosa3

3

乂a为第四象限角，贝kosa>0,所以85。=子

故选：C.

【变式1-1](2026•黑龙江哈尔滨•二模)已知sina+cosa=g,a€(0m),则sina-cosa=()

1777

A.iB.5C.-5D.±5

【答案】B

【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，结合角a的范围，即可得答案.

1112

【解答过程】由(sina+cosa7)=元，得1+2sinacosa=三，所以sinacosa=一元，

224497

于是(sina-cosa)=l-2sinacosa=1+元=元，故sina-cosa=±5»

由于aW(°m),且sinacostz<0,则sina>0,cosa<0,

因此sina—cosa>0,sina-cosa=g.

故选：B.

【变式1-2](2026•河北沧州•模拟预测)已知tan>=.角力为第三象限角，则co式的值为()

2V5八运人运r24

A.—z-B.—z-C.VD.-r-

【答案】A

【解题思路】由同角三角函数的商数关系和平方关系求出sin4、cosA的两组解，再结合4为第三象限角即得

cosA的值.

1

s--i-n--A---=—

{sid冷黑四=1，

fsin/1=4(sinA=-4

解倒，2金或J42忆

因为角A为第三象限角，

ULIIa2/5

所以C0Si4=.

故选：A.

【变式1-3](2026•甘肃甘南•模拟预测)已知sina+cosa=ainacosa,则sina+cosa=()

V3V3V31

A.-B.-C.--D.-3

【答案】D

3(sina+cosa)2—1

【解题思路】由题意得sina+cosauix1——广二，解一元二次方程即可得解.

(sina+cosa)2—13(sina+cosa)2—1

【解答过程】因为sinacosa=-------、-----,所以sina+cosa=[x--------\-------,

化简得3(sina+cosa)2—8(sina+cosa)—3=0,

解得sina+cosa=—?或sina+cosa=3(含去，因为sina+cosaW1+1=2,且等号不能成立).

故选：D.

【题型2正、余弦齐次式的计算】

【例2】(2026・贵州・模拟预测)已知tana=3,则f黑鸳:"=()

【答案】C

【解题思路】将弦化切，再代入计算可得.

【解答过程】因为tana=3,

2sina-3cosa_2tana-3_3

〃「以cosa—sina—1-tana——2,

故选：C.

【变式2-1]（2026•甘肃白银•模拟预测）若鬻鬻=3,则tar.（a+n）=（）

11

A.-3B.-1C.3D.3

【答案】A

【解题思路】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解.

……一一._.sina+cosa1一一,tana+11「

【解答过程】因为cosa=5,所以嬴/I二才解得tana=—3,

于是tan（a+TT）=tana=-3,

故选：A.

【变式2-2]（2026•贵州黔南•三模）若募乐=米则tana=（）

A.1-vB.1-V3C.VD.1+V3

OA

【答案】B

【解题思路】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，解得即

cosaV31V3l

【解答过程】因为cosa—Sina=所以匚言=可，解得tana=1一百.

故选:B.

2cos0—sinfl

【变式2-3]（2026•辽宁•模拟预测）已知tan。=6,则肯诉二（）

7744

A.4B.一%C.7D.一,

【答案】D

【解题思路】分子分母为一次齐次式，分子分母同除以cos。转化为tan。的表达式，代入求解即可.

【解答过程】因为cos。00,分子分母同除cos仇

2cos0-sin02-tan02-64

cosB+sin。-1+tanJ—1+6-7'

故选:D.

【题型3诱导公式】

【例3】（2026・湖北•模拟预测）若cos95°=a,则sinl00°的值为（）

A.1-a2B.l-2a2

o2

C.2a-1D.a-1

【答案】B

【解题思路】先由诱导公式求得sin5。，再用诱导公式和二倍角公式求解sinlOO。.

【解答过程】由cos95°=cos(90°+5°)=—sin5°=a知：sin5°=—a,

因此sinl00°=sin(90°+10°)=coslO0=l-2sin25°=l-2a2.

故选:B.

【变式3-1](2026・四川绵阳•一模)已知cos(a-苧)=乎，则sin&+a)=()

12>/22\f21

A.3B.--C.—D.±3

【答案】B

【解题思路】由cos("金=cos&+a-为，应用诱导公式及已知即可求解.

【解答过程】由cos(a-苧)=cosg+a-亨)=cos[亨一(：+a)]=-sin(^+a)=当，

所以sing+a)=一竿.

故选：B.

【变式3-2](2026•贵州贵阳•模拟预测)若sina=泉则cosg+a)=()

A.1B.4C.3D.-f

【答案】D

【解题思路】利用诱导公式直接求解即可.

(解答过程1cosg+a)=-sina=-y.

故选：D.

【变式3-3](2026•广东•模拟预测)设4va<，，且sin(2a+3)=cosa,则a=()

7n57r17rr177r

A.TB.TC.—D.五

【答案】D

【解题思路】利用诱导公式cosa=sin(]-a)化成同名三角函数值，再利用sin(ir-a)=sina,sin(a+2/nr)=

sina,结合a的范围即可得解.

【解答过程】诱导公式有sin(2a+3=sin(Aa),

故2a+7=(5—a)+2左兀或2a+T=n—\^—a)+2kn,其中kGZ,

‘I•、4/*4*、4/

2

分别解得a=7^+亍或a=g+2kn,keZ.

由于zrva〈:故只能是。=竽取上=2的情形，即。=瞪.

故选：D.

【题型4三角函数式的化简、求值】

(3n\coscr

【例4】(2026•四川宜宾•一模)若~)ftana=sma_1，贝Usina=()

A.B.--yC.-；D.-[

【答案】C

【解题思路】利用同角三角函数的关系求解即可.

cosasina7*>

【解答过程】由tana=加==益嬴得cosa=sina-sina,

sin2a+cos2a=1,

2sin2a—sina-1=0,即(2sina+l)(sina-1)=0,

解得sina=-5或sina=1,

G1，T)»二-1<sina<0,:.sina=

vaG

故选：C.

【变式4-1](2026•湖南常德•模拟预测)化简Jl-2sin0T-2)sin停一2)的结果为()

A.sin2-cos2B.sin2+cos2C.cos2-sin2D.—(sin2+cos2)

【答案】B

【解题思路】根据诱导公式以及同角三角关系可得Jl-2sin(n-2)sin管-2)=J(sin2+cos2)2,再结合正、

余弦函数的单调性分析求解即可.

【脩答过程】由题意可得：Jl-2sin(K-2)sin(y-2)=V14-2sin2cos2=J(sin2+cos2)2,

ri“E3n\3n\f23n^2

因为2G\2>~)^则sin2>sin—=—,cos2>co可=

可得sin2+cos2>乎—苧=0,

所以Jl-2sin(n-2)sin管-2)=J(sin2

+cos2)z=sin2+cos2.

故选：B.

【变式4-2]（2026•湖北孝感•三模）已知无€（-。），sin4%4-cos4%=则sinx-cosx=（）

A.V2B.一五

V2

C.TD.

【答案】B

【解题思路】利用sin\+cos4x=：及角的范围变形得到sinxcosx=-1,从而得到sinx-cosx=-

J(sinx-cosx)2=—V2.

【解答过程】sin%+cos4%=(sin2%+cos2x)2-2sin2xcos2x=l-2sin2xcos2x,

又sin"+cos4x=7,JilrWl—2sin2xcos2x=7,

filTtIsin2xcos2x=

又无式一万，0),所以sin%V0,cosx>0,sinx—cosx<0.

所以sinxcosx=~2»

故sinx—cosx=(sinx-cosx)2=—Vl—2sinxcosx=—Jl—2x(—=-V2.

故选:B.

31

【变式4-3]（2026•甘肃金昌•二模）若sina=cosa+g,则tana+嬴;=（）

8162525

A.运B.西C.yD•记

【答案】C

【解题思路】应用同角三角函数美系结合切化弦计算求解.

【解答过程】因为sina-cosa=，，所以sin2a+cos2a—2sinacosa=】sinacosa=2

b、i1sinacosasin2a+cos2a1工口1125

因为tana+,=^+==snacosa=所以tana+诉二不・

故选:C.

【题型5三角恒等式的证明】

【例5】（25・26高一下•全国•阶段检测）求证:

1+2sinacosa1+tana

-tana—1«

、：ana-sinatana+sina

(2)tana—sina=tanasina,

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解题思路】（I）从左向右证明，利用si/a+cos2a=1代换后进行弦化切证明即可;

（2）将两边切化弦，计算得到左边=巧箸，右边=与詈，即可求证.

sina+cosa+2sinacosa(sina+cosa)2

【解答过程】（1）左边=

siriza—cos2a(sina-cosa)(sina+cosa)

sina+cosa1+tana….

m=右边•故原式成立.

sina-cosa

sincx'sina

1-cosa1+cosa

（）因为左边=

2州上-sina—sina(l-cosa)-sina

cosa

sina］+

右边=后二”=7著，左边=右边，所以原式成立.

"Sina

tan(2Tr-x)sin(-2n-x)cos(6ir-x)cos(7T-x)

【变式5-1］（25-26高一上•上海•课堂例题）证明:sin［x+?)cos(1-x)=sinx.

【答案】证明见解析

【解题思路】利用诱导公式化简即可.

【解答过程】左边=fnx（：；R：：：：（一cosx）=tanxcosx=sinx=右边,

lau(2it—2H—x)cus(6ii—^)cu^(n—x)

所以，

sin(x+^)cos(^-x)=sinx.

【变式5-2］（25.26高一下•全国•课后作业）求证：一（2心』曙］=.a.

cos（7r-a）sin（37r-a）sin（-jr-a）sin^—+ay

【答案】证明见解析.

【解题思路】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.

M-sina•(-cosa)(-sina)(-sina)

=-tana=1

［蟀口过程］左边=~(_cosa).Sina$inacosa―^边'

•••等式成立.

【变式5-3］（2026高一•全国・专题练习）求证:

(1)2COS20+sin，=cos，+1；

sin2a+2cos2a+l3+2tanza

Q)cos2a-sin2a

l-tan2a-

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解题思路】(1)利用作差法直接证明即可；

(2)结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证.

【解答过程】(!)因为28s2e+sin，_(cos4j+D

=2cos2。-1+(sin%+cos20)(sin2cos2

=2COS20-1+s\n2O-cos20=cos20+sin20-l=0,

所以2cos2。+sin%=cos"+1.

sina+2coszcr+sinc+cos^a

(2)因为左边=

cos2a-sin2a

2sin<z+3cosa2tana+3

=右边,

cos2a-sin2al-tan2a

所以原等式成立.

【题型6同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用】

【例6】(2026•山东日照一模)已知a是第一象限角，且sina+cosa=3cosatana,则sin(a+与)的值为

()

&运n2而匹2V5

A.B.--C.$Dn.5

【答案】D

【解题思路】先应用同角三角函数关系计算，最后应用诱导公式计算即可.

【解答过程】因为sina+cosa=3cosatana.

所以sina+cosa=3sina,所以cosa=2sina,左右两侧平方得cos2a=4sin2a=4（1—cos2a）,

所以5cos2a=4,又因为a是第一象限角，所以cosa=^一,

故选：D.

【变式6-1](2026•浙江温州•一模)若6亡(。仁)，tan(1-6)=；,则sin。-cos。=()

【答案】B

【解题思路】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可.

【解答过程】由tan(Ae)=:，可得R=\所以篝=3所以sinJ=2cos氏

cos匕一切

又因为si/e+cos?。=1,所以4cos2e+cos2e=1,所以8$2。=:

又因为ew（0,9）,所以cos6=g,所以sin。=2言，

所以sin。一cos。=等一F=芋.

故选：B.

【变式6-2]（2026,广东深圳•模拟预测）己知sin停+a）=；,那么tan解-a）=（）

A.B.±2遍C.第D.276

【答案】B

【解题思路】根据题意，由诱导公式化简，结合同角三角函数的关系代入计算，即可得到结果.

【解答过程】因为sin俘+a）二5

所以cos得-a)=cos[^-(|n+G)]=sinQn+a)=1,

贝ijsin（得一a）=±J1一cos2管一a）=±孚,

所以tan倍一°）=喉斗=±2怎

故选：B.

【变式6-3]（2026•广东茂名模拟预测）已知sinGr）=g,且0＜无V*求sinQ+J—cos得+/的值

为（）

4近2及242

A.—B.—C.0D.--

【答案】A

【解题思路】由sinGr）=g,结合gr的范围求出cosgr）的值，再利用诱导公式将sin^+x）—cos

得+%）化简，即可得解.

(解答过程]V0<%<^,X<3»

'：sin(^-x)=cos(^-x)=Jl-sin2(^-x)=等.

故选：A.

................................

一、单选题

1.(2026•山东日照•模拟预测)已知sina+cosa=工~(0<a<IT),则tana=()

A.-2-V3B.-2+V3C.2-V3D.2+V3

【答案】A

x/2痣

【解题思路】由sina+cosa=下■可求出sina-cosa=5"，联立求出sina,cosa,即可求出tana的值.

【解答过程】解：因为sina+cosa=孚①，则(sina+cosa)?=i+2sinacosa=?,

所以2sinacosa=-：V0,则gVaVTT,所以sina>0,cosa<0,tanaV0,

又(sina-cosa)2=1-2sinacosa=1+^=7,所以sina—cosa=^@,

联立①②，解得sina=cosa=

6+诟

所以tana=器=惠=-2一百

4

故选：A.

2.（2026・四川雅安•一模）若85（。一m）二I则sin（。+g）=（）

12V2

A.3B.—

2V21

rC.--D.-3

【答案】A

【解题思路】根据关系sin（6+9=sing+（。-9]结合诱导公式及条件求结论.

【解答过程】因为COS（8-D=4

所以sin（6+弓）=sin[]+（。-g）]=cos（。一?=1.

故选：A.

3

3.(2026•福建莆田•模拟预测)已知角a为第一象限角，且cosa=g,则sin(a+TT)=()

4334

A.-75B.-73nC.7D.口7

【答案】A

【解题思路】根据同角三角函数基本关系求出sina,再根据诱导公式求解.

【解答过程】•*,cosa=1,sin2a+cos2a=1且a为第一象限角,

4

•••sin(a+TT)=—sina=­g.

故选：A.

(n)

4.(2026・河南信阳•三模)已知tana=-2,则----8中北、二()

sin(rr—a)—sin^——a)

11

A.3B.2C.1D.-2

【答案】D

【解题思路】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解.

【解答过程】一8s([“、=s二黑a

sin(n-a)-sin(Y-«)“na+cosa

-Jfiina

_7^7_Tana_

~"na+cosa-tana+1~

cosa

故选：D.

5.(2026・福建泉州•模拟预测)己知2sina-sin£=遥，且a+/3=],则tan£=()

A.-2B.C.|D.2

【答案】B

【解题思路】解法一：应用诱导公式结合同角三角函数关系计算求解；解法二：应用诱导公式结合弦切互

化计算求解.

【解答过程】解法一：由a+/?=T，得a一夕，所以2sing-f)—sin/?=2cos£-sin夕=而，

(sin/?=1

联立cosp+sin2/?=1,得(cos£=—，所以tan0=一5.

解法二：由。+6=2，得a=]一人所以2sin(]-S)-sin/?=2cos/?-sin0=遥，

所卜lu(2cos/?—sin/?)24cos2/?—4cos3sin^+sin2/?4—4tan^+tan2/?

—cos2/y+sin2/?—cos2/f+sin2/?-l+tan2/7

则4tan?/?+4tan£+1=(2tan/7+l)2=0,所以tan/?=—1.

故选：B.

6.(2026•河北沧州-二模)已知6是△/WC的内角，且=cos。+sin。.若〃iW(0,l),则△48C是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解题思路】利用同角平方关系可得，/=1+2sinJcos6,结合m€（O,l）可得sinGcos。VO,从而可得。

的取值范围，进而可判断三角形的形状.

(解答过程】•.,sine+cosO=m,

O2

・•・m=(sinO+cosO)=1+2sin0cos0,

v0<m<10<m<1,

••・0<2sinOcos0+1V1,—1<sinOcosG<0,

:6为三角形△48C内角,sin0>0,cosO<0,

。为钝角，即三角形△力庆:为钝角三角形.

故选:B.

cos仁+a)

7.(2026•山东烟台•一模)已知tana=-2,贝U6、=()

sin(n-a)-sin^n--a)

22

A--3B-3C.-2D.2

【答案】C

【解题思路】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.

cosQ+a)

-sinatana

【解答过程】因为tana=-2,则

sin(n-a)-sin(y-a)-5ina+co5or一"tanof+1

故选:C.

3

8.（2026•湖南湘西•三模）在△48C中，内角4,8,C的对边分别为a,b,c,已知cos4=-ja=2,c=1,则

sinC=()

23D」

A・iB・wC1

【答案】A

【解题思路】利用同角三角函数关系式以及正弦定理求解即可.

2

【解答过程】因为COS4=4,所以力EG7）,所以sin4=7l-cos/l=J1-(-1)=

5'

在△ABC中，由a=2,c=1以及正弦定理得：就=肃=|=焉，得sinC=£.

故选：A.

二、多选题

9.(2026•海南省直辖县级单位•模拟预测)已知sina=1w(L则()

A.cosg+a)=­3B.tan(IT4-a)=

C.sin(n-a)=1D.cos(^~-a)=-1

【答案】BCD

【解题思路】先由同角基本关系式求出cosa,tana,再利用诱导公式判断选项.

【解答过程】由sina=|,aG(7*K)»得cosa=-Vl-sin2a=-g,

sina3

tana=G=一不

则cos(g+a)=-sina=1A错误；

tan(n+a)=tana=-4,B正确；

3

sin(n—a)=sina=5,C正确;

cos(^--a)=—sina=一彳，D正确.

故选：BCD.

10.（2026•河北秦皇岛•模拟预测）已知sin&r）=$,且襄%〈瑞，则下列正确的是（）

A.sin(7+x)=n(3n\12

B.COS\CT+X)=—

2

5D.[sin(x-^)-cos(x-^)]24

C.tang.

1225

【答案】AC

【解题思路】使用三角函数同角关系与诱导公式进行计算即可.

：+x)=cos.AG-%)]=singr)=4,

【解答过程】对于A,cos

囚为；＜x＜含则有苧十”式，给，故sin（：十九）=H，A正确;

对于B,因为三＜%V招，则有2T£（一也°），则cosg-x）=4

则COS伴+%)=COSTT-&―%)]=-cos(^-x)=-y|,故B错误;

对于C,sin(x-9=-sing-x)=苛cosg-%)=cos(x-或12

13

则31(%-?=哗4=哀=卷，故C正确；

cos(x-7)73

对干D,sin（%_*cos（x-?］=信-1）=急故D错误,

故选：AC.

11.（2026・湖南长沙•二模）已知sin/?+cos/?=/，/?G（0,7r）,则下列各式正确的有（）

八24八八7八7八4

A.sin2/?=—B.sin/?—cosp=±zC.cos2/j=D.tan^=-z

【答案】AD

【解题思路】利用已知和sida+cos2a=1的关系，利用二倍角公式计算逐项判断得出答案.

【解答过程】A项：由己知：sir^B+cos?。+2sin/?cos£=云，因此sin20=2sin0cos£=-元，故A项正

确；

B项：因为sin/kos/?V0,且夕E（O,TT）,所以0£（（〃），因此si邛一cos/?>0.又因为（sin/?-cos?猿=i-2sin

49,7

pccsp=云，因此sin/?—cos/?=,,故B项错误；

C项：cos2/?=cos2/?—sin2/?=（cos/?-sin/?）（cos/?+sin/?）=一五，故C项错误;

sin/?4-cos/?=|sin/?=g4

D项：由方程组sin/?—cos/?=?，解得cos/?=一4于是tanB=-5，故D项正确.

55

故选：AD.

三、填空题

12.（2026•河北保定•一模）已知震=K，贝ijsina=.

【答案】1

【解题思路】首先切化弦，根据平方关系得到sina的二次方程，求解.

■r~~>、,tana15sinasina15

【解口过程】因为益羲二正，cos2a=l—siMa=正

得15sin2a+16sina-15=0,

解得sina=|或sina=-1（舍）.

故答案为：w

13.（2026•浙江•一模）已知a€（0,n）,满足sin（a+g）=§,则tana=.

【答案】2衣

［解题思路］根据诱导公式及同角三角函数关系计算即可.

【解答过程】sin(a+7)=cosa=

因为a€(0,口)，所以sina=Vl-cos2a=竿,

.2^2

所以tana=翳=于=2后

故答案为：2近.

14.（2026•石南•三模）已知角或的终边过点P（2,4）,则芸翳含

^•>111Ct1U

8

【答案】§

【解题思路】由三角函数的定义求出tana的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值.

4

【解答过程】因为a的终边过点P（-2,4）,根据三角函数的定义，可得tana=^=-2

2+sinacosa2sin2a+sinacosa+2cos2a2tan2a+tana4-2

2sin2a+cos2a2sin2a+cos2a2tan2a+1

2X(-2)2-2+2_8

—2x(-2)2+1—9-

故答案为：I

四、解答题

3

15.（2026•天津河北•模拟预测）已知cosa=-g,a是第三象限角.

⑴求sina利tana的值;

(2)求cos(a-^)的值.

44

【答案】(l)sina=—M，tana=3；

⑵-喑

【解题思路】（1）应用平方关系、商数关系分别求出sina和tana；

（2）应用差角的余弦公式求值即可.

3I---------------4

【解答过程】（1）由cosa=—引a是第三象限角，则sina=-Jl-cos?。=一小

sina4

所以tana=G=§；

(2)cos(a-j)=cosacos^+sinasin^=(-1)x|+(-§乂当=一六丁,

5

16.（25-26高一下•北京•期中）已知a是第三象限角，且cosa二一百.

(1)求tana的值;

sin(n+a)—2cos(—a)

⑵求.的值.

sin(g+a)

12

【答案】（1内

22

(2)-T

【解题思路】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，即可求解;

（2）利用三角函数的诱导公式进行化简，将tana=£代入计算，即可求解.

5o52144

【解答过程】（1）因为cosa=-百，可得sin2。=1一cosa=1-（一行）=而，

12

又因为a是第三象限角，可得sina<0,所以sina=一百,

所以tana=^=H=^

13

(2)由(1)得tana=y,

,sin(n+a)-2cos(-a)-sina-2cosa1222

而

sin(]+a)cosa=-tana-2=—j―2=--

17.（25-26高一下•北京•期中）在平面直角坐标系中，若角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P

(-5,12).

(1)求sina和tana的值;

:in(2+<r)tan(n4-a)+2cos(n-a)

(2)若"Q)=cosa-sin(-a),化简并求值.

【答案】(l)sina=tana=-y；

1值屏

（2）化简结果为/（a）=l+tancr

【解题思路】（1）由三角函数定义得到正弦和正切值;

tana—2

（2）