全等三角形章节复习知识梳理-19个易错考点讲练-中考真题演练-难度分层练-共53题解析版

全等三角形(知识梳理+19个高频易错考点)知识梳理技巧点拨 2知识点梳理01:全等三角形 2知识点梳理02:全等三角形的性质 2知识点梳理03:全等三角形的判定 3知识点梳理04:角的平分线的性质和判定 4 5考点讲练1:全等三角形的性质 5考点讲练2:用SSS证明三角形全等(SSS) 7考点讲练3:用SSS间接证明三角形全等(SSS) 9考点讲练4:全等的性质和SSS综合(SSS) 考点讲练5:用SAS证明三角形全等(SAS) 考点讲练6:用SAS间接证明三角形全等(SAS) 考点讲练7:全等的性质和SAS综合(SAS) 考点讲练8:尺规作一个角等于已知角 考点讲练9:尺规作角的和、差 考点讲练10:过直线外一点作已知直线的平行线 28考点讲练11:尺规作图——作三角形 29考点讲练12:用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 31考点讲练13:全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 考点讲练14:用HL证全等(HL) 考点讲练15:全等的性质和HL综合(HL) 42考点讲练16:角平分线的性质定理 考点讲练17:角平分线的判定定理 考点讲练18:角平分线性质的实际应用 考点讲练19:角平分线性质定理及证明 难度分层拔尖冲刺 67 73知识点梳理01:全等三角形(一)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。(二)全等三角形中的对应元素1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边对应顶点：点A与点D,点B与点E,点C与2、对应元素的确定方法(1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。(2)图形位置确定法①公共边一定是对应边；②公共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角；(3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角)是对应边(角),最小的边(角)是对应边(角)。知识点梳理02:全等三角形的性质(一)全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。(二)全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。F1.判定全等三角形(边边边)三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)。C2.判定全等三角形(边角边)①以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C、D。②画一条射线O'A',以点O'为圆心，OC长为③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';④过点D'画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB。(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SABBCC3.判定全等三角形(角边角)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)。CC4.判定全等三角形(角角边)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成"角角边"或"AAS")。CC5.判定全等三角形(直角边、斜边)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成"斜边、直角边"或"HL")。(一)作已知角的平分线(已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线)1、以点0为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M,交OB于点N。于点C。3、画射线OC,射线OC即为所求。(二)角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。分别为D,E。∴PD=PE。(三)角的平分线的判定考点讲练1:全等三角形的性质【答案】(1)5,3(2)解：①∵△ABC≌△DEB,(2)由点N的运动速度也为每秒1cm,则NC=t,BM=NC,再由△DBM≌△MCN,则MC=BD=6,所考点讲练2:用SSS证明三角形全等(SSS)。(3)再证明△ADC≌△AEB(SSS),△AFD≌△AFE(SSS),结合前面(1)(2),从而可得答案.(3)根据由考点讲练3:用SSS间接证明三角形全等(SSS)(2)在(1)的条件下，求证：△ABC≌△DEF.(2)根据(1)中所选的条件，进行证明即可.考点讲练4:全等的性质和SSS综合(SSS)DH=BE,连接AH,先证明△ABE≌△ADH,再证明△AEF≌△AHF,最后可得出结论：·(2)如图2,若∠B+∠D=180°,其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.(2)(1)中结论仍然成立，理由见解析；(3),理由见解析(1)延长FD到点H,使DH=BE,连接AH,可判定△ABE≌△ADH,进而得出∠BAE=∠DAH,AE=AH,(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,(3)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,先判定△ADG≌结论.【规范解答】(1)解：如图1,延长FD到点H,使DH=BE,连接AH,如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,图3,在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,考点讲练5:用SAS证明三角形全等(SAS)(2)证明AB=2BC=CD,再由BD=BC+CD=12可得结论.(2)解：∵AB=2CE,CE=BC,AB=CD=12,AD=BC=6,点M、N分别是AB、BC中点.动点P从动，过点P作PH⊥AB于点H,连结PM、MN.设点P运动时间为t秒(t>0).(1)当点P运动到AD中点时，求证：△PAM≌△NBM.(2)若点P以每秒2个单位长度的速度运动.①如图①,当点P在边AD上时，PH=_.(用含t的代数式表示)②如图②,当点P在边DC上时(点P不与点D重合),易知PH=DA,DP=AH,若HM=4,求t的值.(3)若点P以每秒x个单位长度的速度运动，当t=3时，恰好△PHM与△NBM全等，直接写出所有满足条件的x的值.【思路引导】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，绝对值方程等知识点，解题的关键是分类讨熟练掌握三角形全等的性质.(2)①根据题意即可求解.②当点P在边DC上时(点P不与点D重合),得出PH=DA=6,AH=DP=2t-6,再根据HM=|12-2t|,(2)解：若点P以每秒2个单位长度的速度运动.②如图②,当点P在边DC上时(点P不与点D重合),(3)解：若点P以每秒x个单位长度的速度运动考点讲练6:用SAS间接证明三角形全等(SAS)(2)求∠D的度数.【答案】(1)见解析(2)45°.考点讲练7:全等的性质和SAS综合(SAS)在AD上截取AM=CF,连接BM,BE平分∠FBM交AD的延长线于点E,连接FE.【问题解决】(1)证明：∠MBE=∠ABM+∠CBE;【问题探究】(2)探索线段AE,EF,CF之间的数量关系并说明理由.【答案】(1)见解析；(2)AE=EF+CF.理由见解析【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.(1)先证明△ABM≌△CBF(SAS)得出∠ABM=∠CBF,再由角平分线的定义得出∠MBE=∠FBE,即可得证；(2)由△ABM≌△CBF得出BM=BF,证明△BME≌△BFE(SAS),得出EM=EF,即可得出结论.【规范解答】证明：(1)∵BC⊥DF,在△ABM和△CBF中，(2)AE=EF+CF.理由如下：(1)如图1,点F是AE上一点，连接CF,若∠BAC=∠BGE=∠EFC,求证：AG=CF;【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键.AD=FC,据此即可得出结论.【规范解答】(1)证明：∵∠BGE=∠BAG+∠ABG,∠BAC=∠BAG+∠CAF,(2)在(1)所作的图中，若∠BAC=90°,AD是BC边上的中线，AD=8,【答案】(1)见解析；(2)8AAAA考点讲练9:尺规作角的和、差(2)在BD上取点F,使BF=AC,连接EF,求证△ABC≌△BEF.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.(2)根据SAS证明三角形全等即可.C【答案】(1)点E即为所求，图见解析；(2)证明见解析.【思路引导】(1)过点D作DE//BC交AC于E,点E即为所求；(2)如图：连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,E题的关键.考点讲练11:尺规作图——作三角形考点讲练12:用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)【思路引导】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.CCCC(1)如图1,求证：DE=BC;(2)如图2,设BC与DE交于点0,连接AO,在不添加任何辅助点的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形(写3组不包含(1)中的全等三角形).(2)△AOB≌△AOE,△DAO≌△CAO,△DAB≌△C【思路引导】本题主要考查了全等三角形的综合问题.(1)利用SAS证明△DAE≌△CAB,由三角形全等的性质可得出DE=CB;(2)先利用SAS证明△DAB≌△CAE,再利【规范解答】(1)证明：∵∠DAB=∠CAE,由(1)知△DAE≌△CAB,考点讲练13:全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)键.考点讲练14:用HL证全等(HL)(1)如图①,当∠B=∠E=90°时，图②反例.图③【答案】(1)HL;(2)图见解析，不一定；(3)全等，证明见解析；(4)②③;(5)60°(4)由(1)(2)(3)可知，即可得出结论；图②(3)过点A,点D作BC、EF的垂线，垂足为点G和点H(4)由(1)(2)(3)可知，如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对 ,然后根据三角形的外角性质即可判断①;在BC上取一点M,使得BM=BE,综上，正确的结论是①③④,故答案为：①③④.【考点剖析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的定义等知识点，通全等三角形是解题关键.考点讲练15:全等的性质和HL综合(HL)AD=AE,∠DAE=90°,且点E与点D在直线AC两侧，DE与AC交于点H,连接CE.图1备用图(1)如图1,求证：△ABD≌△ACE.(3)过点A作直线CE的垂线，垂足为G,当CD=6EG时，直接写出△CDH与△CEH的面积比.于点0,点H作HM⊥BC于点M,点H作HN1CG于点N,按照第一种情况作答即可.图2考点讲练16:角平分线的性质定理cm²,AB=18cm,BC=12cm,则DE=cm.【答案】2【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积计算公平分线，得DE=DF,再利用三角形的面积转换，即可得解.故答案为：2.AF+BE=AB;③OE=0F;④若AB+BC+CA=18,S△ABC=27,则OD=3,正确的是()【思路引导】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键.先根据角平分线的定义可得ABC,再根据三角形的内角和定理即可判断①正确；在AB上取一点H,使得BH=BE,连接OH,先证出△OBH考点讲练17:角平分线的判定定理【答案】∴由(1)知∠BAC=2∠BDC=36°【答案】6:8:3【规范解答】解：过点P作PD⊥BC于D,PE⊥CA于E,故答案为6:8:3.考点讲练19:角平分线性质定理及证明线.使得DA=DC,过点D作DE⊥BC,交直线BC于点E.备用图(2)AB=2BE-BC,证明见解析是解题的关键.(1)由题意画出图形即可；(2)过点D作DF⊥AB于点F,根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DE=DF;根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等(3)过点D作DF⊥AB于点F,根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DE=DF;根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AF=CE,BF=BE,即可求解.(3)解：AB=BC+2BE.中考真题实战演练适当长为半径画弧.交射线EA于点M,交EF于点N,再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧(两【思路引导】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法的关键.由作图可知∠AEG=∠FEG,结合∠AEF=80°,求出,再利用平行线交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在A.60°B.65°C.70°【思路引导】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性EE【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握的关键.G.连结DG,EG.添加下列条件，不能使BG=CG成立的是(可.则方法同(2)可得出BG=CG,难度分层拔尖冲刺1.(2025八年级下·全国·专题练习)如图，已知∠B=∠D,件是()A.AB=ADB.BC=DE【答案】C【思路引导】本题考查三角形全等的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理.本题可根据三角形全等的判定定理，结合已知条件分析补充条件，逐项判断即可.OA,若OD=4,AB=20,则△AOB的面积是()A.20B.30图①图②备用图备用图BAD,(1)中的结论是否仍然成立?请写出证明过程；【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.(1)依据题意，补全小宁的解题思路即可；(2)延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,先证明△ABG≌△ADF(SAS),再证明△AEG≌△AEF(SAS),即可得出线段BE、EF、FD之间的数量(3)分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可.【规范解答】(1)解：补全小宁的解题思路如下：(2)解：(