吉林省吉林市2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

第第1页共6★保密·启用前2026—2027数学试说明：1.2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。0.5毫米的8540分。在每小题给出的四个选项中，只有l2l

(x−2)2+(y+3)2= B．(x+2)2+(y−3)2=C．(x−2)2+(y+3)2= D．(x+2)2+(y−3)2=第一象 B．第二象 m2+

1m0的一个焦点坐标是(3,0m ABCD−A1B1C1D12AB2A1B1

OABCDD1O与CC1−

− D． 若{abc{a+b,a,a− B．{a+b,b,a−C．{a+b,c,a− D．{a+b,c,a+b+MxyF(0,1Ml：y41Mx

y=

y+x=

x+y2=

y+x2=l：(m1x(m1y2m0(mRl B．[

C．[ D．[3618分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。直线l2的方程为2x+y−3= B．直线l2的方程为x+2y−3=C．直线l3的方程为x−2y+1= D．直线l3的方程为x−2y−3=已知圆

x2y24和圆

xm)2ym)2m8(mRlAP分别是圆O1lC(5,1m Blx−y4C．|PA|+|PC|的最小值是 − D．|PA|+|PC|的最小值是 + F1F2E2+

过点F，F作直线l的垂线，垂足分别为G，H，直线OH的斜率 3， |OG=

∠F

=

e

3−

D．|GH

3515两条平行直线6x−8y−5=0与3x−4y=0的距离 已知圆

x2y2r2r0与圆

:x2+y2−6x−8y+24=0相切，则实数r= 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4PQ分别为棱CC1BCMDMλDAμDD1，其中λμ∈[0,1M在三棱锥CPDQ的外接球表面上，则点M的轨迹长度 57715（求圆Cl2P(0,1，且与圆Cl216（ 已知椭圆Ca2+b21(ab02，短半轴长为1求椭圆CF作倾斜角为θl，交椭圆CAB两点，若|AB|=4217（ABCDABCDABCD∠ACBπ111 ACBCCC12EFBD1AB求证

EF//BCC1B1EFCEFB18（如图1ABCDABCDABADBDBC，将ΔABDBD翻折至ΔA′BD，连接A′C2的三棱锥A−BCD，且A′D⊥A′C.求证：A′D⊥BCA′B=A′D2，在线段CDEA′DA′BE

?E图 图19（Px,yOr=|OP|OP与x轴非负半轴的夹角为θ绕点O逆时针旋转角α得到点P′x′,y′)

，α=πP⎧x′=xcosα−y证明：⎨y′=xsinα+y

∈R，点 ⎛+π⎞2cost⎞总在曲线E上运动.若点M(u,v)在曲线E上A⎜2co⎜ 3 uv>0uv<0，直线y=xE在第三象限的交点为A直线y=x于点C，求ΔMCD面积的最大值．PAGE1（共4页

综上所述，直线l2的方程为2xy10或x2y20 132c2b1，c1a2b2c22

F11,0，当90|AB

42（舍

当90ktanlykx1Ax1y1Bx2y2yk(

x

y2

y，得

x

20 Δ16k44(2k21)(2k22)8(k21)0

4或

4k

2k21k1k1k

x1x22k21x1x22k21 10(a1)2(a(a5)2((a1)2(a(a5)2(a

2k2

221k2221k22(1k2

444k2k4(2k22k2

，a3

解得k1或k1 130,ππ,π，π或3π 15(31)2(0C(31)2(0

2 圆C的方程为(x3)2y25 (03)212105，P(0,1在圆C①直线l2斜率存在，设直线l2的方程为ykx1，即kxy10

（法一）AD1BC1ΔBAD1中，E，FBD1，ABEF是ΔBAD1的中位线，EFAD1ABCD为平行四边形，AB//CD|3k1k2点C(3,0)到直线l2的距离k2

5，2k23k20

又CD//CD，AB//DC11 1解得k2或k1 l22xy10x2y20

四边形D1ABC1为平行四边形，AD1//BC1，EF//BC1 BC1平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，EF//平面BCC1B1 （法二）AC1BC1．EBD1EAC1又FAB的中点，EFBC1又EFBCC1B1BC1BCC1B1

在线段CDEADABE所成角的正弦值为6BD中点ODCMAOOM，则OMBCBDBC，BDOM，ADAB，AOBDEF//平面BCC1B1

BCBDBCADBDADDBDADABD，BC平面ABD，又AO平面ABD，BCAO，OM//BC，AOOM.（Ⅱ）C1C平面ABCD又ACBC

BD

2，AO1BD

，BDBC,BDCπ

BC 以CCA，CB，CC1x，y，z

以OOM，OB，OAx，y，z

2,0)，C(22

2,0)则C(0,0,0F(1,1,0B(0,2,0D12,2,2，ED1B中点，E(1,0,1

AD

2)，AB

CE(1,0,1CF(1,1,0FB(1,1,0FE(0,1,1 EFCnxyznCFnFE

2,0)

nCFxy

令x1，则y1，z1，

AEADDE

11

1,

ABEnxyznABnAE同理，平面EFB的一个法向量为m)

2y2z

yzx1

nAE22x(222)y2z3设平面EFC与平面EFB夹角为，则cos|cosn,m 3

14即平面EFC与平面EFB夹角余弦值为

则|cosADn||ADn||AD||n

322AD

，ADAC

1∈,1，DE1DCA ABACA，AB,AC平面ABC，AD平面ABC BC平面ABC，AD

线段CDEE是CDADABE所成角的正弦值为6

E1xy)21x2y21xy)23，x23y26 11

，r|OP

2，且

F:x

y1

11又点P在第一象限，，由三角函数定义得P(2cos,2sin

EAB,CDMFAB,CDMx2cos(ππ)

y2sin(π

π)

3)

如图，则ΔMCD的面积等于ΔM1C1D1

（法一）MxyA(60B

证明：Pxyr|OP|，xrcosyr

M在第一象限，x23y26

设ΔM1C1D1ΔM1A1B1A1B1C1D1SS1S2SS1S2xxcosy

yxsiny

A

:y (x6)，令x0得D0, 1

Ax

)，x02cos(t

)

cost

sint)cost

y

直线BM:y x

，令y0得C 1,0y2cos

1y

x

y0

3sint，sint

1(y0x)

S

|A

||BD

1

1 又sin2tcos2t1，

y(0x2

yy)01，x2x

y23

1

1

x1 x1 3y1y1 x1 3y1x1

(x1 (x1 3y16x1y1 2x16y12

0

0

曲线E:x2xyy2

(x 3y6)2x23y26

3xy26x62y

3(xy 2x6y23EyxyxEπF

1 23(xy 2x6y23

1 S 1 2

14AxyAxy

xy 2x6y

1

M

2sin)，直线AB

1A

:x

3y

0x

2(

y0

x0

(x

1 1则y

(

y0

0

(x

M1A1B1的距离d

6||

23当422kπ,kZ，即42kπ,kZ，此时dmax SSS1|AB|

1

6223

6

Eπy1111SΔMC SΔMC111111补充思路1：S四ABC SΔMABSMC SΔMAB11111111

11

11

SΔMC1|MA||MB|sinAM11 1 1 SΔ11 1 1

11

A||MB|

y1yB1

y1SΔMC

|M1D1|

y1

y111 |MD||MC|sinAM 1 1 11 1 12SSΔODMSΔOC