北师大版数学 2.1认识实数（第1课时） 学案 含答案

2.1.1认识实数第一课时导学案1.理解非有理数的存在性，掌握无限不循环小数的核心特征.2.经历无限不循环小数的概念的探索过程，体会数形结合思想和逼近思想．3.在探索无线不循环小数过程中，发展计算与估算能力，培养数学应用意识．重点：理解无限不循环小数的本质特征.难点：理解从非有理数到无限不循环小数的逻辑关系.第一环节自主学习温故知新：有理数的概念：有理数=___________+___________．特征①：可写为___________形式（p,q为整数，q≠0）；特征②：小数形式为___________或___________新知自研：自研课本第25--26页的内容【学法指导】自研课本P25页内容，思考：1、任务：将两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形①设大正方形边长为a，则a满足什么条件？②a可能是整数或分数吗？理由：____________________________________满足a2=2的a既不是___________，也不是____________2、你能再列举一个这样的数吗？___________【自研自探】自研课本25页尝试思考内容，回答问题：1、迁移验证①如图，以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积=___________；②直角三角形的斜边b满足：b2_=___________;③b是整数或分数吗？_________________________________2、在数1.414，0.333⋯，2​，227（1）属于整数的是：______________________；（2）属于分数的是：______________________（3）既非整数也非分数的是：______________________3、下列数中，既不是整数也不是分数的是（）A.99​B.πC.0.1010010001⋯0.1010010001⋯（每两个1之间增加一个0）D.−37第二环节合作探究小组群学在小组长的带领下：A.仔细观察例题中的图形，完成以下问题。例：面积为2的正方形边长a的探索1、例题正方形的面积越大，边长越___________（填“大”或“小”）；

因为1<2<4，所以边长关系为___________<___________<___________。（填1、a、2）B.小组合作分析，找出数a的是否为、百分位、千分位…2、我们已经知道1<a<2(整数部分是1），接下来探索a的小数部分（十分位、百分位、千分位……）。（1）找十分位：尝试1.4和1.5的平方（因为1.4是1后面的第一个小数，1.5是1.4的下一个整数）：1.42=___________（计算结果），与2比较：1.42

___________1.52=___________（计算结果），与2比较：1.52___________结论：1.4<a<1.5，所以a的十分位是___________（2）找百分位：在1.4和1.5之间，尝试1.41和1.42的平方：1.412=___________（计算结果），与2比较：1.412

___________1.422=___________（计算结果），与2比较：1.422

___________结论：1.41<a<1.42，所以a的百分位是___________。……C.小组合作总结新数的特点（1）通过以上的结果，你认为该数还可以算下去吗？a可能是有限小数吗？a的小数部分是否循环？__________________________________________________________________（2）a是整数吗？是分数吗？为什么？_________________________________________________________________（3）综上可以发现，这样的数的小数部分一定是______________________，像这样的数就叫______________________。D.以数a的探究为基础，小组尝试探究面积为5的正方形的边长b为多少？b可能是有限小数吗?_______________________________________________________________________________________E,即时训练4.下列数中，与a属于同一类（无限不循环小数）的是（）

A.0.333⋯B.πC.52​5.如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗？6、总结归纳无限不循环小数的特点并说明与有理数的区别.（完成在随堂笔记处）F,拓展提升7.同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？1.已知π是无限不循环小数，则π10是（）

A.整数B.分数

C.有理数D.2.判断正误：（1）所有无限小数都是无理数；（）（2）所有无限不循环小数数都是无限小数；（）（3）有理数都是有限小数；（）（4）不是有限小数的数不是有理数。（）3.如图，4×4的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接任意两个格点便可得到一条线段。试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。4.同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？类型一：辨析无限不循环小数1.观察以下小数，哪些小数是无限不循环小数（）(A)0.12112111211112...（每两个2之间1的个数增加）(B)3.14(C)0.333...（D）0.35353535…2.下列各数中，不是有理数的是（）（A）35（B）（C）15（D）0.123456类型二：无限不循环小数的在几何中的应用1.大小两个正三角形的面积比为2:1，小三角形边长为1，求大三角形的高h；1.（2023·四川）下列各数为无限不循环小数的是（C）A.-3/5 B.0.12˙ C.π D.√92.（2023·内蒙古）若a,b为连续整数，且a<√7<b，则a+b=33.（2024·上海）下列运算结果一定是无限不循环小数的是（D）A.1+√4 B.π^0 C.√4 D.π/21、无限不循环小数的特点：__________________________________2、有理数与无限不循环小数的区别维度有理数无限不循环小数（无理数）定义小数形式分数表示循环节

2.1认识实数第一课时导学案1.理解非有理数的存在性，掌握无限不循环小数的核心特征.2.经历无限不循环小数的概念的探索过程，体会数形结合思想和逼近思想．3.在探索无线不循环小数过程中，发展计算与估算能力，培养数学应用意识．重点：理解无限不循环小数的本质特征.难点：理解从非有理数到无限不循环小数的逻辑关系.第一环节自主学习温故知新：有理数的概念：有理数=分数+整数．特征①：可写为_pq形式（p,q为整数，q≠0）；特征②：小数形式为有限小数或无限不循环小数新知自研：自研课本第25--26页的内容【学法指导】自研课本P25页内容，思考：1、任务：将两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形①设大正方形边长为a，则a满足什么条件？②a可能是整数或分数吗？理由：a满足a2=12+1满足a2=2的a既不是整数，也不是分数2、你能再列举一个这样的数吗？7（答案不唯一）【自研自探】自研课本25页尝试思考内容，回答问题：1、迁移验证①如图，以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积=5；②直角三角形的斜边b满足：b2=22③b是整数或分数吗？b不是整数也不是分数2、在数1.414，0.333⋯，2​，227（1）属于整数的是：无；（2）属于分数的是：1.414，0.333⋯，22（3）既非整数也非分数的是：23、下列数中，既不是整数也不是分数的是（BC）A.99​B.πC.0.1010010001⋯0.1010010001⋯（每两个1之间增加一个0）D.−37第二环节合作探究小组群学在小组长的带领下：A.仔细观察例题中的图形，完成以下问题。例：面积为2的正方形边长a的探索1、例题正方形的面积越大，边长越大（填“大”或“小”）；

因为1<2<4，所以边长关系为1<a<2。（填1、a、2）B.小组合作分析，找出数a的是否为、百分位、千分位…2、我们已经知道1<a<2(整数部分是1），接下来探索a的小数部分（十分位、百分位、千分位……）。（1）找十分位：尝试1.4和1.5的平方（因为1.4是1后面的第一个小数，1.5是1.4的下一个整数）：1.42=_1.96__（计算结果），与2比较：1.42

__<1.52=__2.25__（计算结果），与2比较：1.52____>结论：1.4<a<1.5，所以a的十分位是__4__（2）找百分位：在1.4和1.5之间，尝试1.41和1.42的平方：1.412=_1.9881___（计算结果），与2比较：1.412

___<1.422=_2.0164_（计算结果），与2比较：1.422

___>结论：1.41<a<1.42，所以a的百分位是__1__。……C.小组合作总结新数的特点（1）通过以上的结果，你认为该数还可以算下去吗？a可能是有限小数吗？a的小数部分是否循环？还可以算下去；但它一定不是有限小数，且小数部分不循环（2）a是整数吗？是分数吗？为什么？a不是整数（1<a<2），也不是分数（分数的平方不可能是2）（3）综上可以发现，这样的数的小数部分一定是无限且不循环的，像这样的数就叫无限不循环小数。D.以数a的探究为基础，小组尝试探究面积为5的正方形的边长b为多少？b可能是有限小数吗?b=2.236.67…，且b不是有理数，同样是无限不循环小数E,即时训练4.下列数中，与a属于同一类（无限不循环小数）的是（B）

A.0.333⋯B.πC.52​D.5.如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗？h不可能是有理数，理由如下：证明：在等边三角形ABC中，BC边上的高满足“三线合一”所以BD=CD在直角三角形ABD中，根据勾股定理：AB2=AD2+得：22=h2+化简得：4=h2+1  ⟹ h2=3  ⟹3是无限不循环小数，因此等边三角形的高h=6、总结归纳无限不循环小数的特点并说明与有理数的区别.（完成在随堂笔记处）F,拓展提升7.同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？解：设正方形的边长为a（正数），根据勾股定理，对角线长度d因此，对角线长度是边长的2倍。假设存在整数a（边长）和整数d（对角线），使得d因为2是无限不循环小数，因此它的整数倍也一定是无限不循环小数所以同一个正方形的边长和对角线不可能都是整数1.观察以下小数，哪些小数是无限不循环小数（A）(A)0.12112111211112...（每两个2之间1的个数增加）(B)3.14(C)0.333...（D）0.35353535…2.下列各数中，不是有理数的是（C）（A）35（B）（C）15（D）0.1234563.已知π是无限不循环小数，则π10是（D）

A.整数B.分数

C.有理数D.4.判断正误：（1）所有无限小数都是无理数；（×）（2）所有无限不循环小数数都是无限小数；（√）（3）有理数都是有限小数；（×）（4）不是有限小数的数不是有理数。（×）5.如图，4×4的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接任意两个格点便可得到一条线段。试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。解；如图，L1，L2的长度分别为2，4，为有理数L3，L4的长度分别为5，8，不是有理数4.同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？解：设正方形的边长为a（正数），根据勾股定理，对角线长度d因此，对角线长度是边长的2倍。假设存在整数a（边长）和整数d（对角线），使得d因为2是无限不循环小数，因此它的整数倍也一定是无限不循环小数所以同一个正方形的边长和对角线不可能都是整数类型一：辨析无限不循环小数1.观察以下小数，哪些小数是无限不循环小数（A）(A)0.12112111211112...（每两个2之间1的个数增加）(B)3.14(C)0.333...（D）0.35353535…2.下列各数中，不是有理数的是（C）（A）35（B）（C）15（D）0.123456类型二：无限不循环小数的在几何中的应用1.大小两个正三角形的面积比为2:1，小三角形边长为1，求大三角形的高h；解：如图，分别给两个正三角形作高，已知小正方形边长为1，设其高为h1在正三角形中，满足“三线合一”的性质，故三角形的高将正三角形分为两个完全一样的含30°的直角三角形，故h1=1×32=因为两个三角形的面积比为2：1，所以它们的高的比为2：1，所以大三角形的高h=2×31.（2023·四川）下列各数为无限不循环小数