2026-2027学年广东省广州市越秀区高三（上）阶段训练数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广东省广州市越秀区高三（上）阶段训练数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据4，5，9，7，2的第60百分位数是(

)A.5 B.6 C.8 D.92.已知复数z=(1+i)m2+(1−i)m是纯虚数，则实数m=A.0 B.1 C.−1 D.23.已知圆x2+(y−2a)2=b2与双曲线C：A.2 B.3 C.2 4.在公差不为零的等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若S15A.14 B.15 C.16 D.175.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“asinA+bsinB=csinC”是“△ABC为直角三角形”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.设函数f(x)的定义域为R，且f(x)f(x+2)=−3，当0≤x≤2时，f(x)=2x−3，则f(2027)=A.1 B.3 C.−1 D.−37.已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为13，AB=3，A1BA.2 B.3 C.4 D.68.某居民小区里有一块边长分别为6m，8m，10m的三角形草坪(记为△ABC)，点D，E在△ABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分.如果沿DE铺设灌溉水管，则水管DE的最短长度为(

)A.23m B.4m C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知点A，B在以O为圆心，以OA为半径的圆O上，AB=2，则OA⋅AB的值(

)A.与OA的长度有关 B.与OA的长度无关

C.与∠OAB的大小有关 D.与∠OAB的大小无关10.已知函数fn(x)=sinx+12A.函数y=f2(x)的最小值为−32 B.2π是函数y=f3(x)的一个周期

C.函数y=11.已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M={x0∈R|∀x∈(x0,+∞)，f(x)>f(x0A.存在f(x)是偶函数 B.存在f(x)是严格单调递增函数

C.存在f(x)在x=−2处取得最小值 D.存在f(x)在x=1处取得极大值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知抛物线C：y=ax2经过点(2,−5)，则C的准线方程是

．13.已知等比数列{an}满足a4=8a1，且a2+a5=−9，Sn为数列{an}的前14.已知棱长为4的正四面体ABCD的中心为O，若以O为球心的球面与正四面体ABCD的棱有公共点，则球O的表面积的取值范围是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在菱形ABCD中，∠BAD=45°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△APC，连接PB，PD．

(1)证明：AC⊥PD；

(2)若二面角P−AC−B的大小为135°，求PB的长．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=cos2(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为π，且直线x=π6是函数y=f(x)图象的一条对称轴．

(1)求f(0)的值；17.(本小题15分)

已知一动圆M与圆C1：x2+y2+2x=0外切，同时与圆C2：x2+y2−2x−8=0内切，动圆圆心M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)若曲线C与x轴交于点A(a,0)，过点P(a,a−1)18.(本小题17分)

某互联网公司正在测试一款新型AI内容安全审核模型，该模型的部署需依次通过三项检测：数据预处理校验(第1关)、偏见与公平性检测(第2关)、对抗鲁棒性测试(第3关).测试人员必须按顺序完成各关检测，每关检测次数不限，只有当前关通过后才能进入下一关.一旦通过第3关，即视为模型合格并结束全部检测.已知该模型在第1，2，3关单次通过的概率分别为12，12，13，且每次检测相互独立.记“该模型在第n次检测后通过第3关”为事件An(n≥3)．

(1)求P(A3)，P(A4)；

(2)求P(An)(n≥3)的表达式；

19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(1−x)ex+12ax2−b．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】y=113.【答案】7

14.【答案】[8π,24π]

15.【答案】(1)证明：设AC∩BD=O.连接PO，

因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD，即AC⊥DO，AC⊥BO．

由折叠的性质可知，△ABC≌△APC，

所以PO⊥AC．

因为DO∩PO=O，且DO，PO⊂平面POD，

所以AC⊥平面POD．

又因为PD⊂平面POD，

所以AC⊥PD．

(2)解：由(1)可知，PO⊥AC，BO⊥AC，

所以∠POB为二面角P−AC−B的平面角，

即∠POB=135°，

在菱形ABCD中，∠BAD=45°，AB=2，

所以∠BAO=12∠BAD=22.5°，

在Rt△ABO中，BO=AB⋅sin22.5°=2sin22.5°，

由折叠性质可知，PO=BO=2sin22.5°，

在△POB中，由余弦定理得：

PB2=PO2+BO2−2⋅PO⋅BO⋅cos135°

=(2sin22.5°)216.【答案】解：(1)函数f(x)=1+cos(2ωx+2φ)2(ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为T=2π2ω=π⇒ω=1，

故f(x)=12cos(2x+2φ)+12(又0<φ<π2)，

又直线x=π6是函数y=f(x)图象的一条对称轴，

所以2×π6+2φ=kπ(k∈Z)，

解得φ=12kπ−π6(k∈Z)，又0<φ<π2，

故当k=1时，φ=π3，

所以f(x)=12cos(2x+2π17.【答案】解：(1)将圆C1、C2的方程化为标准形方程：

C1：(x+1)2+y2=1，C2：(x−1)2+y2=9，

得C1(−1,0)，r1=1；C2(1,0)，r2=3；

设动圆M的半径为R，由题意得：|MC1|=R+1，|MC2|=3−R，

两式相加得|MC1|+|MC2|=4>|C1C2|=2，

故M的轨迹为以C1、C2为焦点的椭圆，

由2a=4，得a=2，由2c=2，得c=1，故b2=a2−c2=3，

因此曲线C的方程为：x24+y23=1；

(2)PC1平分∠AC1B，理由如下：

曲线C与x轴交点为(±2,0)，18.【答案】解：(1)第n次检测后通过第3关，意味着前n−1次已经通过前两关、且第n次是第3关的首次通过．

P(A3)=12×12×13=112．

P(A4)有两种情形：第3关测两次(前两关各一次)，或第3关测一次而前两关之一测了两次．

P(A4)=12×12×23×13+2×(12)2×12×13=118+112=536．

(2)设第1关测a次、第2关测b次、第3关测c次(a,b,c≥1,a+b+c=n)．

第1关“前a−1次未通过、第a次通过“的概率为(12)a，第2关同理为(12)b，

第3关“前c−1次未通过、第c次通过“的概率为(23)c−1×13．

记s=a+b(2≤s≤n−1)，则c=n−s，而满足a+b=s的正整数对(a,b)共s−1组，

所以P(An)=s=2n−1(s−1)(12)s(23)n−s−1×13=13(23)n−1s=2n−1(s−1)(34)s．

记S=s=2n−1(s−1)(34)s，则34S=s=2n−1(s−1)(34)s+1，两式相减得

14S=(34)219.【答案】解：(1)函数的定义域为R，且f′(x)=−xex+ax=x(a−ex).

当a≤0时，a−ex<0恒成立，所以f′(x)>0(x<0)，f′(x)<0(x>0)，故f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．

当0<a<1时，令a−ex=0，得x=lna<0．

由f′(x)=x(a−ex)可得f′(x)<0(x∈(−∞,lna)∪(0,+∞))，f′(x)>0(x∈(lna,0))，

所以f(x)在(−∞,lna)和(0,+∞)上单调递减，在(lna,0)上单调递增．

当a=1时，f′(x)=x(1−ex).

当x<0时，x<0且1−ex>0；

当x>0时，x>0且1−ex<0，故除x=0外均有f′(x)<0，所以f(x)在R上单调递减．

当a>1时，lna>0．

由f′(x)=x(a−ex)可得f′(x)<0(x∈(−∞,0)∪(lna,+∞))，f′(x)>0(x∈(0