2026-2027学年贵州省黔南州广大实验高级中学高二（上）月考质量检测数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年贵州省黔南州广大实验高级中学高二（上）月考质量检测数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(

)A.单位向量的模都等于1，所以单位向量都相等

B.若两个向量相等，则这两个向量一定共线

C.若|a|=|b|，则a2.在平行六面体ABCD−A1B1C1A.AC1

B.CA1

C.3.下列命题中正确的是(

)A.若a//b，b//c，则a//c

B.对空间任意两个向量a,b，a/​/b的充要条件是存在实数λ使a=λb

C.若对空间任意一点O，有OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1，则4.已知|a|=2，|b|=3，a⋅b=−3，则A.30° B.60° C.120° D.150°5.下列关于空间向量基底的说法正确的是(

)A.空间任意三个不共线的向量都可以作为空间的一个基底

B.若{a,b,c}是空间的一个基底，则其中任意两个向量都不共线6.已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，且ka+b与2aA.−1 B.43 C.53 7.下列关于方向向量与法向量的说法正确的是(

)A.一条直线的方向向量是唯一的

B.一个平面的法向量是唯一的

C.若直线l的方向向量v与平面α的法向量n满足v⋅n=0，则l//α或l⊂α

D.若平面α的法向量与平面8.已知平面α过原点O，它的一个法向量为n=(1,1,1)；直线l过点P(1,0,0)，方向向量为v=(1,−1,0)，则l与α的位置关系是(

)A.l⊂α B.l//α C.l⊥α D.相交但不垂直二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1CA.异面直线AB1与BC1所成的角为60°

B.异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为22

10.已知平面α，β的法向量分别为n1,n2，直线l的方向向量为vA.若n1⋅n2=0，则α⊥β B.若l⊥α且l⊂β，则α⊥β

C.若n1//n2，则α11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1CA.直线AC1与平面ABCD所成角的正弦值为33

B.直线AC1与平面ABCD所成的角为30°

C.直线A1B与平面ABCD所成的角为45°

D.直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(2,−1,3)，b=(1,2,−1)，则|a−b13.已知点P(1,2,3)，直线l过原点O且方向向量为v=(1,0,0)，则点P到直线l的距离为

．14.《九章算术》称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”.如图，鳖臑P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，点M在线段PC上运动，则AM⋅BM的最小值为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知空间向量a=(1,2,2)，b=(2,−2,1)．

(1)求a+2b与2a−b的坐标，并求|a+2b|；

(2)若a+kb16.(本小题15分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中.

(1)建立适当的空间直角坐标系，写出点A1，C，B，D，C1的坐标，并求直线17.(本小题15分)

如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面△ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1=2，M为BC的中点，N为A1C的中点．

(1)建立适当的空间直角坐标系，写出A，B，C，A1，B1，C1的坐标，并用中点坐标公式求点M，N的坐标；

(2)18.(本小题17分)

如图，正四面体A−BCD的棱长为2，记AB=a，AC=b，AD=c，取{a,b,c}为空间的一组基底．

(1)用这组基底表示BC与AM(M为BC的中点)；求AB⋅CD，并由此求异面直线AB与CD所成的角；

(2)设H为A19.(本小题17分)

如图1，在四边形ABCD中，点A，C位于BD两侧，且AB=AD=2，CB=CD=2，BD=22.将△ABD沿BD折起，点A到达点A′的位置(如图2)，记二面角A′−BD−C的大小为θ(0<θ<π)．

(1)建立适当的空间直角坐标系；当θ=π2时，求线段A′C的长，并证明A′B⊥A′D；

(2)用θ表示点A′的坐标，并求|A′C|关于θ的表达式；

(3)在折叠过程中，求点A′到平面BCD1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】AB

11.【答案】AC

12.【答案】2613.【答案】1314.【答案】1

15.【答案】解：(1)∵a=(1,2,2)，b=(2,−2,1)，

∴a+2b=(1,2,2)+2(2,−2,1)=(5,−2,4)，

2a−b=2(1,2,2)−(2,−2,1)=(0,6,3)，

∴|a+2b|=52+(−2)2+42=45=35．

(2)a+k16.【答案】解：(1)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1(2,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，C1(0,2,2)，

则直线A1C的一个方向向量A1C=(−2,2,−2)；

(2)证明：因为DB=(2,2,0),DC1=(0,2,2)，

所以DB⋅A1C=−4+4=0,DC17.【答案】解：(1)以BC的中点M为原点，MC的方向为x轴正方向，MA的方向为y轴正方向，过点M且平行于AA1的直线为z轴，建立空间直角坐标系M−xyz．

A(0,3,0)，B(−1,0,0)，C(1,0,0)，A1(0,3,2)，B1(−1,0,2)，C1(1,0,2)；

M(0,0,0)，N(12,32,1)．

(2)易得平面ABC的法向量为n=(0,0,1)，MN=(12,32,1)．

记直线MN与平面ABC所成的角为α，

则sinα=|cos<MN,n>|=|MN⋅n||MN||n|=|0×12+0×32+1×1|(12)2+(32)2+18.【答案】解：(1)由图知，BC=AC−AB=b−a，AM=12(AB+AC)=12a+12b，CD=AD−AC=c−b，

则AB⋅CD=a⋅(c−b)=a⋅c−a⋅b=|a||c|cos60°−|a||b|cos60°=2×2×12−2×2×12=0，

则异面直线AB与CD所成的角为90°；

19.【答案】解：(1)证明：因为AB=AD=2，CB=CD=2，BD=22，

所以AB⊥AD，BC⊥CD，

所以四边形ABCD是正方形，

连接AC，交BD于点O，

则BO=AO=CO=DO=2，AO⊥BD，CO⊥BD，

由翻折的性质得A′O⊥BD，A′O=2

因为平面A′BD∩平面BCD=BD，A′O⊥BD，CO⊥BD，

且A′O⊂平面A′BD，CO⊂平面BCD，

所以∠A′OC即为二面角A′−BD−C的平面角，即∠A′OC=θ，

以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，垂直于平面BCD的方向为z轴，建系如图：

则O(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(−2,0,0)，

当θ=π2时，即∠A′OC=π2，

则A′O⊥CO，又A′O⊥BD，BD