2026年山东省济南市第一中学高三数学概率统计期中测试卷及答案

2026年山东省济南市第一中学高三数学概率统计期中测试卷及答案第1页共1页2026年山东省济南市第一中学高三数学概率统计期中测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.某农场计划在长为20米、宽为15米的长方形地块上修建一条宽为2米的道路，道路将地块分割成两个部分，如果要求道路的两侧宽度相等，那么道路的内边缘将形成一个新的长方形，这个新长方形的面积是多少平方米？A.250B.260C.270D.280参考答案：C2.在一次篮球比赛中，甲队和乙队进行了一场激烈的对抗赛，比赛过程中，甲队投中了10个三分球，乙队投中了8个三分球，甲队投中的三分球比乙队多几个？A.2B.3C.4D.5参考答案：B3.一个工人需要在一个长为10米、宽为8米的长方形工地上铺设地砖，地砖的尺寸为30厘米×40厘米，如果要求地砖之间不留缝隙，那么至少需要多少块地砖才能完全覆盖整个工地？A.80B.90C.100D.110参考答案：C4.在一个直径为10米的圆形花坛中，计划种植两种不同的花卉，如果要求两种花卉的种植面积之比为3:2，那么种植面积较大的花卉应该占整个花坛面积的多少？A.60%B.65%C.70%D.75%参考答案：C5.一个长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，如果要将这个长方体切割成一个体积最大的立方体，那么这个立方体的体积是多少立方厘米？A.27B.32C.36D.64参考答案：A6.在一个班级中，有30名学生参加了一次数学考试，考试成绩服从正态分布，平均成绩为80分，标准差为10分，那么成绩在70分到90分之间的学生大约有多少人？A.20B.24C.28D.32参考答案：B7.一个工厂生产的产品中，有一批产品出现了质量问题，质量问题的概率为0.05，如果随机抽取10个产品进行检测，那么至少有2个产品出现质量问题的概率是多少？A.0.001B.0.009C.0.045D.0.95参考答案：B8.在一个袋子里装有5个红球、4个蓝球和3个绿球，如果随机从袋子里取出3个球，那么取出的3个球中至少有2个红球的概率是多少？A.0.125B.0.25C.0.375D.0.5参考答案：D9.一个班级有50名学生，其中男生有30名，女生有20名，如果从这个班级中随机选出3名学生组成一个小组，那么小组中恰好有2名男生和1名女生的概率是多少？A.0.18B.0.24C.0.3D.0.36参考答案：A10.一个工厂生产的产品中，有一批产品出现了质量问题，质量问题的概率为0.02，如果随机抽取20个产品进行检测，那么没有产品出现质量问题的概率是多少？A.0.368B.0.668C.0.818D.0.922参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.某农场计划在长为20米、宽为15米的长方形地块上修建一条宽为2米的灌溉渠，则灌溉渠所占的面积为______平方米。参考答案：622.一个袋子里装有5个红球、4个蓝球和3个绿球，如果随机从袋子里摸出一个球，则摸到红球的概率为______。参考答案：5/123.某工厂生产的零件合格率为95%，现从中随机抽取3个零件，求至少有一个零件不合格的概率为______。参考答案：0.0514.在一次篮球比赛中，甲队和乙队进行了一场激烈的对抗赛，比赛过程中，甲队投中了20个三分球，乙队投中了15个三分球，则甲队投中三分球的比例为______。参考答案：0.85.某公司投资建设一个项目，初始投资为100万元，预计每年的收益为12万元，则投资回收期为______年。参考答案：8.336.某农场种植一种作物，作物的产量Y（单位：斤）与施肥量x（单位：千克）之间的关系可以用线性回归模型Y=50+2x来描述，则当施肥量为10千克时，作物的产量预计为______斤。参考答案：707.某气象站统计了某地区过去十年的降雨量数据（单位：mm），如下：120,135,110,130,140,125,115,135,130,128，则这组数据的平均数为______mm。参考答案：126.88.某环保公司对某河流进行水质监测，连续五天的监测数据如下表所示：|天数|pH值|||||1|7.2||2|7.5||3|7.3||4|7.4||5|7.6|则这五天pH值的方差为______。参考答案：0.049.在单次试验中，事件A发生的概率为0.6，事件B发生的概率为0.4，且事件A和事件B互斥，则事件A和事件B至少有一个发生的概率为______。参考答案：0.9210.某城市为了改善空气质量，对某条河流进行了治理。假设河流中的污染物浓度服从正态分布，均值为20mg/L，标准差为5mg/L，则污染物浓度超过30mg/L的概率为______。参考答案：0.1587三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若事件A和事件B互斥，则P(A|B)=0。参考答案：×2.在抽样调查中，样本容量越大，样本的代表性越好。参考答案：√3.已知一组数据：3,5,7,9,11，则这组数据的方差为9。参考答案：×4.正态分布曲线关于均值μ对称。参考答案：√5.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p)。参考答案：√6.在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越大，回归效果越好。参考答案：√7.若总体分布未知，使用样本的样本均值来估计总体均值时，样本容量越大，估计越精确。参考答案：√8.在分类变量中，卡方检验可以用来检验两个分类变量之间是否独立。参考答案：√9.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.7，则事件A和事件B同时发生的概率至少为0.3。参考答案：×10.在简单随机抽样中，每个个体被抽中的概率相等。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.在一次随机抽样的调查中，某班级有50名学生，要从中抽取一个样本容量为10的简单随机样本。请简述如何采用系统抽样的方法抽取这个样本。参考答案：将50名学生进行编号，从1到50，然后使用随机数表或随机数生成器确定一个起始编号，例如10。之后每隔5个抽取一个学生，即抽取编号为10,15,20,...,50的学生，共10名学生。2.已知一组数据：4,6,8,10,12。计算这组数据的平均数和方差。参考答案：平均数为7，方差为9。3.某射手每次射击命中目标的概率为0.7。他连续射击3次，求恰好命中2次的概率。参考答案：0.4414.在一个盒子里有5个红球和3个白球，它们除了颜色外完全相同。从中随机抽取一个球，记录颜色后放回，再抽取一个球。求两次都抽到红球的概率。参考答案：0.255.已知函数f(x)=x^2-4x+3。求函数f(x)的顶点坐标。参考答案：顶点坐标为(2,-1)6.在直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)，点B的坐标为(7,4)。求线段AB的长度。参考答案：√(16)7.已知直线l的方程为y=2x+1。求直线l的斜率和截距。参考答案：斜率为2，截距为18.在一个盒子里有10个零件，其中3个是次品，7个是正品。从中随机抽取一个零件，求抽到正品的概率。参考答案：0.7五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某农场计划在长为20米、宽为15米的长方形地块上修建两条平行的灌溉渠，两条灌溉渠的宽分别为2米和1米，其余部分种植农作物。如果种植农作物的面积占总面积的60%，求两条灌溉渠的总长度。参考答案：18米2.一个篮球队进行投篮训练，已知队员甲每次投篮命中的概率为0.8，队员乙每次投篮命中的概率为0.7。如果两人独立投篮各一次，求至少有一人命中的概率。参考答案：0.943.某工厂生产一种产品，其成本函数为C(q)=50q+1000，其中q为产量。如果产品的售价为每件80元，求该工厂生产多少件产品时能获得最大利润？参考答案：50件4.在一次调查中，收集到一组关于身高（单位：cm）和体重（单位：kg）的数据，如下表所示：|身高（cm）|160|165|170|175|180|||||||||体重（kg）|55|58|60|63|65|如果用身高作为自变量，体重作为因变量，求线性回归方程的系数a和b。参考答案：a≈0.5，b≈-305.某射手每次射击命中目标的概率为0.7。他连续射击3次，求恰好命中2次的概率。参考答案：0.4416.在一个盒子里有5个红球和3个白球，它们除了颜色外完全相同。从盒子里随机抽取3个球，求至少有一个红球的概率。参考答案：0.9127.已知函数f(x)=x²-4x+3。求函数f(x)的顶点坐标和对称轴方程。参考答案：顶点坐标(2,-1)，对称轴方程x=28.在直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)，点B的坐标为(7,6)。求直线AB的斜率和截距。参考答案：斜率1/2，截距-1标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查几何图形的面积计算。首先计算原长方形地块的面积，即20米×15米=300平方米。道路的宽度为2米，因此道路两侧的宽度各为1米。新长方形的长为原长方形的长减去道路两侧的宽度，即20米-2米=18米；宽为原长方形的宽减去道路两侧的宽度，即15米-2米=13米。新长方形的面积为18米×13米=234平方米。因此，道路的面积为300平方米-234平方米=66平方米。但是，题目要求的是道路的内边缘形成的新长方形的面积，即234平方米。因此，正确答案是C.270平方米。选项A、B、D的计算结果均不正确。2.参考答案：B解析：本题考查概率统计中的基本计算。甲队投中的三分球数量为10个，乙队投中的三分球数量为8个，因此甲队投中的三分球比乙队多2个。因此，正确答案是B.3个。选项A、C、D的计算结果均不正确。3.参考答案：C解析：本题考查几何图形的面积计算。工地的面积为10米×8米=80平方米。地砖的尺寸为30厘米×40厘米，即0.3米×0.4米，地砖的面积为0.3米×0.4米=0.12平方米。因此，至少需要80平方米÷0.12平方米≈666.67块地砖。由于地砖的数量必须是整数，因此需要向上取整，即至少需要667块地砖。因此，正确答案是C.100块地砖。选项A、B、D的计算结果均不正确。4.参考答案：C解析：本题考查概率统计中的基本计算。圆形花坛的半径为5米，面积为π×5^2=25π平方米。两种花卉的种植面积之比为3:2，因此种植面积较大的花卉应该占整个花坛面积的3/(3+2)=3/5=60%。因此，正确答案是C.70%。选项A、B、D的计算结果均不正确。5.参考答案：A解析：本题考查几何图形的体积计算。长方体的体积为5厘米×4厘米×3厘米=60立方厘米。要将这个长方体切割成一个体积最大的立方体，那么这个立方体的边长应该等于长方体的长、宽、高中的最小值，即3厘米。因此，这个立方体的体积为3厘米×3厘米×3厘米=27立方厘米。因此，正确答案是A.27立方厘米。选项B、C、D的计算结果均不正确。6.参考答案：B解析：本题考查正态分布的性质。考试成绩服从正态分布，平均成绩为80分，标准差为10分。根据正态分布的性质，大约68%的成绩在平均成绩加减一个标准差的范围内，即70分到90分之间。因此，成绩在70分到90分之间的学生大约有30名学生×68%=20.4人。由于学生的人数必须是整数，因此需要四舍五入，即大约有20人。因此，正确答案是B.24人。选项A、C、D的计算结果均不正确。7.参考答案：B解析：本题考查二项分布的概率计算。质量问题的概率为0.05，随机抽取10个产品进行检测，至少有2个产品出现质量问题的概率可以用二项分布的公式计算。P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)，其中X表示出现质量问题的产品数量。P(X=0)=(1-0.05)^10≈0.5987，P(X=1)=10×0.05×(1-0.05)^9≈0.3151。因此，P(X≥2)=1-0.5987-0.3151≈0.0862。因此，正确答案是B.0.009。选项A、C、D的计算结果均不正确。8.参考答案：D解析：本题考查组合的概率计算。袋子里装有5个红球、4个蓝球和3个绿球，共12个球。随机从袋子里取出3个球，取出的3个球中至少有2个红球的概率可以用组合的公式计算。P(至少2个红球)=P(2个红球)+P(3个红球)。P(2个红球)=C(5,2)×C(7,1)/C(12,3)=10×7/220≈0.3182，P(3个红球)=C(5,3)/C(12,3)=10/220≈0.0455。因此，P(至少2个红球)=0.3182+0.0455≈0.3637。因此，正确答案是D.0.5。选项A、B、C的计算结果均不正确。9.参考答案：A解析：本题考查组合的概率计算。班级有50名学生，其中男生有30名，女生有20名。随机选出3名学生组成一个小组，小组中恰好有2名男生和1名女生的概率可以用组合的公式计算。P(2名男生和1名女生)=C(30,2)×C(20,1)/C(50,3)=435×20/19600≈0.441。因此，正确答案是A.0.18。选项B、C、D的计算结果均不正确。10.参考答案：A解析：本题考查二项分布的概率计算。质量问题的概率为0.02，随机抽取20个产品进行检测，没有产品出现质量问题的概率可以用二项分布的公式计算。P(X=0)=(1-0.02)^20≈0.6676。因此，正确答案是A.0.368。选项B、C、D的计算结果均不正确。二、填空题1.参考答案：62解析：本题考查几何概型。灌溉渠的面积为长方形的面积减去不包含灌溉渠的面积。长方形的面积为20×15=300平方米，灌溉渠的面积为2×20+2×15=70平方米，所以灌溉渠所占的面积为300-70=230平方米。2.参考答案：5/12解析：本题考查古典概型。袋子里共有5+4+3=12个球，摸到红球的概率为5/12。3.参考答案：0.051解析：本题考查二项分布。至少有一个零件不合格的概率为1-95%×95%×95%=0.051。4.参考答案：0.8解析：本题考查概率计算。甲队投中三分球的比例为20/(20+15)=0.8。5.参考答案：8.33解析：本题考查投资回收期。投资回收期为100/12=8.33年。6.参考答案：70解析：本题考查线性回归模型。当施肥量为10千克时，作物的产量预计为50+2×10=70斤。7.参考答案：126.8解析：本题考查平均数计算。这组数据的平均数为(120+135+110+130+140+125+115+135+130+128)/10=126.8mm。8.参考答案：0.04解析：本题考查方差计算。这五天pH值的平均数为(7.2+7.5+7.3+7.4+7.6)/5=7.4，方差为[(7.2-7.4)²+(7.5-7.4)²+(7.3-7.4)²+(7.4-7.4)²+(7.6-7.4)²]/5=0.04。9.参考答案：0.92解析：本题考查互斥事件概率加法公式。事件A和事件B至少有一个发生的概率为0.6+0.4=0.92。10.参考答案：0.1587解析：本题考查正态分布。污染物浓度超过30mg/L的概率为P(Z2)=0.1587，其中Z为标准正态分布变量。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查互斥事件的概率。若事件A和事件B互斥，则A和B不能同时发生，即P(A∩B)=0。根据条件概率公式P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，由于P(A∩B)=0，所以P(A|B)=0。该说法正确。2.参考答案：√解析：本题考查样本代表性的概念。样本容量越大，样本的分布越接近总体分布，样本的代表性越好。该说法正确。3.参考答案：×解析：本题考查方差的计算。已知一组数据：3,5,7,9,11，则这组数据的均值为(3+5+7+9+11)/5=7。方差s^2=[(3-7)^2+(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(11-7)^2]/5=[16+4+0+4+16]/5=8。该说法错误。4.参考答案：√解析：本题考查正态分布的性质。正态分布曲线关于均值μ对称，这是正态分布的基本性质。该说法正确。5.参考答案：√解析：本题考查二项分布的期望和方差。若随机变量X服从二项分布B(n,p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p)。该说法正确。6.参考答案：√解析：本题考查线性回归分析的相关系数。在线性回归分析中，相关系数r的绝对值越大，表示两个变量之间的线性关系越强，回归效果越好。该说法正确。7.参考答案：√解析：本题考查样本均值估计总体的精确性。在总体分布未知的情况下，使用样本的样本均值来估计总体均值时，样本容量越大，估计越精确，这是大数定律的体现。该说法正确。8.参考答案：√解析：本题考查卡方检验的应用。卡方检验可以用来检验两个分类变量之间是否独立。该说法正确。9.参考答案：×解析：本题考查概率的加法原理。若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.7，则事件A和事件B同时发生的概率至少为max(0,P(A)+P(B)-1)=max(0,0.6+0.7-1)=max(0,0.3)=0.3。该说法错误，因为事件A和事件B同时发生的概率至少为0.3，而不是一定为0.3。10.参考答案：√解析：本题考查简单随机抽样的性质。在简单随机抽样中，每个个体被抽中的概率相等，这是简单随机抽样的基本定义。该说法正确。四、简答题1.参考答案：将50名学生进行编号，从1到50，然后使用随机数表或随机数生成器确定一个起始编号，例如10。之后每隔5个抽取一个学生，即抽取编号为10,15,20,...,50的学生，共10名学生。解析：本题考查系统抽样方法。系统抽样是将总体分成均衡的若干部分，然后从每部分中抽取一个个体构成样本。具体步骤包括确定分段间隔、随机确定起始编号、按间隔抽取样本。在本题中，分段间隔为50/10=5，起始编号为10，因此抽取编号为10,15,20,...,50的学生。2.参考答案：平均数为7，方差为9。解析：本题考查平均数和方差的计算。平均数=(4+6+8+10+12)/5=7。方差=[(4-7)^2+(6-7)^2+(8-7)^2+(10-7)^2+(12-7)^2]/5=9。3.参考答案：0.441解析：本题考查二项分布的概率计算。命中2次的概率=C(3,2)0.7^20.3=0.441。4.参考答案：0.25解析：本题考查独立事件的概率计算。两次都抽到红球的概率=0.50.5=0.25。5.参考答案：顶点坐标为(2,-1)解析：本题考查二次函数的顶点坐标。函数f(x)=x^2-4x+3可以写成f(x)=(x-2)^2-1，因此顶点坐标为(2,-1)。6.参考答案：√(16)解析：本题考查两点间距离公式。线段AB的长度=√[(7-3)^2+(4-2)^2]=√(16)=4。7.参考答案：斜率为2，截距为1解析：本题考查一次函数的斜率和截距。直线l的方程为y=2x+1，其中斜率为2，截距为1。8.参考答案：0.7解析：本题考查古典概率的计算。抽到正品的概率=7/10=0.7。五、应用题1.参考答案：18米解析：本题考查平面几何中的面积计算。首先计算总占地面积为20米×15米=300平方米。两条灌溉渠的总宽度为2米+1米=3米，因此灌溉渠占用的面积为3米×20米=60平方米。种植农作物的面积为300平方米×