计量经济学第7章自相关性-第8章多重共线性

第七章自相关性自相关性的含义，理解其产生原因理解自相关性存在的后果掌握检验自相关性的方法掌握处理和消除自相关性的方法12026/11/1§1自相关的含义及其表现形式一、自相关的含义自相关又称为序列相关，实际中，如果变量在时间或空间的顺序有一定含义，就有可能存在序列相关，特别是在时间序列数据的研究中，数据的观测值往往是按照时间的先后自然排列，因此连续观测的时间序列数据就表现出内在的相关性。经典线性回归模型假定随机误差项不相关是指对于回归模型：当随机误差项不存在自相关时，随机误差项满足：当随机误差项存在自相关时，用符号表示就是：货币需求函数估计的残差图2026/11/12二、自相关的表现形式假定随机误差项的自相关形式如下：其中，为自相关系数或自回归系数。为随机误差项，满足经典假定，且与不相关。上式表示随机误差项的一阶自相关。如果自相关系数ρ等于0，称之为误差项无自相关；如果ρ大于0，称之为误差项正自相关；如果ρ小于0，称之为误差项负自相关。除了一阶自相关外，自相关还有许多其它形式，例如：无自相关序列正自相关序列负自相关序列2026/11/13三、自相关的来源（产生的原因）1、惯性：如宏观经济上升时，国内生产总值等大多数经济变量一般会存在惯性地持续上升趋势，这类惯性常常使得随机误差项具有自相关。2、模型的函数形式设定不正确：在经验分析中，模型的正确函数形式总是未知的，若回归模型所采用的函数形式与所研究问题的真实关系不一致，或者遗漏重要解释变量，随机误差项往往也会出现自相关。3、数据处理引起的自相关：估计回归模型时所使用的数据常常是公开发表的数据，这些数据往往是经过处理后的数据，如：季度数据往往由月度数据计算得来；通过所谓的“内插”或“外推”得到人口普查、卫生服务调查等数据；研究者为了需要对模型中的变量做差分变换。这些数据处理往往会引起随机误差项自相关。4、某些模型中的随机误差项的特性带来的自相关：回归模型中，随机误差项所包含的随机因素对被解释变量影响的部分。有些随机因素对经济的影响可能会延续至随后的若干期，这样就导致误差项具有自相关。2026/11/14§2忽视自相关的后果如果误差项存在自相关，模型参数的最小二乘估计量将不再是BLUE，对回归参数的假设检验也不再可靠，具体而言，直接使用普通最小二乘法通常会带来如下结果：一、回归系数的最小二乘估计量仍具有无偏性对一元线性回归模型：无自相关情况下，的估计量为：二、估计的回归系数不再具有最小方差性经典假定下，的方差为：存在一阶自相关的方差为:=2026/11/15

2026/11/16一、图示法图示法是一种直观的自相关模型的诊断方法，它是把给定的回归模型直接用普通最小二乘法估计参数，求出残差项et，et作为ut随机项的真实估计值，再描绘残差et，的散点图，根据散点图来判断et的相关性。残差et的散点图通常有两种绘制方式。§3

自相关的检验正相关散点图负相关散点图2026/11/17二、德宾—沃森(Durbin-Watson)的DW自相关检验1、DW检验的前提条件：（1）回归模型含有截距项；（2）解释变量是非随机的；（3）随机误差项的自相关形式为一阶自相关；（4）随机误差项被假定为正态分布；（5）不能把滞后因变量作为解释变量放在模型中；（6）统计数据比较完整，没有缺失数据，样本容量充分大。2、DW检验的基本原理和步骤：（1）给出原假设：，备选假设：（2）用残差构造DW检验统计量：样本容量充分大2026/11/18自相关系数的取值范围为[-1,1]，则DW统计量的取值区间为[0,4]。（1）若误差项没有自相关，则对应DW统计量值为2。若计算得到的DW值大约为2，则表明误差项没有自相关；（2）若，表明误差项有完全正自相关，对应DW值等于0。因此DW值越接近于0，正自相关的迹象越明显；（3）若，随机误差项具有完全的负自相关，对应DW等于4。因此，DW值越接近于4，负自相关的迹象越明显。

DW统计量没有唯一的临界值帮助判断拒绝或不拒绝原假设，只有一个临界值的上限和临界值下限。将计算得到的DW值和上下限进行比较，从而容易判断误差项是否存在自相关。不同样本容量和解释变量对应的和可在附表中查得。具体判别规则如下图：2026/11/19三、布罗施—戈弗雷检验(Breusch-Godfrey,简称BG)

对于回归模型：假设其误差项的自相关形式为:原假设为：备选假设：至少有一个不为0

检验过程如下：（1）使用OLS估计模型，得到残差记为e;（2）将上述估计的残差e与残差滞后值进行辅助回归，并计算辅助回归模型的可决系数R2；（3）在大样本下，渐进地有：

对于给定显著性水平α，若计算的大于的临界值，则拒绝原假设，认为至少有一个的值显著不为0，即存在自相关。BG检验在应用过程中有几点需要注意：

（1）若模型中的解释变量不是严格外生的，会有一个或多个解释变量与相关。（2）即使误差项服从q阶移动平均过程，BG检验也适用。（3）确定滞后阶数的方法。2026/11/110四、博克斯—皮尔斯(Box-Pierce)的Q检验根据OLS估计的残差构造Q统计量：在残差无自相关的原假设下，上式所定义的统计量渐进服从自由度为p的分布。将计算的Q统计量值与临界值比较，从而接受或拒绝原假设。五、回归检验法回归检验法的步骤如下：①用给定样本估计模型并计算残差et

；②对残差序列et

,(t=1,2,…,T)用普通最小二乘法进行不同形式的回归拟合。如

et=

et–1+vt

；

et=

1

et–1+

2

et–2+vt

；

et

=

et-12+vt

；

et=

+vt

等等；③对上述各种拟合形式进行显著性检验，从而确定误差项ut存在哪一种形式的自相关。该检验法的优点：（1）适合于任何形式的自相关检验；（2）若结论存在自相关，则同时能提供出自相关的具体形式与参数的估计值；缺点是计算量大。2026/11/111按照产生自相关的原因不同，有以下几类处理方法：一是错误地设定模型的数学形式所致，这样修改模型的数学形式，探查方法是采用残差et

对解释变量的较高次幂进行回归；二是省略了重要解释变量所致，这样找出略去的解释变量，把它做为重要解释变量列入模型，探查方法可以用残差et对那些可能影响因变量但又未列入模型的解释变量回归，并作显著性检验。三是误差项ut“真正”存在自相关，解决办法是变换原回归模型，使变换后的随机误差项消除自相关，进而利用普通最小二乘法估计回归参数，这种变换方法称作广义最小二乘法。一、已知

的情况设原回归模型是

yt

=β0+β1x1t

+β2x2t+…+βkxkt+ut(t=1,2,…,n)ut具有一阶自回归形式

ut

=

ut-1+vt

vt

满足经典的假定条件Evt=0Var(vt)=常数Evtvs=0（t≠s）Cov(x,vt)=0§4

自相关性的解决方法2026/11/112令:yt*=yt-

yt-1，xjt*=xjt-xjt-1

，j=1,2,…k；β0*=β0(1-)

则原模型转化为：yt*=β0*+β1x1t*+β2x2t*

+…

+βkxkt*+vt(t=2,3,…n)上述变换称作广义差分变换。式中的误差项vt是非自相关的，满足经典假定条件，所以可对上式应用最小二乘法估计回归参数，因此所得估计量具有最佳线性无偏性。广义差分法需要注意的问题如下：

原模型滞后模型滞后模型乘以ρ差分后模型2026/11/113（1）上式中的β1…βk

就是原模型中的β1…βk，而β0*与模型中的β0

有如下关系，β0*=β0(1-

),

β0=β0*/(1-)（2）这种广义差分变换损失了一个观测值，样本容量变成n-1。为避免这种损失，K.R.Kadiyala（1968）提出对yt与xjt的第一个观测值分别作如下变换。y1*=y1

xj1*=xj1(j=1,2,…k)于是对原模型，样本容量仍然为n，作上述变换后u1*与其他随机误差项的方差相同。（3）当误差项ut

的自相关具有高阶自回归形式时，仍可用与上述相类似的方法进行广义差分变换。（4）当用广义差分变量回归的结果中仍存在自相关时可以对广义差分变量继续进行广义差分直至回归模型中不存在自相关为止。2026/11/114二、未知

的情况使用GLS校正自相关的前提是误差项的自相关系数ρ已知，事实上很少能够知道自相关系数，常用的估计方法有：1、用DW统计量估计

由DW=2(1-

)，得

=1-DW/2；利用残差et

求出DW统计量的值，然后利用上式求出自相关系数

的估计值。

2、Durbin两步法（1）假定原始模型为：，误差项一阶自相关：进行广义差分变换得到：移项并整理得令进行估计得到

的估计（2）用

的估计值对原始模型进行广义差分（广义最小二乘）估计。

2026/11/1153、科克伦—奥克特(Cochrane-Orcutt)迭代估计ρ(1)利用OLS估计原始模型，得到估计的残差(2)根据估计的残差，计算第一次ρ

的估计值(3)利用估计的值对模型进行广义的差分变换，并估计广义模型，得到第二次估计的残差和第二次对ρ

的估计值，计算公式与同。(4)重复(2)、(3)两步，直至的前后两次估计结果比较接近为止，即

注：该方法也适合于高阶自相关4、搜索估计法通过“扫描”程序，比较不同相关系数下广义差分模型的残差平方和，选取残差平方和最小的模型作为最佳模型。2026/11/116三、误差项高阶自相关的校正方法以误差项二阶自相关为例，分析高阶自相关及其校正问题，假定原始模型为：误差项为二阶自相关：使用广义差分法，对原模型变换得到：如果已知和，则可直接对上式进行估计。如果和未知，可通过原始模型的残差项自回归得到。2026/11/117§5

修正标准误的尼威—韦斯特方法该方法的核心是使用非参数的方法估计标准误，直接对误差项有自相关的回归模型使用OLS，从而避免了确定滞后阶数和估计自回归系数，但却可以提高标准误的估计精度。对多元线性回归模型：直接用OLS对其估计得到的回归系数的标准误是不精确的，尼威—韦斯特方法可对其估计的进行校正，具体步骤如下：(1)用对其余解释变量做回归：(2)对某个选定的整数,定义：其中,N为样本数量。g的选择依赖于误差项自相关的性质，自相关阶数越高g取值越大。Newey和West(1987)建议选择：(3)令表示用OLS估计模型得到的的标准误，用OLS估计模型得到误差项的标准误，则的校正标准误就是：2026/11/118第八章多重共线性多重共线性的含义多重共线性产生的原因多重共线性的后果判断多重共线性的方法及其修正方法192026/11/120§1多重共线性（multicollinearity）一、含义：多重共线性一词最早由挪威经济学家弗瑞希（R.Frisch）于1934年提出。其原义是指回归模型中的一些或全部解释变量中存在的一种完全或准确的线性关系。而现在所说的多重共线性，除指上述提到的完全多重共线性,也包括近似多重共线性。为对上述两概念加以区别，我们以一组解释变量为例：如果存在一组不完全为零的常数满足即任一变量都可以由其它变量的线性组合推出，则这组变量满足完全多重共线性；如果满足，即某一变量不仅取决于其它变量的线性组合，也取决于随机误差项，则变量组存在近似多重共线性关系（不完全多重共线性）。21二、多重共线性产生的原因多重共线性问题在金融数据中是普遍存在的，不仅存在于时间序列数据中，也存在于横截面数据中。具体而言，多重共线性产生的原因主要有以下几点：（1）数据收集及计算方法。（2）模型或从中取样的总体受到限制。（3）模型设定偏误。此外，在观测值个数较少，以至于小于解释变量个数时，也会产生多重共线性；时间序列数据中，若同时使用解释变量的当期值和滞后值，由于当期值和滞后值之间往往高度相关，也容易产生多重共线性。22§2多重共线性的后果多重共线性不会改变最小二乘估计的无偏性，但在解释变量之间存在严重的多重共线性而被忽略时，会对模型的估计、检验与预测产生严重的不良后果。以某一离差形式（即）表示的二元线性回归模型为例：若存在完全多重共线性，假设存在关系常数。则的OLS估计为：

同理也是无法确定的，即不能求得参数估计值。而对于参数估计值的方差，有

当存在近似多重共线性时，尽管可以求得参数估计值，但它们是不稳定的，同时参数估计值的方差将变大，变大的程度取决于多重共线性的严重程度。具体而言，它将造成如下的后果：（1）回归方程参数估计值将变得不精确，因为较大的方差将会导致置信区间变宽。（2）由于参数估计值的标准差变大，t值将缩小，使得t检验有可能得出错误的结论。（3）将无法区分单个变量对被解释变量的影响作用。（4）综上所述，后果为方差增大、检验失效、预测精度降低。2026/11/123方差膨胀因子24§2多重共线性的检验多重共线性普遍存在于金融、经济数据中，因此对多重共线性的检验并不是要确定其是否存在，而是要确定多重共线性的程度。由于多重共线性是对被假定为非随机变量的解释变量的情况而言的，所以它是一种样本而非总体特征，这决定了我们只能以某些经验法则来检验模型的多重共线性。多重共线性的一个主要特征是R2很高，但t值很小。对多重共线性的检验主要包括以下内容：（1）检验多重共线性问题是否严重（2）多重共线性的存在范围，即确定是由哪些主要的变量引起模型多重共线性的。（3）多重共线性的表现形式，即找出与主要变量有共线性的解释变量。25一、检验多重共线性问题是否严重---相关系数法

1、对两个解释变量的模型，采用简单相关系数法求出X1与X2的简单相关系数r，若|r|接近1，则说明两变量存在较强的多重共线性。经验表明，当r的值大于或等于0.8时，说明存在多重共线性。

2、对多个解释变量的模型，采用相关系数矩阵法，但是相关系数矩阵法是存在多重共线性的充分条件而不是必要条件。尤其在多于两个解释变量的回归模型中，有时较低的简单相关系数也意味着可能存在比较严重的多重共线性，因此仅利用相关系数来判断是否存在多重共线性，有时不能准确判断多重共线性的严重程度。3、若回归模型的R2值高（如R2

>0.8）,或F检验值显著，但单个解释变量系数估计值却不显著；或从经济理论知某个解释变量对因变量有重要影响，

但其估计值却不显著，则可以认为存在严重的多重共线性问题。26二、判断多重共线性的存在范围---辅助回归法利用模型中每一个解释变量分别以其余解释变量为解释变量进行回归，并计算相应的拟合优度。如果某一种回归的判定系数较大，说明Xj与其他X间存在共线性。判别的标准是回归模型是否通过F检验。具体可进一步对上述回归方程作F检验，构造如下F统计量

式中：Rj•2为第j个解释变量对其他解释变量的回归方程的判定系数，若存在较强的共线性，则Rj•2较大且接近于1，这时（1-Rj•2

）较小，从而Fj的值较大。因此，给定显著性水平

，计算F值，并与相应的临界值比较，来判定是否存在相关性。27三、检验多重共线性的表现形式---偏相关系数法当确定多重共线性是由哪些主要变量引起后，若要找出与主要变量有共线性的解释变量，确定多重共线性的表现形式，可采用偏相关系数法。解释变量Xi与Xj偏相关系数即是在其它的解释变量固定的情况下它们之间的相关系数。偏相关系数法构造的检验统计量定义如下：

~t(n-k-1)其中n为样本容量，k为解释变量的个数，为Xi与Xj的偏相关系数。若

显著不为零，则认为Xi是Xj是引起多重共线性的原因，否则不是。四、方差膨胀因子(VIF)检验方差膨胀因子VIFRj2是第j个解释变量与其它所有解释变量回归时的判定系数，经验表明当方差膨胀因子大于10时，认为存在严重的多重共线性。28§4多重共线性的修正

若多重共线性程度较轻微，并不严重影响系数估计值（符号正确，t值显著），则可以忽略多重共线性问题。若多重共线性对重要因素的系数估计值有严重的影响，则必须进行补救。采取何种补救措施，则取决于多重共线性因素的重要性、其它数据来源的可用性、所估计模型的目的以及其它需要考虑的事项。一、删除不必要的变量如果在产生多重共线性的因素中有相对不重要的变量，则可试着将其删除，这是解决多重共线性最简单的方法，但删除变量也可能会导致新问题的产生：（1）被删除变量对因变量的影响将被其它解释变量和随机误差项所吸收，这可能一方面解决了一部分变量的多重共线性问题，但另一方面却又同时增强了另一部分变量的多重共线性问题，而且，还可能使随机误差项的自相关程度增强。（2）