计量经济学第13章联立方程模型-第14章平稳时间序列分析

第十三章联立方程模型掌握联立方程模型的基本问题理解联立方程模型的识别问题了解联立方程模型参数的估计问题12026/11/1一、联立方程模型的基本问题单一方程模型是用一个方程描述一个经济变量与引起这个变量变化的各个因素之间的关系。解释变量X是因变量Y发生变化的原因，其因果关系是单向的。然而，经济现象是复杂的，因果关系可能是双向的，或者一果多因，或者一因多果。这时用一个单一方程很难完整地表达，需要用多个相互联系的方程，才能正确反映复杂的现实经济系统状况。1、联立方程模型的基本概念联立方程模型：由多个方程所组成的模型。2、模型变量的类型：内生变量与外生变量：内生变量是模型中本身决定的变量，也就是说它的取值是模型系统内决定的；外生变量不是由模型系统内决定的变量，也就是说它的取值是由模型系统外部决定的。还有一类就是内生变量的滞后变量，它与外生变量具有相同的性质，统称为先决变量。§1联立方程模型概述Y1i=β10+β12Y2i+γ11X1i+u1iY2i=β20+β22Y1i+γ21X1i+u2i2026/11/123、模型方程的类型：行为方程、技术方程、制度方程、恒等式。二、联立方程模型举例1、需求和供给模型根据经济学原理，商品的价格与需求量是由需求曲线和价格曲线的交点决定的。为简化问题，我们假定需求曲线和供给曲线为直线，同时考虑到影响需求量和供给量的其他因素，得到需求和供给模型。2、凯恩斯收入决定模型需求函数：Qtd=α0+α1Pt+u1t供给函数：Qts=β0+β1Pt+u2t

均衡条件：Qtd=Qts

消费函数：Ct=α0+α1Yt+ut收入恒等式：Yt=Ct+ItSDQPP0Q0消费行为方程投资行为方程

需求恒等式3、小型宏观经济模型2026/11/134、克莱因模型Ⅰ联立方程模型的一个广泛使用的例子是克莱因模型Ⅰ（1950）。该模型可以写作内生变量是方程左边的每一个，外生变量G=政府非工资支出，T=间接税加净出口，=政府工资单，A=时间趋势及常数项。模型有三个预定变量，资本存量的滞后值、私人利润的滞后至值和全部需求的滞后值；包含三个行为方程和两个会计等式。这个模型提供了小型动态经济模型的一个出色例子，被广泛用作联立方程模型估计量的检验基础。2026/11/14三、联立方程模型产生的一些后果当用联立方程模型来描述经济变量之间的相互关系时，模型中的一些变量具有这样的特性，即在一个方程中为解释变量，在另一个方程中却是被解释变量。如果将单一方程联立后，就会带来经济计量学方面的问题，主要表现在以下几个方面。1、解释变量和随机项产生了相关性为了使问题简化，我们以简化了的凯恩斯收入决定模型为例。对于模型消费模型：Ct=α0+α1Yt+ut收入恒等式：Yt=Ct+It将消费方程代入到收入恒等式中，有Yt=α0+α1Yt+ut+It，整理得：Yt=α0/(1-

α1)+1/(1-

α1)It+1/(1-

α1)ut可见在消费方程中，Yt与随机干扰项是相关的。2、参数估计式将是有偏的

我们对消费模型直接使用OLS方法估计，得到系数α1的估计为：2026/11/153、参数估计量不具有一致性由于所以即是的有偏估计量。由于这样有经济计量学把在联立方程模型中这种估计量的有偏性和不一致性称为联立方程偏倚，产生这种偏倚是由于联立方程模型中的解释变量与随机项存在相关性。2026/11/16四、联立方程模型的类型1、模型的结构型

依据经济理论设定模型所采取的形式，它直接反映出经济变量之间各种关系的完整结构。它可以是描述某一经济结构，也可以是描述某一经济体的行为。一般来说结构模型包含两类方程，一类是包含随机误差项和参数的随机方程，另一类是不含随机干扰项和参数的恒等式。这种结构方程把内生变量表示为其它内生变量、前定（预定或先决）变量和随机干扰项的函数形式，这种形式叫做结构方程的正规形式。i=1,2,……,gY为内生变量，共有g个；X为外生变量，共有k个，u为随机干扰项。为了描述方便，完备的联立方程模型的结构型一般表达为下列形式：2026/11/17

┆┆┆内生变量预定变量结构参数矩阵

内生变量向量、预定变量向量

随机扰动项向量2026/11/182、模型的简化型在结构型模型中，由于作为解释变量的变量既有预定变量，也有内生变量，因而无法从模型直接得到各个预定变量对内生变量的影响。而这个问题在经济研究中是经常出现的，这样我们就需要对结构型模型进行变形，将所有的内生变量表示为预定变量的函数，即模型的简化型。假定内生变量的结构参数矩阵是非奇异的，由联立方程模型的结构型可以得到简化型参数反映的是预定变量对内生变量的总影响，也就是说，简化型系数不但表示了预定变量对内生变量的直接影响，而且包含了预定变量对内生变量的间接影响。同时由于简化型模型中的每一个方程的解释变量都是预定变量，因而也避免了联立方程的偏倚。

结构型参数矩阵简化型参数矩阵参数关系式体系2026/11/193、递归模型递归模型是结构型模型的一种特殊形式，即第一个方程的右边包含的全部为预定变量，第二个方程右边预定变量和第一个内生变量，依此类推……，可得到如下形式的模型：这就是递归模型。引入矩阵符号，则递归模型可以写成内生变量的系数矩阵为下三角矩阵，而

模型中的其它符号和前面一样。递归模型的显著特点是，可以直接应用最小二乘法，依次估计一个方程，逐步得到全部参数估计值，而且不会产生联立偏倚。

┆┆┆2026/11/110在联立方程模型的分析中，识别问题逻辑上优先于估计，这是因为不可识别的模型估计是没有意义的。因此模型的识别问题是联立方程模型中的一个重要环节，也区别于单方程模型的一个重要特征。识别实际上是在多个方程组成的联立方程模型中，要求每个方程是单独存在的。用代数语言讲，每个方程之间是不相关的；用统计语言讲，每个方程的统计形式是唯一的。只有方程可识别，才能使我们所建立的模型中的每个方程发挥它应有的作用，这不仅是方程估计的要求，也是我们要研究经济问题的要求。一、一个描述模型识别的例子考虑前面提到的供需均衡模型，在均衡时§2联立方程模型的识别需求方程供给方程

简化型

2026/11/111由于简化型参数可以直接估计出来，那么能否根据简化型参数的估计值得到结构型参数的估计值呢？现在有四个简化型系数和五个结构型系数，这样由简化型参数就得不到结构型参数的值，因而结构型模型是不可识别的。若在模型的供给方程中增加一个价格的滞后变量，结果是什么样呢？现在有六个简化型系数和六个结构型系数，这样由简化型参数就可以得到唯一的结构型参数值，因而结构型模型是可识别的，且为恰好识别。若在模型的需求方程中增加一个消费者拥有的财产变量，结果又是什么样呢？

需求方程供给方程简化型

需求方程供给方程简化型

2026/11/112现在有八个简化型系数和七个结构型系数，这样由简化型参数得到的结构型参数值不唯一，因而结构型模型也是可识别的，这时为过度识别。二、模型识别的概念从例子的讨论我们可以看到，模型识别与否取决于模型中方程的信息，如果信息量与模型估计所需要的信息量相比不足，模型就不可识别；信息量过多，模型过度识别；信息量恰好一致，则为恰好识别。对于模型中的每一个方程来说，信息量的表达实际上是方程所包含的变量是否可以在模型中被唯一确定，即方程的统计形式是否唯一。如果是唯一的，则方程是可识别的，否则就是不可识别的。换句话说，一个方程是可识别的，就是模型中方程（可以包括被识别方程）的任意线性组合与被识别方程都不一样，则方程是可以识别的。

2026/11/113对于模型，若每一个方程都可识别，则模型可识别；对可识别模型要是每一个方程是恰好识别的，模型就是恰好识别的。如果模型中有一个方程不可识别，则模型就不可识别。方程识别状态可识别不可识别恰好识别过度识别三、模型的识别条件1、模型识别的阶条件为了规范识别的准则，对于单个方程我们给一些记号。第

i个方程的组成包括内生变量的个数记为

，预定变量的个数记为

，这样自然就得到第i

个方程不包括或排除的内生变量和预定变量的个数分别为：可以证明第i个方程可识别的必要条件是：即第i

个方程中排除的预定变量的个数至少不低于该方程中包含的内生变量的个数，这又称为方程可识别的阶条件。将该条件进行变形并整理，得：

2026/11/1142、模型识别的秩条件阶条件是一个计数规则，它并不能保证满足条件就一定可以识别，仅仅是识别的必要条件而不是充分条件。第i个方程可识别的充分必要条件是，该方程排除的变量在其余方程中变量的结构参数矩阵的秩等于方程的个数减1。3、可识别的一般原则如果G–Gi>g–1，且A矩阵的秩是g-1，则方程是过度可识别的；如果G–Gi

=g–1，且A矩阵的秩是g-1，则方程是恰好可识别的；如果G–Gi>=g–1，且A矩阵的秩小于g-1，是方程是不可识别的；如果G–Gi<

g–1，则方程是不可识别的，而A矩阵的秩一定小于g-1。

令即对完备的联立方程模型来讲，第i个方程可识别的阶条件是，方程中排除的变量个数至少不低于模型中方程的个数减1。2026/11/115由于联立方程模型问题的复杂性，使得对模型中参数的估计也会呈现多样性。对于模型的不同识别状态，有不同的估计方法。一般来讲，联立方程模型的估计分为两类，一类是单个方程的估计方法，也称为有限信息方法；另一类是系统方程估计方法，又称为完全信息方法。在实际应用中比较常用的方法是有限信息方法，它既简单又实用。一、有限信息的参数估计方法1、间接最小二乘法（ILS）对于一个可识别的结构型模型，根据简化型参数的最小二乘估计量求得参数估计量的方法称为间接最小二乘法（Indirectleastsquares，简记为ILS）。由于该方法是利用简化型参数估计量求得结构型参数，因而要求模型必须是恰好识别的，否则如果是过渡识别，由简化型求得的结构型参数是不唯一的。§3联立方程模型的估计2026/11/116（1）利用间接最小二乘法估计参数对模型的假定假定1：被估计的结构型方程是恰好识别的。假定2：

每个简化型方程的随机扰动项都应满足古典假定。假定3：

每一个预定变量之间不存在高度多重共线性。（2）间接最小二乘法的估计步骤步骤1：将结构型模型转化为简化型。步骤2：对各个简化型方程分别利用OLS方法估计，得到简化型参数。步骤3：

通过参数关系式体系，由简化型参数的估计量推出结构型参数的估计量。（3）间接最小二乘估计量的性质性质1：

简化型参数的OLS估计量是无偏和一致的。性质2：可以证明，通过参数关系式体系得到的ILS估计量是有偏和一致的。2026/11/1172、工具变量法（IV）（1）利用工具变量法估计参数对模型的假定假定1：

被估计的结构型方程是恰好识别的。假定2：每个结构型方程的随机扰动项与预定变量不相关。假定3：

每一个预定变量之间不存在高度多重共线性。（2）工具变量法的估计步骤步骤1：选择合适的工具变量。根据方程是恰好识别的，阶条件

，即在被估计方程中，作为解释变量的内生变量个数恰好与该方程排除的预定变量的个数相等。这样，就选取这些预定变量作为内生变量的工具变量。而方程中的预定变量，以自身为工具变量。步骤2：

分别以每个工具变量去乘结构方程，并对观测值求和，得到方程个数与未知结构参数个数一样多的一组线性方程组。解此方程组，可得到结构参数的估计值。2026/11/118（3）工具变量法估计量的特性❶工具变量法得到的参数估计量是渐近无偏和一致的。❷工具变量法方法一般适合恰好识别模型。对于过渡识别，可选择的工具变量个数比内生变量多，这就存在变量的选择问题。❸对于恰好识别的方程应用工具变量进行估计时存在的一个实际问题是，虽然工具变量的个数与内生变量的个数相等，如果内生变量的个数多于一个时，寻求工具变量与内生变量的对应就是一个问题。3、二阶段最小二乘法（2SLS）前面我们介绍的两种方法要求模型是恰好识别，然而在实际应用中，恰好识别的模型并不常见，一般的情形大都为过渡识别。在这种情况下，由简化型参数无法唯一地确定结构型参数。而解决这个问题的常用方法是二阶段最小二乘法（Twostageleastsquares，简记为2SLS）。所谓2SLS方法，是连续使用两次OLS，该方法是由Theil和Baseman分别于1953年和1957年各自独立提出的一种单方程估计方法，目前得到了较为普遍的应用。2026/11/119（1）利用二阶段最小二乘法估计参数对模型的假定假定1：

被估计的结构型方程是可识别的，可以是恰好识别，也可是过渡识别。实际中常见的情形是过渡识别。假定2：

每个简化型方程的随机扰动项都应满足古典假定。假定3：

每一个预定变量之间不存在高度多重共线性。（2）二阶段最小二乘法的估计步骤步骤1：

将结构型模型转化为简化型；

步骤2：

对各个简化型方程分别利用OLS方法估计，得到内生变量的拟合值

和残差，且；步骤3：

在被估计得结构型方程中，将方程中作为解释变量的内生变量

由步骤2中得到的

替换，得到一个新的方程，并采用OLS方法估计，得到结构参数的估计量。。

2026/11/120（3）二阶段最小二乘方法的特性❶2SLS方法主要是针对过渡识别模型提出的。当模型是恰好识别时，2SLS估计的结果与ILS估计的结果相同。❷2SLS实际上是一种工具变量法，即以

作为内生解释变量

的工具变量。❸可以证明2SLS估计量是渐近无偏一致的。❹在应用2SLS方法过程中，如果第一阶段对简化型方程估计时的

很高时，古典的OLS估计量与2SLS估计量将非常接近。❺2SLS方法的估计量与模型的正规化方式或被解释变量的选择有关，估计结果随每一个方程中被解释变量的不同而不同。二、完全信息的参数估计方法完全信息的参数估计是在全面考虑模型中所有约束条件的情况下，对联立方程模型中全部方程同时进行估计的方法。由于系统估计方法利用了联立方程模型的所有信息，所以也称为完全信息法。完全信息方法一般包括三阶段最小二乘法和完全信息的极大似然法等。2026/11/121一、联立性检验从联立方程模型的估计中可以看到，当方程组存在联立性时，会有一个或多个解释变量是内生变量，因而它与随机项相关。在参数估计中，如果没有联立性，普通最小二乘法就可以得到有效和一致的参数估计量，否则，普通最小二乘法估计得到的参数估计量是非一致的。下面就给出检验方程组模型是否存在联立性的一个检验方法，即豪斯曼检验（Hausmanspecificationtest）。1、豪斯曼联立性检验为了更好地理解豪斯曼设定检验的思想，我们将以一个例子来给出这个检验的原理。考虑联立方程模型其中P表示价格，Q表示数量，R表示财富，I表示收入，u是误差项。假定I和R是外生变量，P和Q为内生变量。§4联立方程模型的设定检验需求方程供给方程2026/11/122现在考虑供给函数，如果没有联立性问题，则

Pt和u2t

应该是不相关的，但若有联立性，则

Pt和u2t

就是相关的。要判断是哪一种情形，豪斯曼设定检验程序是：首先由结构型得到其简化型，即

其次用OLS简化型的第一个方程，得到

因而有将其代入到结构型模型的第二个方程中得到在没有联立性的零假设下，

与

u2t之间的相关性应该渐近为零。因此，对上述方程作回归，如果

得系数显著为零，则接受零假设，否则拒绝假设。2026/11/1232、外生性检验在联立方程模型中，明确变量是外生的还是内生的是很重要的。一般来说，作为解释变量的变量如果是内生的，则方程就无法利用OLS估计。对于方程中作为解释变量的变量是否为内生变量，我们可以利用豪斯曼检验的思想来解决，下面我们通过一个简单的例子来给出。假定有一个三个内生变量的三方程联立方程模型，并假设有三个外生变量，模型的第一个方程为：如果则y2t和y3t

是真的内生变量，则下列方程中的系数

λ1和λ2应该显著不为零。如果显著为零，则可认为y2t和y3t是外生的。和是简化型模型中y2t和y3t的预测值。2026/11/124第十四章平稳时间序列分析时间序列的基本概念自回归过程AR(p)移动平均过程MA(q)自回归移动平均过程ARMA(p,q)252026/11/1一、时间序列模型的基本概念

由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，记为，简记为xt。随机过程中的每一个元素xt都是随机变量。将每一个元素的样本点按序排列，称为随机过程的一个实现，即时间序列数据，亦即样本。二、时间序列的数字特征

1、均值函数：设时间序列，称为时间序列的均值函数。2、自协方差函数：当t=s时，称

3、自相关系数§1时间序列的基本概念2026/11/126三、随机时间序列模型（TimeSeriesModeling）随机时间序列模型是指仅用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一般形式为Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,ut)建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：(1)模型的具体形式；(2)时序变量的滞后期；(3)随机扰动项的结构。比如一般形式中取线性方程、一期滞后以及白噪声随机扰动项（ut=

t），模型将是一个1阶自回归过程AR(1)：Xt=Xt-1+t，这里，t特指一白噪声。四、平稳随机过程1、涵义：如果一个随机过程的均值函数和方差函数在时间过程上都是常数，并且在任何两期之间的协方差函数只和两期间隔的时间长度相关，而和计算该协方差的实际时间不相关，则称该随机过程为平稳随机过程，也称之为协方差平稳过程或者弱平稳过程。用公式表述如下：2026/11/127对于一个时间序列，如果其均值满足，方差满足，协方差的大小只与k的取值相关，而与t不相关，则称xt为平稳随机过程。2、平稳时间序列的特征函数

均值函数：

自协方差函数：方差（k=0）

自相关系数3、白噪声过程对于一个随机过程，如果均值E(xt)=0，；方差；协方差()，那么这一随机过程称为白噪声过程。显然白噪声过程是平稳过程，也称为高斯过程。2026/11/128平稳数据示例样本自相关系数五、滞后算子为了运算方便，引入滞后算子L，其定义为：滞后算子多项式将滞后算子多项式作用于随机变量xt，有更一般地，还可以定义算子的一个无穷级数，即设有两个算子，满足，称互为逆算子，记作例如，则有2026/11/129和和=特征方程逆特征方程一、自回归过程（模型）的定义如果一个随机模型中的元素仅仅受其滞后项和服从白噪声过程的随机扰动项的影响，则称这种模型为自回归模型(AutoRegression，AR)。

1、一阶自回归模型，记作AR(1)，可用下式表示：2、更一般地，p阶自回归模型，记作AR(p)，可用下式表示：二、自回归过程的平稳性条件只有产生时间序列的随机过程是平稳的，应用自回归模型才有意义。因此时间序列分析首先需要探讨自回归模型的平稳条件。随机时间序列模型的平稳性，可通过它所生成的随机时间序列的平稳性来判断，如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的。2026/11/130§2自回归过程AR(p)其中ut为白噪声序列过程其中ut为白噪声序列过程1、一阶自回归模型AR(1)（1）模型的平稳性条件模型利用滞后算子可以把这个过程写为可以证明当逆特征方程方程，的根都位于单位圆的外面，即时，该过程是平稳的，此时有。（2）自协方差函数和自相关函数由于序列是平稳的，有和，模型两边同时取期望并代入平稳性条件，得到：将均值代入模型并整理，得到：两边平方然后取期望可得：根据模型的假设和平稳性，得到：2026/11/131其中ut为白噪声序列过程为零2、高阶自回归模型AR(p)

（1）模型的一般表达式：一个

p-阶自回归过程可表示为：2026/11/132在模型两边同时乘以并取期望，得到对于任意的与是不相关的，又，所以有：由此可得从而由自相关系数的定义得到：显然对于平稳的AR(1)，当时，。自相关性随着时间逐渐减弱直至最后消失。其中ut为白噪声过程且（2）模型的平稳性条件如果特征方程的根都位于单位圆外，那么AR(p)过程是平稳的；或方程的根都位于单位圆内，AR(p)过程是平稳的。证明可以参见博克斯和詹金斯（G.M.Jenkins）的著作“TimeSeriesAnalysis,ForcastingandControl(1976)”。对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性：❶AR(p)模型稳定的必要条件是：

1+2++p<1❷由于

i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是：

|1|+|2|++|p|<1

2026/11/133三、模型识别到目前为止，我们是假设自回归的阶数p为已知，但实际上，我们事先并不知道阶数p为多少，我们所有的信息就是观察数据，问题是如何利用这些观察数据来判定自回归的阶数p呢？一种方法是我们逐渐增加自回归的阶数k

，检验系数ɸkk的显著性。这个系数称为偏自相关函数（见下页说明），并记它为ɸkk，它是阶数为k的自回归过程的第k个系数。显然，AR模型是偏自相关函数截尾的，不等于零的偏自相关函数中所对应的最大的k就作为自回归的阶数

p。

2026/11/134均值函数自协方差函数方差自相关函数（3）自协方差函数和自相关函数它是一个p-阶差分方程，我们称之为Yule-Walker方程。可以验证，如果AR(p)过程是平稳的，则随着k值的增大而呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0，具有拖尾性。关于偏自相关函数的涵义多元回归模型的偏回归系数，所反映的是在其他解释变量保持不变的情况下，某个解释变量对被解释变量条件期望值的边际影响，即偏效应；偏自相关函数的含义和偏回归系数类似。用ɸkj

表示k阶自回归模型中第j个回归系数，则k阶自回归模型为：其中ɸkj

是最后一个回归系数。若把ɸkj

看作是滞后期k的函数，则称为偏自相关函数。可以看出，上式中每一个回归系数ɸkj

恰好表示xt与xt-k在排除了其中间变量影响之后的相关系数，所以偏自相关函数由此得名。2026/11/135四、模型的参数估计我们可以利用最小二乘法来估计AR(p)过程中的未知参数。把观察值代入方程2026/11/136矩阵形式其中参数向量ɸ

的OLS估计量为如果ut

服从正态分布，则估计量是相合的和渐近正态的。即其中

是白噪声过程ut

的方差

的LS估计量。因为把

看作前置样本值，并且要估计p

个参数，所以上式中的分母是T-2p

而不是T-p

。并且标准的t

统计量能够被用于检验参数的显著性。自回归过程的均值由两种可能的估计，它们是：其中，是LS估计值。在一般情况下（比如，ut

服从正态分布），对应的估计量是一致的，并且具有相同的渐近正态分布。例如另外，当ut

服从正态分布时，我们也可以利用最大似然法来估计未知参数。2026/11/137方差协方差矩阵可由下式一致地估计一、移动平均过程（模型）的定义如果时间序列xt为它的当期和滞后若干期随机扰动项的线性组合，则称这种模型为移动平均模型(MovingAverage，MA)。

1、一阶移动平均模型，记作MA(1)，可用下式表示：2、更一般地，q阶移动平均模型，记作MA(q)，可用下式表示：之所以称为“移动平均”，是因为xt是由ut的加权和构造而成，类似于一个平均。由定义可知，任何一个q阶移动平均过程都是由q+1个白噪声过程的加权和组成，由于白噪声过程是平稳的，所以任何一个移动平均模型都是平稳的。2026/11/138§3移动平均过程MA(q)其中ut为白噪声序列过程其中ut为白噪声序列过程一、一阶移动平均模型MA(1)1、模型形式模型这里μ

和θ

是任意常数，用滞后算子可以把这个过程写为2、自协方差函数和自相关函数根据白噪声过程的定义有：模型两边同时取期望并代入：将均值移项后，得到：两边平方然后取期望可得方差为：

一阶自协方差为：2026/11/139其中

为白噪声序列过程所有的高阶自协方差都为零，也即对于任意的由于均值和所有的自协方差都不依赖于时间，所以对于任意的θ

，MA(1)过程是协方差平稳的。MA(1)过程的一阶自相关函数为：所有的高阶自相关函数都为零。二、高阶移动平均模型MA(q)1、模型的一般形式滞后算子表示为：2、自协方差函数和自相关函数它的均值和方差分别为2026/11/140为任意实数，

为白噪声序列过程显然，MA(q)模型是自相关函数截尾的。可以验证MA(q)的偏自相关函数ɸkk随着k

值的增大而呈现指数或者正弦波衰减，趋向于0，具有拖尾性。2026/11/141对于

，计算自协方差函数对于所有的，有所以对于任意的，MA(q)过程是平稳的。它的自协方差函数为:相应的自相关函数为三、无穷阶移动平均模型1、模型形式对于一个MA(q)

模型，如果让

，就得到如下的过程，称为过程：2、平稳性条件可以证明，如果

过程的系数的平方和是有界的，即，则移动平均模型是一个平稳的过程。一般地我们用一个更强的绝对和条件来代替平方和条件，绝对和蕴含平方和。系数是绝对和的

过程的均值和自协方差分别为：2026/11/142

四、模型识别给定一个样本，如何确定它的移动平均阶数呢？由于MA

模型是自相关函数截尾的。因此，移动平均的阶数是非零的自相关系数

所对应的最大的k

值。为了确定某个特殊的

是否非零，我们可以利用观察到的数据得到自相关函数的一个估计值，然后检验其显著性。给定一个样本

，

的一个常用估计是：是小于T的某一个数。的另一个估计是：由于

和

是渐近等价的，所以

和

也是渐近等价的。当样本容量T

很大时，

和

近似地服从均值为0，方差为1/T

的正态分布。对于5%的显著性水平，零假设接受区间为。

2026/11/143五、参数估计如何估计移动平均过程中的未知参数呢？如果假设

是一个高斯白噪声过程，我们可以利用最大似然估计法来估计未知参数。对于一个MA(q)

过程：样本

所对应的似然函数为这里

，

。关于参数

和

最大化似然函数就可得到它们ML估计量

和

。一般需要利用数值解法求解最大似然估计。2026/11/144研究者的任务是为一个给定数据集的生成过程识别一种模型表示法。当遇到一个不能由低阶AR过程或MA过程适当表示的过程，常常考虑用一个包含AR部分或MA部分的模型表示法，即ARMA模型。本节介绍ARMA模型的基本分析框架，包括模型的基本形式、平稳性条件、自协方差函数和自相关函数、平稳性与可逆性的讨论和

模型的简单介绍。在前面我们介绍了两类重要的时间序列模型，AR和MA模型，面对一个样本数据，我们如何判断它是服从AR模型还是MA模型呢？按照前面的讨论，如果有大于某个数q

的所有k，自相关函数

都为零，那么此时我们认为这些数据是由q阶移动平均过程产生的。如果有大于某个数p

的所有k

，偏自相关函数ɸkk

都为零，那么此时我们认为这些数据是由p

阶自回归过程产生的。如果两种情形都不成立，那么我们可以用自回归移动平均过程来模拟它。2026/11/145§3自回归移动平均过程ARMA(p,q)一、ARMA(p,q)过程1、模型的一般形式：阶数为

(p,q)的自回归移动平均过程可表示为我们记这个过程为

ARMA(p,q)

，其中

是一个白噪声过程。2、模型的平稳性条件模型利用滞后算子可表示为：写成算子多项式形式其中

可以证明，如果下列特征方程方程的根都位于单位圆的外面，则ARMA(p,q)过程是平稳的。

此时可以得到时间序列的均值为2026/11/1463、自协方差函数和自相关函数利用

，我们可以把模型写成如下形式：在上式两边乘以

后取期望，对于任意

，有由此可以得到，当因此，

ARMA(p,q)模型的自相关函数在q步延迟之后拖尾，且只依赖于模型中的自回归参数。而前q个自相关函数具有更复杂的形式，不仅依赖于模型中的自回归参数，还依赖于滑动平均参数。4、平稳性与可逆性如果随机过程是可逆的，它有一个无限自回归表达法。注意可逆性对过程平稳性没有影响。具有有限系数的所有移动平均过程都是平稳的。ARMA模型是否平稳仅依赖于模型的AR部分，是否可逆仅依赖于模型的MA部分。2026/11/147二、ARIMA(p,d,q)过程如果自相关性并不随着时间逐渐减弱直至最后消失，那么这个过程可能是非平稳的。比如考虑下列过程：这里xt是一个平稳过程，均值为μ‡0

。假设y0=0，那么我们有：故

。因此，

有一个时间趋势，它不是一个平稳过程。为了消除这个时间趋势，考虑

的一阶差分

，它是一个平稳过程。作差分是把非平稳过程转换成平稳过程常用的方法。如果上述模型中xt是一个ARMA(p,q)过程，那么我们称yt是一个自回归融合移动平均过程（autoregressive-integratedmoving-averageprocess），记为ARIMA(p,1,q)。如果

是一个ARMA(p,q)过程，那么yt是一个ARIMA(p,d,q)

过程。2026/11/148在前面几节中，已经概述了建立时间序列模型的博克斯-詹金斯方法（Box-Jenkins）的一些基础，这种时间序列分析方法被称为“BJ方法论”，属于时域分析方法，是现代时间序列计量经济学最重要的方法论之一。这里我们进行系统地论述。时间序列模型的博克斯-詹金斯方法这种方法是对于给定的一组数据寻找一个可适当表示数据生成过程的

模型的一种方法。它通常分为三个阶段：识别、估计和诊断检验。一、识别在识别阶段，在估计的自相关和偏自相关的基础上，对数据生成过程设定一个实验性

模型。1、如果自相关函数衰减很慢或不消失，表明是非平稳的，需要进行差分（通常1次或2次），直到获得平稳。然后对差分过程的序列识别一个ARMA模型。2026/11/149§4博克斯-詹金斯方法2、对于AR(p)过程，当

时，偏自相关函数

，且自相关逐渐减小。对相关图进行分析；或将估计值与

进行比较，可以确定自相关函数的截止点。3、对于MA(q)过程，当

时，自相关函数

，且偏自相关逐渐减小。对偏相关图进行分析；或将估计值与

进行比较，可以确定自相关函数的截止点。4、如果自相关和偏自相函数都没有截止点，则ARMA模型可能是适当的。AR模型和MA模型的阶数必须从自相关和偏自相关的特定模式中推断出来，并做一个初始的较小值的猜测。ARMA过程与其自相关函数偏自相关函数特征（k为模型中的滞后期）的图形如下：2026/11/1502026/11/151ARMA过程与其自相关函数偏自相关函数特征（k为模型中的滞后期）2026/11/1522026/11/1532026/11/154二、估计在估计阶段，运用前面所述的回归方法，可以估计纯AR过程的参数。如果包含MA项，则极大似然函数的最大化或误差平方和的最小化需要非线性最优化模型。在应用中常用的方法是条件极大似然估计和非线性最小二乘估计。对于非平稳过程yt，假定经过d次差分之后可以表达为一个平稳、可逆的自回归移动平均过程xt：

(L)

dyt=

(L)xt

=

(L)ut对于yt假定可以观测到T+d个观测值，即y-d+1,…,y0,y1,…,yT，则经过d次差分之后，xt

的样本容量为T。以{x1,…,xT}为样本估计ARMA(p,q)模型参数(

1,…,

p,

1,…,

q)。对随机过程{xt}的参数估计就如对回归模型的参数估计一样，目的使xt与其拟合值的残差平方和最小。即2026/11/155

原模型变形为：若用

，

和

分别表示对

i,，

i和ut的估计，则使下式最小。假定ut

N(0,

u2),t=1,…T，且不存在自相关，则条件对数似然函数为

之所以称之为条件对数似然函数是因为

依赖于过去的不可知观测值x0,x-1,…,x-p+1和u0,u-1,…,u-q+1。三、诊断检验一旦获得了参数的估计值，通常再检验残差是否还存在某些残余的自相关以及估计残差是否正态等。2026/11/1561、残差自相关的诊断检验对ARMA时间序列模型的一个很显然的要求就是估计的残差时间序列要近似于白噪声。如果不是这样的话，我们也许丢失了

的某些动态结构，而这些结构是应该进入ARMA模型的。被估计残差的自相关系数由下式给出如果模型适当，可以证明：

所对应的理论值是渐近无偏的，并且其方差近似于

。因此，再附加上正态性假设，在置信水平之下，一个大致的检验就是检查被估计的残差的自相关系数是否在

区间之内。刘和博克斯（LjungandBox，1978）对前K个残差自相关系数的显著性提出了一个联合检验，这个检验是用的Q统计量完成的。零假设是：H0：

1=

2=…=

K=02026/11/157即模型的误差项是一个白噪声过程。Q统计量定义为其中T表示样本容量，rk表示用残差序列计算的自相关系数值，K表示自相关系数的个数，p

表示模型自回归部分的最大滞后值，q表示移动平均部分的最大滞后值。在没有残差自相关的假设下，如果K/T比较小，但K不是太小，则上式趋于服从分布。用残差序列计算Q统计量的值。显然若残差序列不是白噪声，残差序列中必含有其它成份，自相关系数不等于零。则Q值将很大，反之Q值将很小。判别规则是：若Q<

2

(K-p-q)，则接受H0

；若Q>

2

(K-p-q)，则拒绝H0。其中

表示检验水平。另一种方法是如哥德费尔（Godfrey,1979）所描述的网状假设检验。使用拉格朗日乘数原理（LM），这些检验是很容易计算的。2026/11/158例如，检验一个AR(p)模型不是AR(p+r)或ARMA(p,r)模型。LM检验就是通过估计下式来获得的：这里

是AR(p)模型的OLS估计残差，其中当

时，令

等于0。检验统计量被计算为

，这里

是上式的决定系数，在AR(p)模型是适当的假设下，它趋于服从

分布。赫尔和麦克里尔（HallandMcaleer,1989）给出的模拟结果表明这个LM检验常常较Q统计量检验有更高的效率。2、残差的正态性检验在实际分析中，可用雅克—贝拉（Jarque-Bera,1982）提出的JB统计量检验一组数据的正态分布性。在给出JB统计量定义之前先给出偏度和峭度的定义。2026/11/159偏度(S)是描述变量分布对称性的统计量。定义如下：其中T表示样本容量，

表示yt的均值，s表示yt的标准差。由公式知若分布是对称的，则S=0；分布为右偏倚时，S

0；反之，S

0。对于正态分布，S=0。峰度(K)，亦称峭度，是描述分布的两侧尾部“薄”、“厚”的一个统计量。定义为：其中T，

和s的定义如前。正态分布的峭度等于3。如果一个分布的两侧尾部比正态分布的两侧尾部“厚”，则该分布的峭度K

3；反之，K

3。2026/11/160检验正态分布性的JB（Jarque-Bera）统计量定义如下：若用一般时间序列数据计算上式，取n=0。若用回归式的残差序列计算上式，则n表示回归式中解释变量个数。S表示偏度，K表示峭度。假设是：H0：变量服从正态分布；H1：变量不服从正态分布。根据计算，若JB

2

(2)，接受该分布服从正态分布；若JB

2

(2)，拒绝该分布服从正态分布；其中

表示检验水平。四、时间序列模型预测（最小均方误差预测）下面以ARMA(1,1)模型为例具体介绍预测方法。其他形式时间序列模型的预测方法与此类似。设对时间序列样本{yt}，

t=1,2,…,T，所拟合的模型是：2026/11/161则理论上T+1期预测值按下式计算是：用估计的参数

、、

和

分别代替上式中的

c,

1,

1和εT。上式中的εT+1是未知的，但知E(εT+1)=0，所以取εT+1=0。yT

是已知的（样本值）。对yT+1的预测按下式进行：理论上YT+2的预测式是仍取εT+1=0，εT+2=0，则yT+2的实际预测式是2026/11/162与此类推T+l期的预测式是由上可见，随着预测期的加长，预测式中移动平均项逐步淡出预测模型，预测式变成了纯自回归形式，预测值趋于序列的均值：若上面所用的yt

是一个差分变量，设

Zt=yt，则得到的预测值相当于，(t=T+1,T+2,…)。因为Zt

=Zt-1+Zt所以原序列T+1期预测值应按下式计算对于t>T+1，预测式是（t=T+2,T+3,…）其中

是相应上一步的预测结果。2026/11/163§4

ARCH模型一些时间序特别是金融时间序列，常常会出现某一特征的值成群出现的情况。如对股票收益序列建模，其扰动项往往在较大幅度波动后面伴随着较大幅度的波动，在较小幅度波动后面伴随着较小幅度的波动，这种性质称为波动的集群性。在一般回归分析和时间序列分析中，要求随机扰动项是同方差，但这类序列随机扰动项的无条件方差是常量，条件方差是变化的量。在这种情况下需要使用条件异方差模型。自回归条件异方差（ARCH）模型最初由恩格尔（Engle）于1982年提出，从那时起，出现了数以百计的研究成果来改进与修正基本的ARCH模型，以及将其应用于对汇率、股票市场、利率、个股与许多其它类型的资产的研究。博拉斯莱夫(Bollerslev)1986年将其一般化，除了考虑误差项的滞后期之外，同时也加入了误差项条件方差的滞后期，从而导出2026/11/164广义自回归条件异方差GARCH模型，由李里恩(Lilien)等人1987年提出的ARCH-Mean模型，把条件方差放入条件平均数方程中，以解释和描述风险贴水随时间变化，更为贴切地描述了风险与报酬间的关系。进一步考虑了信息不对称现象的正负冲击所引起的不同影响，Zakoian1990年提出TARCH(ThresholdARCH)模型；纳尔森(Nelso)1991年提出的指数GARCH

或EGARCH

模型；贝里亚(Baillie)等人1996年提出了FIGRCH

模型，较好地反映了序列变动异方