29-现代数字信号处理

现代数字信号处理图1.6.

1平稳随机序列的信号模型■

假设信号模型用一个p阶差分方程描述

:x(n)+a1x(n-1)+…+apx(n-p)=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q)式中,

w(n)是零均值、方差为σ2w的白噪声

;

x(n)是要研究的随机1.6.1

三种时间序列模型序列。()1.自回归-滑动平均模型（简称ARMA模型)该模型的差分方程用（)式描述

，

系统函数用下式表示：式中,是自回归参数,叫做滑动平均参数。

利用维纳辛钦定理给出其功率谱密度为类似地,可得功率谱为图1.6.

1

ARMA(p,q)随机过程模型2.滑动平均模型（MovingAverage，

简称MA模型)当（)式中ai=0,i=1,2,3,…,p时,该模型称为MA模型

。

模

型差分方程和系统函数分别表示为：x(n)=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q)H(z)=B(z)B(z)=1+b1z-1+b2z-2+…+bqz-q…上式表明该模型只有零点,没有除原点以外的极点

，

因此此模型也称为全零点模型

。

如果模型全部零点都在单位圆内部

，

则是

一个最小相位系统。

MA模型的功率谱密度为类似地,可得功率谱为图1.6.2

MA(q)随机过程模型3.自回归模型（Autoregressive,简称AR模型)当（)式中bi=0,i=1,2,3,…，q时

，

该模型称为AR模型。

模型差分方程和系统函数分别表示为：x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)+…+apx(n-p)=w(n)A(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+apz-p上式表明该模型只有极点,没有除原点以外的零点,因此该模型也称为全极点模型

。只有当全部极点都在单位圆内部时,模型才稳定。

AR模型的功率谱密度为类似地,可得功率谱为图1.6.3

AR(p)随机过程模型■

关于ARMA.AR、MA模型的功率谱

，

可以做一

个定性的描述：➢

由于MA模型是通过一个全零点滤波器产生

，

当有

零点接近单位圆时

，MA谱可能是一个深谷；➢

类似地

，

当极点接近单位圆时

，AR谱对应的频率

处会是一个尖峰；➢ARMA谱既有尖峰又有深谷。

➢滤波器长度：

一般是指滤波器的单位脉冲响应的长度。➢

对于FIR滤波器或者MA模型,其单位脉冲响应的长度是

有限长的

，

长度就是系数的个数;➢

对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型

，

其单位脉冲

响应的长度则是无限长的。➢

滤波器阶数：➢

对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型

，

阶数是指p的

大小

，

如果用差分方程表示

，

则p就是差分方程的阶数。➢对于FIR滤波器或者MA模型的阶数

，

则是指q的大小

，

或

者说是它的长度减1。

1.6.2三种时间序列信号模型的适用性■

沃尔德（Wold)分解定理：任意一个实平稳随机序列x(n)均可以分解成：x(n)=u(n)+v(n)，式中u(n)是确定性信号,v(n)是具有连续谱分布函数的平稳随机MA序列。➢

由Wold分解定理可知

，AR模型或ARMA模型可用一个可能是无穷阶的MA模型表示

，

说明MA信号模型和ARMA信号模型具有普遍适用的性质。

■

柯尔莫格洛夫（Kolmogorov)定理：该定理暗示了MA模型或ARMA模型可用一个可能是无穷

阶AR模型来表示

，

从而说明了AR信号模型的适用性

。➢

任意一个MA序列可用无限阶AR信号模型表示

，

或者用阶

数足够大的AR信号模型近似表示

。证明如下：设MA序列为

对上式进行Z变换得到X(z)=B(z)W(z)b0=

1对上式进行Z反变换,得到x(n)+g1x(n-1)+g2x(n-2)+…=w(n)◆

上式表示的就是x(n)的AR信号模型差分方程,因此证明了一个时间序列可以用有限阶MA信号模型表示时,也可以用无

限阶的AR模型表示。

B-

1

(z)=G(z)=

1+g1z-

1+g2z-2+

…X(z)G(z)=(1+g1z-

1+g2z-2+…)X(z)=W(z)设MA信号模型满足可逆性条件,即B-1(z)存在,令这样设AR模型系统函数用HAR(z)表示:令HAR(z)=H(z),即

➢

对于ARMA模型也可以用无限阶AR模型表示。可以求出ci系数■

一个ARMA模型可以用一个MA模型来表示:用MA模型表示:i≥1i=0一般AR模型适合表示时间序列的功率谱有尖峰而没有深谷的信号,MA模型适合表示其功率谱有深谷而没有尖峰的信号,ARMA模型则适合尖峰和深谷都有的情况

。

如何按照上式唯一地分解出一个因果稳定的模型系统函

数H(z)，

是本节要讨论的问题。■

有理谱信号:如果信号模型输出的功率谱是ejω或者cosω的有理函数，

这种信号称为有理谱信号。

1.6.3

自相关函数、功率谱与时间序

列信号模型的关系实平稳随机信号x(n)的功率谱为:(1.6.7)■

谱分解定理如果功率谱Pxx(ejω)是平稳随机序列x(n)的有理谱,那么一定

存在一个零极点均在单位圆内的有理函数H(z),式中,ak,bk都是实数,a0=b0=1,且|αk|＜1,|βk|＜1。

满足我们把所有可能的分解形式写出来:例

已知有理谱如下式:(1)(2)(3)(4)在以上四种分解情况中，只有（1)满足极零点均在单位圆内部

，

因此按照谱分解定理的约束条件

，

只能唯一地分解出一个零极点均在单位圆内部的系统函数

。如果没有零极点均在单位圆内部的约束条件

，

分解便不是唯一

的

。另外

，

按照谱分解定理分解出H(z)一定是最小相位系统

，

它保证了模型的可逆

性

，

即逆系统存在。

■

分解方法：我们知道功率谱是cosω的函数

，

为了对功率谱进行谱分解，下面介绍一种分解方法：（1)用φ代替cosω,得到有理函数V(φ)；（2)求出V(φ)分子、分母的全部根φi;（3)构造对每个φi的方程:该方程有两个根：Zi和1/Zi，

其中Zi是单位圆内的根;（4)用单位圆内部极零点构成H(z)，

零点是分子多项式的根Zi，

极点是分母多项式的根Zj，常数C由功率谱Pxx(ejω)确定。求其模型的系统函数。解：（1)令