福建龙岩市2026年中国精算师职业资格考试（准精算师概率论与数理统计）模拟试题及答案

福建龙岩市2026年中国精算师职业资格考试（准精算师概率论与数理统计）模拟试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1.设随机事件A与B相互独立，且P(A)=0.4A.0.2B.0.6C.0.7D.0.92.设随机变量X∼N(μ,σ2A.0.5B.1C.2D.43.设X1,X2,…,Xn是来自总体XA.nB.σC.nD.14.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则E(A.1B.1C.2D.25.设总体X∼B(1,A.XB.SC.XD.16.在假设检验中，显著性水平α表示（）。A.原假设为真时拒绝原假设的概率B.原假设为假时接受原假设的概率C.原假设为真时接受原假设的概率D.原假设为假时拒绝原假设的概率7.设随机变量X与Y的相关系数ρ=0.8，则X与A.完全正相关B.较强正相关C.完全负相关D.不相关8.设X1,X2,…,XnA.(B.(C.(D.n9.设X的概率密度为f(x)A.1B.2C.3D.410.设X1,XA.正态分布B.均匀分布C.柯西分布D.无法确定二、多项选择题（每题4分，共20分）1.下列关于概率性质的说法，正确的有（）。A.PB.PC.PD.若A⊂BE.P2.设X与Y的联合分布为P(A.iB.pC.PD.PE.X与Y独立当且仅当对一切i,j3.设X1,X2,…,XnA.iB.iC.(D.(E.i4.设总体X的分布函数为F(x)，XA.FB.对固定的x，nC.ED.DE.当n→∞时，F5.在回归分析中，关于最小二乘估计的性质，下列说法正确的有（）。A.回归系数的最小二乘估计是线性无偏估计B.在正态误差假设下，最小二乘估计也是极大似然估计C.残差平方和的期望等于σD.判定系数R2E.残差均值为0三、计算题（每题10分，共30分）1.某保险公司承保的某种风险发生损失的概率为p，且p服从(0,1π归一化得π即后验分布为Be解析：利用贝叶斯公式，先验均匀分布可视为Beta(12.设随机变量X与Y的联合概率密度为$$f(x,y)=\begin{cases}

\frac{1}{2},&0\lex\le2,\0\ley\le1,\\

0,&\text{其他}.

\end{cases}$$求Z=答案：由联合密度可知X在[0,2]上均匀分布，Y在[0E(X)=1，D故E$$D(Z)=4D(X)+9D(Y)=4\times\frac{1}{3}+9\times\frac{1}{12}

=\frac{4}{3}+\frac{3}{4}=\frac{25}{12}.$$解析：由于联合密度为常数且定义域为矩形，可直接判断独立。利用线性组合的期望和方差公式，注意独立条件下协方差为0。3.设总体X的概率密度为$$f(x;\theta)=\begin{cases}

\thetax^{\theta-1},&0<x<1,\\theta>0,\\

0,&\text{其他}.

\end{cases}$$设X1,…,X答案：似然函数为$$L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}\thetax_i^{\theta-1}

=\theta^n\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{\theta-1}.$$对数似然函数为ln对θ求导并令其为零：d解得θ解析：由于0<x<1，四、综合应用题（每题10分，共20分）1.某保险产品的索赔次数N服从均值为λ的泊松分布，且每次索赔金额X相互独立，服从均值为μ的指数分布。设单个保单的总索赔额S=i=1NXi（当NE$$D(S)=E(N)D(X)+D(N)[E(X)]^2

=\lambda\mu^2+\lambda\mu^2=2\lambda\mu^2.$$解析：N服从泊松分布，D(N)=E(N2.为检验某险种费率调整前后平均赔付额是否有显著差异，保险公司从调整前随机抽取20份保单，得到平均赔付额x1=950元，样本标准差s1=120元；调整后随机抽取25份保单，得到平均赔付额H由方差相等但未知，使用两独立样本t检验。合并方差为$$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}

=\frac{19\times120^2+24\times100^2}{20+25-2}

=\frac{273600+240000}{43}

=\frac{513600}{43}\approx11944.19.$$检验统计量为$$t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}

=\frac{950-880}{\sqrt{11944.19}\times\sqrt{\frac{1}{20}+\frac{1}{25}}}

=\frac{70}{109.29\times0.3}\approx2.135.$$查t分布表，t0.025(43)≈结论：在显著性水平0.05下，调整前后平均赔付额存在显著差异。解析：注意自由度n1以上为完整试卷，各部分答案均已给出。参考答案与解析一、单项选择题1.答案：C解析：由独立性，P(A∩2.答案：B解析：正态分布密度函数在均值处最大，故μ=2。由P(X>3)3.答案：B解析：样本方差S2是总体方差σ2的无偏估计量，即4.答案：C解析：指数分布E(X)=15.答案：A解析：E(X)6.答案：A解析：显著性水平α是犯第一类错误（弃真错误）的概率，即原假设为真时拒绝原假设的概率。7.答案：B解析：相关系数绝对值越接近1，线性相关程度越强。ρ=8.答案：B解析：当μ未知时，使用(n−1)S9.答案：C解析：由01cx2d10.答案：C解析：X1/X12+X22=X1/|X2|1+(X1/X2)2，而X1/X2服从柯西分布，但直接判断更简单：令X1=Rcos二、多项选择题1.答案：ABCDE解析：以上均为概率的基本性质，完全正确。2.答案：ABCDE解析：联合分布列的非负性、归一性、边缘分布公式以及独立性的充要条件均正确。3.答案：ABCE解析：A、E等价，由标准正态变量的平方和服从χ2(n)；B、C等价，即(1)$，但注意$\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/n}\sim\chi^2(1)$，这也属于$\chi^2$分布。因此A、B、C、D、E都服从$\chi^2$分布。但题目问“服从$\chi^2$分布的有哪些”，D也服从。所以应选ABCDE。但是注意D与样本方差和均值有关，但确实服从卡方。为了不产生歧义，可以修改D为$\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}$，这样不服从，或者改为“$\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}$”则服从。我们按标准，D写成$\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}$，这样就是卡方。但原题我想考查的是“服从卡方分布”的统计量，D如果写成$\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2/n}$，它也是卡方。所以全选也是对的。为了避免争议，我们修改D为$\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}$，这样不服从。但这是多项选择题，需要至少两个正确选项。我们可以设计为：D是$\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}$，它不是卡方。那么答案就是ABCE。但注意A和E是一样的，重复。可以改动A或E。比如A为$\frac{\sum{i=1}^{n}(Xi-\mu)^2}{\sigma^2}$，E改成别的？实际上它们两个本质上相同。我们可以去掉一个，添加另一个统计量如$t$统计量？不行，多项选择题需有错误项。为了简单，我们保留ABCE，但修改D为$\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}$（不服从卡方）。那么A和E仍等价，但可以接受。或者将E改为另一个表达式：$\sum{i=1}^{n}\left(\frac{Xi-\bar{X}}{\sigma}\right)^2$？那也不对，因为用样本均值除以总体方差不是卡方？实际上若除以$\sigma^2$，则$\sum(X_i-\bar{X})^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$，所以也可以。我们设计选项E为$\frac{1}{\sigma^2}\sum{i=1}^{n}(Xi-\bar{X})^2$，它与B、C一样，也是卡方。这样答案就是ABCE。但B和C等价，E等价，也重复。这不太好看。更好的设计：给出四个统计量，有的是卡方，有的不是。如：A.$\frac{1}{\sigma^2}\sum{i=1}^{n}(Xi-\mu)^2$（是$\chi^2(n)$）B.$\frac{1}{\sigma^2}\sum{i=1}^{n}(Xi-\bar{X})^2$（是$\chi^2(n-1)$）C.$\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}$（是$\chi^2(1)$）D.$\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$（是$N(0,1)$，不是卡方）E.$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$（是$\chi^2(