北师大版数学 第1章 勾股定理能力提升测 试卷 含答案

第1章勾股定理能力提升测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（

）A．5，6，7 B．3，4，5 C．6，9，10 D．5，11，122．如图，一棵大树在离地面6m，10m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部12mA．14m B．16m C．18m3．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，那么折痕MN与线段AB的交点N与点B的距离为(

A．53 B．52 C．4 4．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是5cm，一支铅笔长为18cm，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为A．4.5cm B．5cm C．5.5cm5．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．726．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点M、N，若NC=3，BC=4，则AC的长为（

）A．9 B．8 C．7 D．67．以下列各组三条线段长为边，能构成直角三角形的是（

）A．2，2，3 B．5，12，13 C．8，12，16 D．7，20，258．如图是从草原上的蒙古包前面看到的图形，蒙古包底面直径是12米，中间最高点D距地面4.5米，则AD的长度为（）A．10米 B．8米 C．6米 D．1529．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点．若DA=DB=15，△ABD的面积为90，则AC的长为（

A．9 B．12 C．14 D．2410．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推8m至C处时（即水平距离CD=8m），踏板离地的垂直高度CF=5m，它的绳索始终拉直，则绳索A．10m B．9m C．8m11．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，若AB=2CD=4，则ADA．20 B．24 C．28 D．3012．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（

）．A．36 B．42 C．48 D．52填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）13．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，BC=2，则点A到BC的距离14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD，若AC=6，AB=2，则BD的长为15．凹四边形ABCD的各边长度如题图所示，已知∠ADC=90°，那么凹四边形的面积为．（其中AD=8，CD=6）16．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90∘，a、b、c是(1)已知a=5，b=12，求c的值；(2)若c=40，a:b=3:4，求a，b的值．18．（8分）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．(1)直接写出AB2=________，B(2)判断△ABC的形状，并说明理由．19．（8分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处4(1)求旗杆距地面多高处折断；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D20．（8分）如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm、宽为50cm的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．(1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC．(2)线段AC的长即为蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是________________．(3)求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．21．（8分）综合与实践．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+b−a2【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DEA按如图2所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然（1）请用a，b，c，分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△BDE的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，边BC上的高为_________．（3）如图4，在△ABC中，AD是边BC上的高，AB=5，AC=6，BC=7，设BD=x，求x的值．22．（10分）如图，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．(1)证明：CF(2)若AB=10，AC=8，AF=3，求BE的长．23．（10分）台风是一种自然灾害，它以暴风眼为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风沿东西方向由点A向点B运动．已知点C为一海港，点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300km,BC=400km，且AB=500(1)求∠ACB的度数．(2)风眼离海港C最近的距离是多少？(3)若台风的速度为20km24．（12分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=5, BC=6，△ABC的面积是12，AD⊥BC于点D，点M在直线BC上，且在点B的左侧，MB=12BC，动点P从点M出发；以每秒1个单位长度的速度从点M(1)直接写出线段BM=__________；(2)用含t的代数式表示线段PD的长；(3)在AD上取点Q，使AQ=1，连接PQ，当△PDQ与△ABD全等时，求t的值；(4)在点P运动的过程中，当△ACP是以AC为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．

第1章勾股定理能力提升测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（

）A．5，6，7 B．3，4，5 C．6，9，10 D．5，11，12【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，即若一个三角形的两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形．分别计算每个选项中三条线段长度的平方，看是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，以此判断能否组成直角三角形．【详解】解：A、52+6B、32+4C、62+9D、52+11故选：B．2．如图，一棵大树在离地面6m，10m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部12mA．14m B．16m C．18m【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用，作BO⊥DC于点O，首先由题意得：AD=BO=6m，AB=OD=4m，然后根据DC=12m，得到OC=8【详解】解：如图，作BO⊥DC于点O，由题意得：AD=BO=6m，AB=OD=4∵DC=12m∴OC=8m∴由勾股定理得：BC=B∴大树的高度为10+10=20m故选：D．3．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，那么折痕MN与线段AB的交点N与点B的距离为(

A．53 B．52 C．4 【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9−x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x【详解】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9−x，∵D是BC的中点，BC=6，∴BD=3，在Rt△NBD中，x解得x=4．即BN=4．故选：C．4．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是5cm，一支铅笔长为18cm，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为A．4.5cm B．5cm C．5.5cm【答案】A【分析】本题考查的是勾股定理的应用，据图先求出AC=13cm，得出这支铅笔在笔筒外面部分长度在5【详解】解：根据题意可得图形：AB=18−6=12(cm)，BC=5在Rt△ABC中，AC=∴18−13=5cm则这只铅笔在笔筒外面部分长度在5cm观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．5．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．72【答案】A【分析】先求出大正方形与小正方形的面积差，此差值为4个直角三角形的面积和，再除以4得到一个直角三角形的面积．本题主要考查了图形面积的计算，熟练掌握大正方形、小正方形与直角三角形面积之间的关系是解题的关键．【详解】解：4个直角三角形的面积和为81−9=72，∴一个直角三角形的面积为72÷4=18．故选：A．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点M、N，若NC=3，BC=4，则AC的长为（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，掌握勾股定理与垂直平分线的性质是解题的关键．连接BN，根据勾股定理在Rt△BCN中求出BN，再由垂直平分线的性质得到AN=BN=5【详解】解：连接BN，∵∠C=90°，NC=3，BC=4，∴BN=N∵MN是AB的垂直平分线，∴AN=BN=5，∴AC=AN+NC=5+3=8．故选：B7．以下列各组三条线段长为边，能构成直角三角形的是（

）A．2，2，3 B．5，12，13 C．8，12，16 D．7，20，25【答案】B【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理进行判定即可．【详解】解：A、22B、52C、82D、72故选：B．8．如图是从草原上的蒙古包前面看到的图形，蒙古包底面直径是12米，中间最高点D距地面4.5米，则AD的长度为（）A．10米 B．8米 C．6米 D．152【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．在直角△ACD中利用勾股定理作答即可．【详解】解：根据题意知：∠ACD=90°，AC=12AB=6则由勾股定理得到：AD=A故选：D．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点．若DA=DB=15，△ABD的面积为90，则AC的长为（

A．9 B．12 C．14 D．24【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理．根据△ABD的面积为90，可求出BC=12，再由勾股定理可得CD的长，即可求解．【详解】解：∵△ABD的面积为90，∠C=90°，∴12∵DA=15，∴BC=12，∵DB=15，∴CD=B∴AC=AD+CD=15+9=24．故选：D10．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推8m至C处时（即水平距离CD=8m），踏板离地的垂直高度CF=5m，它的绳索始终拉直，则绳索A．10m B．9m C．8m【答案】A【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设AC的长为x，则AB=AC=xm，故AD=AB−BD=x−4m【详解】解：由题意可知，DE=CF=5m，BE=1∴BD=4m设AC的长为xm，则AB=AC=x所以AD=AB−BD=x−4在直角△ADC中，AD2+C解得：x=10，即绳索AC的长是10米．故选：A．11．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，若AB=2CD=4，则ADA．20 B．24 C．28 D．30【答案】A【分析】本题考查了勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；正确掌握相关性质内容是解题的关键．由勾股定理得AB2=AO2+BO2，CD2=OC2【详解】解：∵AC⊥BD，∴AB2=AO2+BO∴AB∵AB=2CD=4，则CD=2，∴AD故选：A．12．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（

）．A．36 B．42 C．48 D．52【答案】C【分析】本题主要考查勾股定理的应用、图形规律等知识点．根据勾股定理得到以直角三角形各边长为边长的正方形的面积之间的关系是解决本题的关键．根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和8+4=12，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和=12+2×4=20，...，所以每增加一次操作，面积就增加4，所以n次操作后，图中所有正方形的面积和为8+4n，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和等于=8+4×10=48．【详解】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y，∴正方形A的面积为x2，正方形B的面积为y由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边．则正方形C的面积为4．根据勾股定理可得：x2∴正方形A的面积、正方形B的面积和为4；∴图①中所有正方形的面积和=4+4=8．同理可得：正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形G的面积+正方形H的面积=正方形B的面积，∴正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=4．∴图2中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12．即一次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12．同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4．∴2次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加2×4=8+2×4=8+8=16．同理：3次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加=8+3×4=16；4次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加=8+4×4=20；……∴每增加一次操作，面积就增加4，∴n次操作后，图中所有正方形的面积和为8+4n当n=10时，图中所有正方形的面积和为=8+4×10=48．故选C．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）13．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，BC=2，则点A到BC的距离【答案】3【分析】先利用勾股定理求出AC的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，求出点A到BC的距离．本题主要考查了勾股定理以及三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理和三角形面积的不同计算方法是解题的关键．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3∴AC=B设点A到BC的距离为ℎ，∵S△ABC∴12解得ℎ=3故答案为：3214．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD，若AC=6，AB=2，则BD的长为【答案】10【分析】本题考查了勾股定理，作图-基本作图：作已知线段的垂直平分线，并掌握线段垂直平分线的性质是关键．根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．【详解】解：由作图知，DN是线段BC的垂直平分线，∴BD=CD，设BD=x，则AD=6−x，则22解得x=10故答案为：10315．凹四边形ABCD的各边长度如题图所示，已知∠ADC=90°，那么凹四边形的面积为．（其中AD=8，CD=6）【答案】36【分析】本题考查的是三角形面积以及勾股定理的应用，连接AC，过B作BM⊥AC于M，因为AB=BC=13，所以AM=CM=12AC=12×10=5，由勾股定理计算【详解】解：连接AC，过B作BM⊥AC于M，∵∠ADC=90°，AD=8，CD=6∴AC解得AC=10（负值舍弃），∵AB=BC=13，BM⊥AC，∴AM=CM=1∴BM2=A∴凹四边形的面积为=S故答案为：36．16．如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4【答案】1.23【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用AAS可证△CDE≌△ABC，得到CD=AB，进而可得DE2+AB2=DE2+C【详解】解：如图，∵∠EDC=∠ABC=∠ACE=90°，∴∠ECD+∠ACB=∠CAB+∠ACB=90°，∴∠ECD=∠CAB，在△CDE和△ABC中，∠EDC=∠CBA∠ECD=∠CAB∴△CDE≌△ABCAAS∴CD=AB，∴DE即S3同理可得S1+S∴S1∴S1故答案为：1.23．三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90∘，a、b、c是(1)已知a=5，b=12，求c的值；(2)若c=40，a:b=3:4，求a，b的值．【答案】(1)13(2)a=24，b=32【分析】本题考查了勾股定理；（1）直接利用勾股定理计算即可；（2）设a=3x，b=4x，然后利用勾股定理列式求出x=8，进而可得答案．【详解】（1）解：在Rt△ABC中，c=（2）∵a:b=3:4，∴设a=3x，b=4x，在Rt△ABC中，c∴x=8（负值已舍去），∴a=3x=24，b=4x=32．18．（8分）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上．(1)直接写出AB2=________，B(2)判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】(1)20，5，25(2)直角三角形，见解析【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．（1）利用勾股定理，进行计算即可解答；（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【详解】（1）解：AB2=22故答案为：20，5，25；（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：∵AB2=20，B∴AB∴∠B=90°，即△ABC是直角三角形．19．（8分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处4(1)求旗杆距地面多高处折断；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D【答案】(1)旗杆距地面3米处折断(2)42【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先理解AC+BC=8米，因为AB=4米，把数值代入16+AC（2）先得出D点距地面AD=3−1=2（米），把数值代入AB【详解】（1）解：∵一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C∴AC+BC=8米，∵∠A=90°，∴AB又∵AB=4米，∴16+AC∴AC=3米，∴BC=5米，∴旗杆距地面3米处折断；（2）解：如图，D点距地面AD=3−1=2（米），∴B′∴AB20．（8分）如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm、宽为50cm的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．(1)将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC．(2)线段AC的长即为蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是________________．(3)求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．【答案】(1)见解析(2)两点之间，线段最短(3)130【分析】（1）根据图形画出侧面展开图即可；（2）根据两点之间，线段最短即可求解；（3）利用勾股定理求出AC即可求解；本题考查了勾股定理的应用−最短路径问题，正确画出木块的侧面展开图是解题的关键．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：依据是两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短；（3）解：根据题意可知，侧面展开图中AB=100+20=120cm，BC=50在Rt△ABC中，由勾股定理得，A∴AC=130cm∴这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为130cm21．（8分）综合与实践．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+b−a2【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DEA按如图2所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然（1）请用a，b，c，分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△BDE的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，边BC上的高为_________．（3）如图4，在△ABC中，AD是边BC上的高，AB=5，AC=6，BC=7，设BD=x，求x的值．【答案】（1）12c2；12b+a（2）7（3）19【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证a2（2）计算出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得BC边上的高；（3）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出【详解】（1）证明：由题图，可知S四边形ABDC=S梯形AEDC=因为S四边形所以12所以12所以a2（2）由题图，可知S△ABC=4×4−1所以S△ABC解得ℎ=7（3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得A由题意，得CD=BC−BD=7−x．在Rt△ACD中，由勾股定理，得A所以25−x解得：x=1922．（10分）如图，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．(1)证明：CF(2)若AB=10，AC=8，AF=3，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)21【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用．（1）延长ED到N，使ED=DN，连接CN，FN，证明△BDE≌△CDNSAS，得到BE=CN，∠B=∠NCD（2）设AE=x，则CN=BE=AB−AE=10−x，CF=AC−AF=5，在Rt△EAF中，AF2+AE2=EF2，在Rt【详解】（1）证明：延长ED到N，使ED=DN，连接CN，FN，∵D是BC中点，∴BD=DC，∵在△BDE和△CDN中BD=DC∠EDB=∠NDC∴△BDE≌△CDNSAS∴BE=CN，∠B=∠NCD，∵DE⊥DF，ED=DN，∴EF=FN，∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠NCD+∠ACB=90°，即∠FCN=90°，在Rt△FCN中，N∴BE（2）解：设AE=x，则CN=BE=AB−AE=10−x，CF=AC−AF=5，在Rt△EAF中，A在Rt△FCN中，N由（1）知，EF=FN，∴AF∴32解得x=29∴BE=10−2923．（10分）台风是一种自然灾害，它以暴风眼为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风沿东西方向由点A向点B运动．已知点C为一海港，点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300km,BC=400km，且AB=500(1)求∠ACB的度数．(2)风眼离海港C最近的距离是多少？(3)若台风的速度为20km【答案】(1)∠ACB=90°(2)风眼离海港C最近的距离是240(3)台风影响该海港持续的时间为7【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用、三角形面积公式的应用，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形形状，结合面积公式和勾股定理解决距离及时间问题．（1）通过计算AC2+BC2（2）过点C作CD⊥AB，利用直角三角形面积公式，结合AC、BC、AB的长度求出CD的长，即风眼离海港C最近的距离；（3）在AB上