北师大版数学 第2章 实数（32个高频易错考点训练 共64题） 同步练习 含答案

第2章实数（易错题考点集训）【32个高频易错考点共64题】TOC\o"1-2"\h\u易错考点01：无理数的大小估算 2易错考点02：实数与数轴 2易错考点03：勾股定理与无理数 3易错考点04：利用算术平方根的非负性解题 3易错考点05：估计算术平方根的取值范围 4易错考点06：无理数整数部分的有关计算 4易错考点07：与算术平方根有关的规律探索题 5易错考点08：算术平方根的实际应用 5易错考点09：求代数式的平方根 6易错考点10：已知一个数的平方根，求这个数 7易错考点11：已知一个数的立方根，求这个数 7易错考点12：与立方根有关的规律探索 8易错考点13：立方根的实际应用 9易错考点14：算术平方根和立方根的综合应用 9易错考点15：程序设计与实数运算 10易错考点16：利用二次根式的性质化简 10易错考点17：复合二次根式的化简 11易错考点18：二次根式的乘除混合运算 12易错考点19：最简二次根式的判断 12易错考点20：化为最简二次根式 13易错考点21：已知最简二次根式求参数 13易错考点22：二次根式的加减运算 13易错考点23：二次根式的混合运算 14易错考点24：分母有理化 14易错考点25：已知字母的值，化简求值 15易错考点26：已知条件式，化简求值 16易错考点27：比较二次根式的大小 16易错考点28：二次根式的应用 17易错考点29：实数的混合运算 17易错考点30：新定义下的实数运算 18易错考点31：实数运算的实际应用 19易错考点32：与实数运算相关的规律题 20易错考点01：无理数的大小估算1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若−5<x<3，且x是整数，则满足条件的xA．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．（23-24七年级下·四川广元·期末）若m,n是两个连续的整数，且m<24<n，则m+n的值为易错考点02：实数与数轴3．（25-26八年级上·广东中山·开学考试）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m(1)m的值为．(2)求m−1−4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A表示的数为−2，点A向右运动2个单位长度到达点B，点C表示的数为1(1)在数轴上画出点A；(2)点B表示的数为________，其绝对值为________；(3)利用数轴比较大小：−2________12（填“>”“=”或“<”），所以点C在点易错考点03：勾股定理与无理数5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在数轴上画一个边长为1的正方形OABC，然后以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D．(1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）；(2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示；(3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示20的点M，说出你的画法．6．（22-23八年级上·全国·期中）如图，数轴上的点A所表示的数为（）A．3 B．5 C．−5 D．易错考点04：利用算术平方根的非负性解题7．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知a+2+b−1=0，那么a+bA．−1 B．1 C．34017 D．-8．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知实数x，y满足x−3+y−2=0，则代数式x−y易错考点05：估计算术平方根的取值范围9．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）10在哪两个相邻的整数之间？（2）3.1<10（3）下列四个结论中，正确的是（

）A．3.15<10<3.16 C．3.17<10<3.18 10．（24-25八年级下·天津·阶段练习）估计31的值（）A．在3和4之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间易错考点06：无理数整数部分的有关计算11．（25-26八年级上·云南曲靖·开学考试）【阅读理解】大家知道，2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，因为2的整数部分是1【解决问题】(1)23的整数部分是，小数部分是；(2)若7+13=x+y，其中x是整数，且0<y<1，求(3)已知5+11的小数部分是a，5−11的小数部分是b，求12．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）根据已知条件求值．(1)已知2a−1的平方根是±3，3a+b−5的立方根是2，求a和b的值；(2)已知a+2+(b−5)2=0，c是6的整数部分，d是易错考点07：与算术平方根有关的规律探索题13．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知2.14=1.463，21.4=4.626，30.214=0.5981，314．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：…0.06250.6256.2562.5625625062500……0.250.79062.57.9062579.06250…根据以上规律，若25.6≈5.06，2.56=1.60，则0.256易错考点08：算术平方根的实际应用15．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．(1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______；(2)请你参照上面的方法：①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a=______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及a−4．（图中标出必要线段的长）16．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，将面积分别为15和8的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．(1)点A表示的数是___________，点B表示的数是___________；(2)李丽想用面积为15的正方形纸片裁出一块面积为8的长方形纸片，且它的长与宽的比为2：易错考点09：求代数式的平方根17．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知|a|=4，b是9的算术平方根，3c−2的立方根是−2．(1)求a，b，c的值；(2)若a>b>c，求5a+b−c的平方根．18．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知2a+1的平方根是±3.3a+2b−4的立方根是−2，(1)求a和b的值；(2)求3a+b的平方根易错考点10：已知一个数的平方根，求这个数19．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）已知一个正数的两个不同的平方根分别是a+3和2a−6，b+3的立方根是−2．则3a−2b的平方根是．20．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是3−a和4a+6，b的立方根是2，求：(1)该正数是多少？(2)2b−3a的算术平方根．易错考点11：已知一个数的立方根，求这个数21．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列方程中x的值：(1)2−x3=64；（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的立方根是4，c是40的整数部分，求a+b−c的平方根．易错考点12：与立方根有关的规律探索23．（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙.1(1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：①由103=1000，1003②由59319的个位上的数是9，请你确定359319③如果划去59319后面的三位319得到59，而33=27，43(2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根；(3)请直接写出30.019683(4)427984124．（24-25七年级下·吉林白城·阶段练习）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：a⋯0.00010.01110010000⋯a⋯0.01x1y100⋯(1)表格中x=__________；y=__________；(2)从表格中探究a与a数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知10≈3.16，则1000②已知3.24=1.8，若a=180，则(3)拓展：①已知3x=1.587，若3y=−0.1587，用含x的代数式表示②已知30.214≈0.5981,3③已知312≈2.289，若3z易错考点13：立方根的实际应用（25-26八年级上·全国·课后作业）小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了4cm，量得小水桶的底面直径为6cm，求铁球的半径．（球的体积公式为V=426．（24-25八年级上·江苏·期末）解答下列各题：(1)计算：1−2求x的值：1易错考点14：算术平方根和立方根的综合应用（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知A=4a−b−3a+2是a+2的算术平方根，B=3a+2b−928．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）（1）已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是13的整数部分，求3a−b+c的平方根．（2）一个正数x的平方根分别是2a−5和2a+1，求正数x．易错考点15：程序设计与实数运算29．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（

）．A．8 B．±8 C．2 D．230．（2020·河北唐山·一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（

）A．①② B．②④ C．①④ D．①③易错考点16：利用二次根式的性质化简31．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简a−b2−b−a−232．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）计算：(1)28−32+易错考点17：复合二次根式的化简33．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22若设a+b2=(m+n2)2=m2+2则有a=m2+2n2(1)若a+b6=(m+n6)2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b(2)若a+65=(m+n5)2，且a、m(3)化简：5−17+234．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答：2−1反过来，3−22∴3−22=2(1)仿照上述过程，化简：5−26(2)若m+2n=a+b易错考点18：二次根式的乘除混合运算35．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)23×12；3×5÷1536．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)54×52÷543+23−易错考点19：最简二次根式的判断37．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列是最简二次根式的是（

）A．8 B．42 C．23 D．38．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A．16 B．16 C．6 D．易错考点20：化为最简二次根式39．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)38−−2340．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）下列等式不成立的是（

）A．32⋅23C．13=3易错考点21：已知最简二次根式求参数41．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式23−a与8化成最简二次根式后，被开方数相同．若a是正整数，则a的最小值为．42．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）若最简二次根式325a2+1与易错考点22：二次根式的加减运算43．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一个三角形的周长为75+26cm，其两边长分别为45cmA．35cm B．26cm C．44．（25-26八年级上·全国·期中）计算：(1)23−8+1易错考点23：二次根式的混合运算45．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式：a1=11+3=3按照上述规律，回答以下问题：(1)请写出第6个等式：___________；(2)请写出第n个等式：___________；(3)求a146．（24-25八年级下·山东青岛·期末）计算：(1)25+52×2易错考点24：分母有理化47．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我们知道，(2)2=2，(3+2)(3−2)=312(1)53分母有理化的结果是，16+7(2)利用以上知识计算：11+48．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，并解决相应问题：2=(1)化简17(2)若a是10的小数部分，求a2易错考点25：已知字母的值，化简求值49．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知x=5+3，y=5−50．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）小明在解决问题，已知a=12+3∵a=1∴a−2=−∴a−22=3∴a∴2a请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：(1)分母有理化：17(2)计算：12(3)若a=15−2易错考点26：已知条件式，化简求值51．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知x+y=−9,xy=9，则xyA．6 B．−6 C．3 D．−352．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读下列材料，然后回答问题：①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x=a+b，y=ab，则a2(1)计算：13(2)若m是正整数，a=m+1−mm+1+m，(3)若15+x2−易错考点27：比较二次根式的大小53．（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小：75554．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各式正确的是（

）A．5<2 B．−15<−4 C．16易错考点28：二次根式的应用55．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个树墩的截面图，年轮部分分为深色和浅色，其中深色部分以及整个截面可以看作两个同心圆．已知深色部分的半径为5cm，浅色圆环部分面积为23cm2，若πA．33cm B．63cm C．56．（2025八年级上·全国·专题练习）物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间t（单位：s）和下落高度ℎ（单位：m）之间满足关系式t=2ℎg，其中g取(1)小球从60m(2)明明认为，小球从120m的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从60易错考点29：实数的混合运算57．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）计算(1)16+3−27（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）计算：−32求x的值：4x易错考点30：新定义下的实数运算59．（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一个正实数m，我们规定：用符号m表示不大于m的最大整数（m表示不大于m的最大整数），称m为m的根整数，如：4=2，10=3．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，11①3+②a2③若方程12−x−x−3=1④进行3次连续求根整数运算后，结果为1的所有正整数m中，最大值与最小值之差为239．其中说法不正确的有（）A．① B．② C．③ D．④60．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）规定：用符号x表示不大于实数x的最大整数．例如：3.69=3（1）填空3=（2）−5=（3）若2+x=6，则x的取值范围是易错考点31：实数运算的实际应用61．（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果kx+b=0，其中k、b为有理数，x为无理数；那么必然有k=0，且b=0，据此，解决下列问题．(1)如果m−32+2−n=0，其中m、n为有理数，则m=___________，(2)如果n−223+2m=8，其中m、n为有理数，求62．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4．(1)A类正方形的边长是___________；(2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长；(3)求长方形邀请函的长和宽．易错考点32：与实数运算相关的规律题63．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：①13=1；②13+2（2）深入探究，观察下列等式：①1+2=1+2×22，②1+2+3=根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：1+2+3+⋯+n+n+1（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：①13②11364．（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）阅读下列解题过程，解答问题．1−31−51−7…(1)1−925=，(2)观察上面的解题过程，求1−2n+1n+12(3)计算：1−3

第2章实数（易错题考点集训）【32个高频易错考点共64题】TOC\o"1-2"\h\u易错考点01：无理数的大小估算 2易错考点02：实数与数轴 3易错考点03：勾股定理与无理数 4易错考点04：利用算术平方根的非负性解题 6易错考点05：估计算术平方根的取值范围 6易错考点06：无理数整数部分的有关计算 8易错考点07：与算术平方根有关的规律探索题 10易错考点08：算术平方根的实际应用 10易错考点09：求代数式的平方根 12易错考点10：已知一个数的平方根，求这个数 14易错考点11：已知一个数的立方根，求这个数 15易错考点12：与立方根有关的规律探索 16易错考点13：立方根的实际应用 19易错考点14：算术平方根和立方根的综合应用 20易错考点15：程序设计与实数运算 22易错考点16：利用二次根式的性质化简 24易错考点17：复合二次根式的化简 25易错考点18：二次根式的乘除混合运算 27易错考点19：最简二次根式的判断 29易错考点20：化为最简二次根式 29易错考点21：已知最简二次根式求参数 30易错考点22：二次根式的加减运算 31易错考点23：二次根式的混合运算 32易错考点24：分母有理化 34易错考点25：已知字母的值，化简求值 35易错考点26：已知条件式，化简求值 37易错考点27：比较二次根式的大小 39易错考点28：二次根式的应用 40易错考点29：实数的混合运算 42易错考点30：新定义下的实数运算 43易错考点31：实数运算的实际应用 45易错考点32：与实数运算相关的规律题 46易错考点01：无理数的大小估算1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若−5<x<3，且x是整数，则满足条件的xA．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【思路引导】此题考查实数的大小比较．先估算出5、3的大小，再找出−5【规范解答】解：∵1<3<4<5，∴1<3∴−5∴符合条件的x的值为：−2,−1,0,1，共4个．故选：B．2．（23-24七年级下·四川广元·期末）若m,n是两个连续的整数，且m<24<n，则m+n的值为【答案】9【思路引导】本题考查无理数的估算，利用夹逼法得出4<24<5，结合题意可得m=4，【规范解答】解：∵16<24<25，∴16<24<∵m,n是两个连续的整数，且m<24∴m=4，n=5，∴m+n=4+5=9，故答案为：9．易错考点02：实数与数轴3．（25-26八年级上·广东中山·开学考试）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m(1)m的值为．(2)求m−1−【答案】(1)−(2)−2【思路引导】本题考查了实数与数轴，差的绝对值是大数减小数，注意数轴上的点向右移动加，向左移动减．（1）根据数轴上的点向右移动加，可得答案；（2）根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．【规范解答】（1）解：m=−2故答案为：−2（2）解：根据题意可知m−1<0,3−m>0，|m−1|−|3−m|=1−m−(3−m)=1−m−3+m=−2．4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A表示的数为−2，点A向右运动2个单位长度到达点B，点C表示的数为1(1)在数轴上画出点A；(2)点B表示的数为________，其绝对值为________；(3)利用数轴比较大小：−2________12（填“>”“=”或“<”），所以点C在点【答案】(1)见解析；(2)−2+2，(3)<，右侧．【思路引导】本题考查了数轴上表示数，绝对值定义，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键．（1）在数轴上表示点即可；（2）由点A向右运动2个单位长度到达点B，则有点表示的数为−2（3）根据数轴特点即可求解．【规范解答】（1）解：如图，∴点A即为所求；（2）解：点B表示的数为−2+2，其绝对值故答案为：−2+2，（3）解：根据数轴可知，−2<12，点故答案为：<，右侧．易错考点03：勾股定理与无理数5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在数轴上画一个边长为1的正方形OABC，然后以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D．(1)点D表示的数是________，这个数是________（填“有理数”或“无理数”）；(2)通过画图说明了无理数________（填“能”或“不能”）用数轴上的点表示；(3)请你画出数轴，并在数轴上画出表示20的点M，说出你的画法．【答案】(1)2，无理数(2)能(3)详见解析【思路引导】本题考查了勾股定理，用数轴上的数表示无理数，尺规作图．（1）根据OB=OD及勾股定理求出OD=2（2）根据（1）即可得到结论；（3）根据20=25画出表示5的点，进而可画出表示20的点【规范解答】（1）由图可知OB=OD=12+∴点D表示的数是2，这个数是无理数故答案为：2，无理数（2）由（1）可知，无理数能用数轴上的点表示故答案为：能（3）因为20=2所以画法如下：①在数轴上画长方形OABC,OA=2,AB=1，使OA在数轴上且点A在原点右侧，点B在数轴的上方；②以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴于点D；③以点D为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数是20，如答图所示．证明：∵OA=2,AB=1∴OB=OD=∴DM=OD=∴OM=26．（22-23八年级上·全国·期中）如图，数轴上的点A所表示的数为（）A．3 B．5 C．−5 D．【答案】C【思路引导】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出OB的长，可得出OA的值，即可求解．【规范解答】解：如图：根据题意可得：OC=2，BC=1，∵BC⊥OC，∴OB=O即OA=OB=5∴点A表示的数为−5故选：C．易错考点04：利用算术平方根的非负性解题7．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知a+2+b−1=0，那么a+bA．−1 B．1 C．34017 D．-【答案】A【思路引导】本题主要考查了非负数的性质，利用非负数的性质确定待定的字母的值是解答的关键，根据算术平方根和绝对值的非负性，确定a、b的值，再代入代数式求值即可.【规范解答】解：∵a+2+∴a+2=0，b−1=0，∴a=−2，b=1，∴(a+b)4017故选：A．8．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知实数x，y满足x−3+y−2=0，则代数式x−y【答案】1【思路引导】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，求代数式的值，根据x−3+y−2=0求出x【规范解答】解：∵x−3∴x−3=0,y−2=0解得x=3,y=2所以代数式(x−y)故答案为：1易错考点05：估计算术平方根的取值范围9．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）10在哪两个相邻的整数之间？（2）3.1<10（3）下列四个结论中，正确的是（

）A．3.15<10<3.16 C．3.17<10<3.18 【答案】B【思路引导】本题围绕算术平方根的大小估算展开，要清楚一个正数的算术平方根介于两个整数或两个小数之间的判断方法，即通过比较被开方数与整数或小数平方数的大小来确定．（1）利用夹逼法估算即可；（2）分别计算出3.1和3.2的平方即可判断；（3）分别计算出3.15、3.16和3.17的平方即可求解．【规范解答】解：（1）因为9<10<16，所以3<10<4，即（2）3.12=3.1×3.1=9.61，因为9.61<10<10.24，所以3.1<10所以该说法正确；（3）分别计算各选项两边界值的平方：3.153.1623.172因为9.9856<10<10.0489，所以，3.16<10故选：B．10．（24-25八年级下·天津·阶段练习）估计31的值（）A．在3和4之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间【答案】B【思路引导】本题主要考查了无理数的估算，先根据无理数大小可得5<31【规范解答】解：∵25<31<36，∴25<∴5<31即31的值在5和6之间．故选：B．易错考点06：无理数整数部分的有关计算11．（25-26八年级上·云南曲靖·开学考试）【阅读理解】大家知道，2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，因为2的整数部分是1【解决问题】(1)23的整数部分是，小数部分是；(2)若7+13=x+y，其中x是整数，且0<y<1，求(3)已知5+11的小数部分是a，5−11的小数部分是b，求【答案】(1)4，23(2)13(3)1【思路引导】本题主要考查了无理数的估算．（1）先估算23的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可；（2）先估算13的大小，再根据不等式的性质估算7+13的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出x−y（3）先估算11和−11的大小，再根据不等式的性质估算5+11和5−11的大小，分别求出小数部分a和b【规范解答】（1）解：∵16<23<∴23的整数部分是4，小数部分23−4故答案为：4，23−4（2）解：∵9<13<∴7+3<7+13<7+4，∴7+13的整数部分是10，小数部分是：7+∵7+13=x+y，其中x是整数，且∴x=10，y=13∴x−y=10−13∴x−y的相反数为：13−13（3）解：∵9<11<∴−4<−11<−3，5+3<5+11∴5−4<5−11<5−3，即∵5+11的小数部分是a，5−11的小数部分是∴a=5+11−8=11∴a+b=1112．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）根据已知条件求值．(1)已知2a−1的平方根是±3，3a+b−5的立方根是2，求a和b的值；(2)已知a+2+(b−5)2=0，c是6的整数部分，d是【答案】(1)a=5，b=−2(2)−6【思路引导】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确的计算、估算．（1）运用平方根和立方根知识进行计算、求解；（2）运用非负数和算术平方根的知识进行求解．【规范解答】（1）解：由题意得，2a−1=(±3)2，解得a=5，b=−2；（2）解：∵|a+2|+(b−5)∴a+2=0，b−5=0，解得a=−2，b=5，∵2<5<3，∴6的整数部分是2，5∴5的小数部分是5即c=2，d=5∴a−2=−2−2=−2−2=−6．易错考点07：与算术平方根有关的规律探索题13．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）已知2.14=1.463，21.4=4.626，30.214=0.5981，3【答案】±0.1463【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念等，根据平方根、算术平方根、立方根的概念依次求解即可，属于基础题，熟练掌握其定义是解决本类题的关键．【规范解答】解：∵2.14=1.463∴±0.0214故答案为：±0.1463．14．（24-25七年级下·湖南永州·阶段练习）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：…0.06250.6256.2562.5625625062500……0.250.79062.57.9062579.06250…根据以上规律，若25.6≈5.06，2.56=1.60，则0.256【答案】0.506【思路引导】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系．先根据表格得到规律，再根据规律确定结果．【规范解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位．∴0.256=故答案为：0.506．易错考点08：算术平方根的实际应用15．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．(1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______；(2)请你参照上面的方法：①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a=______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及a−4．（图中标出必要线段的长）【答案】(1)−2，(2)①5，画图见解析；②画图见解析【思路引导】（1）根据图1得到小正方形的对角线长，即可得出数轴上点A和点B表示的数．（2）①根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图形即可；②从原点开始画一个长是2，高是1的长方形，对角线长即是a，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点M，再把这个长方形向左平移4个单位，用同样的方法得到点N．【规范解答】（1）解：由图1知，小正方形的对角线长是2，∴图2中点A表示的数是−2，点B表示的数是2故答案是：−2，（2）解：①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5，∴正方形的边长是5，如图所示：故答案是：5；②如图所示：16．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）如图，将面积分别为15和8的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处．(1)点A表示的数是___________，点B表示的数是___________；(2)李丽想用面积为15的正方形纸片裁出一块面积为8的长方形纸片，且它的长与宽的比为2：【答案】(1)−15，(2)她不能裁出来，理由见解析【思路引导】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据面积分别为15和8的正方形纸片，得边长为15，22（2）先列式2r2=8，则r=2，则长方形纸片的长为2r=4，根据15【规范解答】（1）解：由条件可知两个正方形面积分别为15和8，正方形纸片的边长为15，8=2∴0−15=−15∴点A表示的数为−15；点B表示的数为2故答案为：−15，2（2）解：她不能裁出来，理由如下：依题意，设长方形纸片的长为2r，由条件可知宽为r，r×2r=2r则r2∴r=2（负值已舍去），则长方形纸片的长为2×2=4，∵15<∴15<4∴她不能裁出来．易错考点09：求代数式的平方根17．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知|a|=4，b是9的算术平方根，3c−2的立方根是−2．(1)求a，b，c的值；(2)若a>b>c，求5a+b−c的平方根．【答案】(1)a=±4,b=3,c=−2(2)±5【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根、立方根：（1）根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解；（2）先根据a>b>c确定a的值，进而求出5a+b−c的值，再求平方根即可．【规范解答】（1）解：因为|a|=4，b是9的算术平方根，3c−2的立方根是−2，所以a=±4,b=3,3c−2=−8，所以c=−2．（2）解：因为a>b>c，a=±4,b=3,c=−2，所以a=4,b=3,c=−2，所以5a+b−c=5×4+3−(−2)=25．因为25的平方根是±5，所以5a+b−c的平方根是±5．18．（24-25七年级下·江西新余·期末）已知2a+1的平方根是±3.3a+2b−4的立方根是−2，(1)求a和b的值；(2)求3a+b的平方根【答案】(1)a=4，b=−8(2)±2【思路引导】本题主要考查了立方根，平方根的定义，根据立方根，平方根的定义求解即可．（1）由立方根，平方根的定义可知2a+1=9，3a+2b−4=−8，然后即可求出a，b的值．（2）把a，b的值代入3a+b，再求平方根即可．【规范解答】（1）解：∵2a+1的平方根是±3，3a+2b−4的立方根是−2，∴2a+1=9，3a+2b−4=−8，∴a=4，∴b=−8．（2）解：∵3a+b=3×4−8=4，∴3a+2b的平方根为±2．易错考点10：已知一个数的平方根，求这个数19．（25-26八年级上·陕西延安·开学考试）已知一个正数的两个不同的平方根分别是a+3和2a−6，b+3的立方根是−2．则3a−2b的平方根是．【答案】±5【思路引导】本题考查了平方根与立方根的概念以及求解方法，熟练掌握相关概念，正确求出a、b的值是解题的关键；根据两个平方根互为相反数可得关于a的方程，根据立方根的定义可求得b的值，继而可得3a−2b的值，再根据平方根的定义进行求解即可得答案.【规范解答】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是a+3和2a−6，∴a+3+2a−6=0，解得：a=1，∵b+3的立方根是−2，∴b+3=−8，解得：b=−11，∴3a−2b=3×1−2×−11∴3a−2b的平方根为：±25故答案为：±5.20．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是3−a和4a+6，b的立方根是2，求：(1)该正数是多少？(2)2b−3a的算术平方根．【答案】(1)该正数是36；(2)2b−3a的算术平方根是5．【思路引导】本题考查平方根，立方根，算术平方根，解题的关键是正确理解相关的概念．（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出这个正数即可；（2）先求出，代入代数式求出2b−3a，求算术平方根即可．【规范解答】（1）解：根据题意可得，3−a+4a+6=0，解得，a=−3，∴3−a2答：该正数是36．（2）解：∵b的立方根是2，∴b=2∴2b−3a=8×2−3×−3∴2b−3a=答：2b−3a的算术平方根是5．易错考点11：已知一个数的立方根，求这个数21．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列方程中x的值：(1)2−x3(2)64【答案】(1)x=−2；(2)x=【思路引导】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值．（1）利用立方根的定义求解即可；（2）利用立方根的定义求解即可．【规范解答】（1）解：2−x3∴2−x=4，∴x=−2；（2）解：64x+1∴x+13∴x+1=5解得：x=122．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·开学考试）已知2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的立方根是4，c是40的整数部分，求a+b−c的平方根．【答案】±7【思路引导】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，估算无理数的大小等知识点，能求出a、b、c的值是解此题的关键．根据算术平方根和立方根定义得出2a−1=9，3a+b−1=64，求出a、b的值，再估算出40的大小，求出c的值，计算a+b−c的值，最后根据平方根的定义求出即可．【规范解答】解：∵2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的立方根是4，∴2a−1=9，3a+b−1=64，解得a=5，b=50，∵36<40<49，∴6<40∵c是40的整数部分，∴c=6，∴a+b−c=5+50−6=49，∴a+b−c的平方根是±49易错考点12：与立方根有关的规律探索23．（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙.1(1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试：①由103=1000，1003②由59319的个位上的数是9，请你确定359319③如果划去59319后面的三位319得到59，而33=27，43(2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根；(3)请直接写出30.019683(4)4279841【答案】(1)①两②9③3(2)27(3)0.27(4)23【思路引导】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸．（1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可；（2）仿照（1）求解即可；（3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可；（4）仿照已给的推理过程求解即可．【规范解答】（1）解：∵103=1000∴10<∴3∵59319的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9，∴3划去59319后面的三位319得到数59，33=27，43=64，27<59<64故答案是：两，9，3；（2）解：∵103=1000∴10<∴3∵19683的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3，∴3划去19683后面的三位683得到数19，23=8，33=27，8<19<27∴3（3）解：∵3∴3故答案为：0.27；（4）解：∵104=10000∴10<4∴4划去279841后面的四位9841得到数27，24=16，34=81，16<27<81∵279841的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1，验证可得427984124．（24-25七年级下·吉林白城·阶段练习）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：a⋯0.00010.01110010000⋯a⋯0.01x1y100⋯(1)表格中x=__________；y=__________；(2)从表格中探究a与a数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知10≈3.16，则1000②已知3.24=1.8，若a=180，则(3)拓展：①已知3x=1.587，若3y=−0.1587，用含x的代数式表示②已知30.214≈0.5981,3③已知312≈2.289，若3z【答案】(1)0.1，10(2)①31.6；②32400(3)①y=−x1000；②12.89【思路引导】本题考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键．（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；（2）①根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案；②根据算术平方根的被开方数扩大10000倍，算术平方根扩大100倍，可得答案；（3）①根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案；②根据算术平方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍，可得答案；③根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案．【规范解答】（1）解：∵0.1∴x=0.01∵100∴y=100故答案为：0.1，10．（2）①解：∵10∴1000故答案为：31.6．②解：∵3.24∴3.24×10000∴a=32400，故答案为：32400．（3）①解：∵3∴3∵3∴3∴y=−x故答案为：y=−x②解：∵3∴3故答案为：12.89．③∵3∴3∴z=0.012，故答案为：0.012．易错考点13：立方根的实际应用25．（25-26八年级上·全国·课后作业）小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了4cm，量得小水桶的底面直径为6cm，求铁球的半径．（球的体积公式为V=4【答案】铁球的半径为3【思路引导】本题主要考查了利用立方根解决几何问题，解题的关键是掌握立方根运算法则．设铁球的半径为rcm【规范解答】解：设铁球的半径为rcm∵铁球的体积=π∴4解得r=3，∴铁球的半径为3cm26．（24-25八年级上·江苏·期末）解答下列各题：(1)计算：1−2(2)求x的值：1【答案】(1)2(2)x=4【思路引导】（1）根据绝对值的性质、算术平方根的定义、立方根的定义及零指数幂分别化简，再合并即可；（2）把−4移到右边，再利用立方根的定义解答即可．本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，掌握实数的运算法则及立方根的定义是解题的关键．【规范解答】（1）解：原式=2===2（2）解：∵12∴12∴x−23∴x−2=2，∴x=4．易错考点14：算术平方根和立方根的综合应用27．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知A=4a−b−3a+2是a+2的算术平方根，B=3a+2b−9【答案】1【思路引导】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出a，b的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到a、b的值，再代入A、B的表达式求出A、B，最后计算A+B的立方根．【规范解答】解：由题意知：4a−b−3=23a+2b−9=3解得：a=2，b=3，∴a+2=4,2−b=2−3=−1∴A=2，B=−1，∴A+B=2+∴A+B的立方根等于1．28．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）（1）已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根是4，c是13的整数部分，求3a−b+c的平方根．（2）一个正数x的平方根分别是2a−5和2a+1，求正数x．【答案】（1）±4；（2）9【思路引导】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握相关定义列出方程是解题的关键．（1）根据立方根和算术平方根的性质求出a，b的值，再估算出13的大小，可得c的值，即可求解．（2）根据平方根的性质可得2a−5+2a+1=0，求出a的值，即可．【规范解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，∴5a+2=27，解得a=5，又∵3a+b−1的算术平方根是4，∴3a+b−1=16，∵a=5，解得：b=2，∵c是13的整数部分，而3<13∴c=3，∴3a−b+c=16，∴3a−b+c的平方根是±4；（2）∵正数x的平方根分别是2a−5和2a+1，∴2a−5+2a+1=0，解得：a=1，∴正数x=2a−5易错考点15：程序设计与实数运算29．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（

）．A．8 B．±8 C．2 D．2【答案】D【思路引导】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可．【规范解答】解：64的算术平方根是8，是有理数，故将8取立方根为2，是有理数，将2取算术平方根得2，是无理数，故选：D．30．（2020·河北唐山·一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（

）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【答案】D【思路引导】本题主要考查了无理数的定义，求算术平方根，根据无理数生成器的计算流程可得输出值为3的输入值，即可判断①；再将16输入按要求得出答案并判断②；然后以输出值π为例说明③；随后将正整数1输入说明④即可.【规范解答】解：当输入3时，取算术平方根为3，是无理数输出3；当输入9时，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为3，是无理数输出3；当输入81时，取算术平方根为9，不是无理数，再输入9，取算术平方根为3，不是无理数，再输入3，取算术平方根为3，是无理数输出3；当输出值为3时，输入值为3或9或81或⋅⋅⋅，所以①不正确；当输入16时，取算术平方根为4，不是无理数，再输入4，取算术平方根为2，不是无理数，再输入2，取算术平方根为2，是无理数输出2.所以②正确；当输入π2，取算术平方根为π，是无理数，输出π，但是π所以③不正确；当输入正整数1，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值.所以④正确.则不正确的有①③.故选：D.易错考点16：利用二次根式的性质化简31．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简a−b2−b−a−2【答案】2【思路引导】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键．先由实数a、b在数轴上的位置可得−3<a<−2,0<b<1，则a−b<0，再根据二次根式的性质化简，最后根据整式的加减法则求解即可．【规范解答】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得−3<a<−2,0<b<1，∴a−b<0，∴a−b=−=−a+b−b+a+2=2．故答案为：2．32．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）计算：(1)28(2)3【答案】(1)2(2)−【思路引导】本题考查了二次根式的性质，实数的加减运算，掌握这些知识是解题的关键；（1）利用二次根式的性质化简后再相加即可；（2）利用立方根、算术平方根计算各根式，再相加即可．【规范解答】（1）解：原式=4=2（2）解：原式=−3+4−=−1易错考点17：复合二次根式的化简33．（24-25八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22若设a+b2=(m+n2)2=m2+2则有a=m2+2n2(1)若a+b6=(m+n6)2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b(2)若a+65=(m+n5)2，且a、m(3)化简：5−17+2【答案】(1)m2+6(2)a的值为46或14(3)7【思路引导】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键．（1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出a、b；（2）在（1）的基础上，求出a=m2+5n2，2mn=6，根据a，m，n（3）设5−17+27+【规范解答】（1）解：∵a+b6∴a+b6=m2+2mn6+6n2∴a=m2+6故答案为：m2+6n（2）解：∵a+65∴a+65=m2+2nm5+5∴a=m2+5∴mn=3，①m=1，n=3，a=46，②m=3，n=1，a=14，综上所述：a=46或14；（3）解：设5−17+2则t=10+2=10+2=10+2=10+2=8+2=(∵∴t=∴原式=734．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）观察、思考、作解答：2−1反过来，3−22∴3−22=2(1)仿照上述过程，化简：5−26(2)若m+2n=a+b【答案】(1)3(2)m=a+b，n=ab【思路引导】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）模仿题干过程，得5−26=3（2）因为m+2n=a【规范解答】（1）解：依题意5−2∴5−2（2）解：∵m+2n∴m+2n即m=a+b，n=ab．易错考点18：二次根式的乘除混合运算35．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)23(2)3×(3)3×(4)912【答案】(1)2(2)7(3)5(4)3【思路引导】本题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题的关键．（1）根据二次根式乘法法则，将两个根式相乘转化为一个根式内的乘法运算，再化简得出结果．（2）利用二次根式的乘除法则，把分子中的根式相乘后与分母的根式进行运算，化简得到答案．（3）按照从左到右的顺序，先进行二次根式的乘法运算，再进行除法运算（转化为乘法），最后化简．（4）把每个根式先化简，然后将除法转化为乘法，依次进行乘法运算，最后化简得出结果．【规范解答】（1）解：原式=2（2）解：原式=3×35（3）解：原式=3×5（4）解：原式=336．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)54×(2)3−(3)43(4)14【答案】(1)9(2)18−6(3)−(4)−9【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是关键．（1）先化简各项，再利用二次根式的运算法则求解即可；（2）利用完全平方公式先去括号，再进行运算即可；（3）先化简各项，再利用二次根式的运算法则求解即可；（4）先化简各项，再利用二次根式的运算法则求解即可．【规范解答】（1）解：原式=3=3×==9．（2）解：原式==3−2=18−65（3）解：原式==−8（4）解：原式===−96易错考点19：最简二次根式的判断37．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列是最简二次根式的是（

）A．8 B．42 C．23 D．【答案】B【思路引导】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练掌握最简二次根式满足的两个条件：1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．【规范解答】解：A、8=2B、42是最简二次根式，则此项符合题意；C、23D、4a故选：B．38．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A．16 B．16 C．6 D．【答案】C【思路引导】本题主要考查了最简二次根式的概念．最简二次根式应该根号里没(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数中不含分母．被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．【规范解答】A、16B、16=4C、6，不能化简，是最简二次根式，本选项符合题意；D、0.6=故选：C．易错考点20：化为最简二次根式39．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：(1)38(2)24−【答案】(1)3(2)−【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，选择恰当的解题方法，是解答本题的关键．（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，得到答案．（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，得到答案．【规范解答】（1）解：原式=6（2）解：原式=2640．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）下列等式不成立的是（

）A．32⋅23C．13=3【答案】B【思路引导】本题考查二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式的化简，二次根式的减法，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键，利用二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式的化简，二次根式的减法逐项进行计算即可判断．【规范解答】解：A中，32B中，8÷C中，13D中，27−故选：B．易错考点21：已知最简二次根式求参数41．（25-26八年级上·全国·周测）已知二次根式23−a与8化成最简二次根式后，被开方数相同．若a是正整数，则a的最小值为．【答案】5【思路引导】本题考查了最简二次根式，由8=22，且与23−a是同类二次根式，则分23−a=2时，23−a=8时，23−a=18时，23−a=32时，进行讨论，然后求出【规范解答】解：∵8=22，二次根式23−a与∴23−a=2时，a=21；23−a=8时，a=15；23−a=18时，a=5；23−a=32时，a=−9（舍去）；∴符合条件的正整数a的值为5，15，21，∴a的最小值为5，故答案为：5．42．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）若最简二次根式325a2+1与【答案】±1【思路引导】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义得5a【规范解答】解：∵最简二次根式325a∴325a∴5a解得a=±1．经检验，a=±1时，5a故答案为：±1．易错考点22：二次根式的加减运算43．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一个三角形的周长为75+26cm，其两边长分别为45cmA．35cm B．26cm C．【答案】C【思路引导】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．根据三角形周长公式，用周长减去已知的两条边的长度，即可求出第三边的长度，计算过程中需要先将二次根式化为最简二次根式．【规范解答】解：第三边长为(75故选：C．44．（25-26八年级上·全国·期中）计算：(1)23(2)(5【答案】(1)3(2)2【思路引导】本题考查了二次根式的加减混合运算，二次根式的乘法，二次根式的化简，熟练掌握其运算规则是解题的关键．（1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可得到答案；（2）先利用平方差公式以及完全平方公式进行乘法计算，最后合并同类二次根式即可得到答案．【规范解答】（1）解：原式=2=2=3（2）解：原式=5−3−=2−3+2=2易错考点23：二次根式的混合运算45．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式：a1=11+3=3按照上述规律，回答以下问题：(1)请写出第6个等式：___________；(2)请写出第n个等式：___________；(3)求a1【答案】(1)a(2)a(3)41【思路引导】本题考查分母有理化的运用及找规律．（1）从等式中找出规律，第二个等式：5=2×2+1，3=2×2−1，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第6个等式即可；（2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n−1，仿照所给等式写出第n个等式即可；（3）a1【规范解答】（1）解：观察，如a2的下标2，与5−3中被开方数：5和3，得出5=2×2+1因此第6个等式6×2+1=13，6×2−1=11，得a6故答案为：a6（2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n−1，所以第n个等式为an故答案为：an（3）解：a===4146．（24-25八年级下·山东青岛·期末）计算：(1)25(2)312【答案】(1)−37+2(2)14【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式．（1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再去括号合并即可；（2）先化简二次根式，再算括号里的加减法，再算除法即可．【规范解答】（1）解：2==−30−7+2=−37+210（2）解：3===14易错考点24：分母有理化47．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我们知道，(2)2=2，(3+2)(3−2)=312(1)53分母有理化的结果是，16+(2)利用以上知识计算：11+【答案】(1)5(2)2【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意、正确计算是解题的关键．（1）由题干例子即可完成；（2）由题干例子把各项化为分母不含二次根式的式子，再利用二次根式的加减法则即可求解．【规范解答】（1）解：5316故答案为：53（2）解：∵1n∴1===250648．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料，并解决相应问题：2=(1)化简17(2)若a是10的小数部分，求a2【答案】(1)7−(2)10−910【思路引导】本题主要考查了二次根式的化简求值以及无理数的小数部分确定，熟练掌握分母有理化、完全平方公式等运算是解题的关键．（1）通过分母有理化，利用平方差公式将分母中的根式去掉，从而化简式子．（2）先确定10的小数部分a，再将a代入式子，通过完全平方公式和分母有理化等运算来求解．【规范解答】（1）解：17（2）解：根据题意，得a=10所以a==10−6=10−6=10−910易错考点25：已知字母的值，化简求值49．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知x=5+3，y=5−【答案】24【思路引导】本题主要考查了二次根式混合运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则．根据完全平方公式将x2+4xy+y2变为x+y2【规范解答】解：∵x=5+3∴x====20+2×2=20+4=24．故答案为：24．50．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）小明在解决问题，已知a=12+3∵a=1∴a−2=−∴a−22=3∴a∴2a请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题：(1)分母有理化：17(2)计算：12(3)若a=15−2【答案】(1)7(2)9(3)9【思路引导】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键.（1）分子与分母都乘以7−（2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案；（3）先求解a=5+2，再变形可得：【规范解答】（1）解：1=7（2）解：1===10−1=9；（3）解：∵a=1∴a−2=5∴a−22=5，即∴a2∴3a易错考点26：已知条件式，化简求值51．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知x+y=−9,xy=9，则xyA．6 B．−6 C．3 D．−3【答案】B【思路引导】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键．根据二次根式的运算法则先进行化简，再将xy=9代入求解．【规范解答】解：∵x+y=−9,xy=9，∴x<0，y<0，∴x=−=−2xy∵xy=9，∴−2xy故选：B．52．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读下列材料，然后回答问题：①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x=a+b，y=ab，则a2(1)计算：13(2)若m是正整数，a=m+1−mm+1+m，(3)若15+x2−【答案】(1)5(2)m=505(3)9【思路引导】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解；（2）先利用分母有理化的方法对各式子进行整理，再代入式子a+b+3ab=2025化简求解即可；（3）先求出15+x2−26−x22【规范解答】（1）解：原式====（2）∵a=m+1−m∴a=b=m+1∴a+b=m+1ab=m+1∵a+b+3ab=2025，∴4m+2+3×1=2025，∴4m=2020，解得：m=505；（3）∵15+∴15+∴15+x∴15+∴=15+∵15+x∴15+故答案为：9．易错考点27：比较二次根式的大小53．（2025八年级上·全国·专题练习）比较大小：755【答案】>【思路引导】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．利用作商法，即可比较大小．【规范解答】解：∵75∴75故答案为：>．54．（2025八年级上·全国·专题练习）下列各式正确的是（

）A．5<2 B．−15<−4 C．16【答案】D【思路引导】题目主要考查无理数的估算，不等式的性质，先对无理数进行估算，然后利用不等式的性质依次判断即可．【规范解答】解：A、∵5>4，∴5>B、∵15<16，∴15<∴−15C、16>D、∵4<6，∴2<6∴6−1>1∴6−1故选：D．易错考点28：二次根式的应用55．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是一个树墩的截面图，年轮部分分为深色和浅色，其中深色部分以及整个截面可以看作两个同心圆．已知深色部分的半径为5cm，浅色圆环部分面积为23cm2，若πA．33cm B．63cm C．【答案】D【思路引导】本题主要考查了圆的面积公式以及二次根式的化简，熟练掌握圆的面积公式S=πr2（S表示面积，【规范解答】解：因为深色部分的半径为5cm所以深色部分的面积为πr又因为浅色圆环部分的面积为23cm所以截面的面积为75+23=98cm所以截面的半径为98π故选：D．56．（2025八年级上·全国·专题练习）物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间t（单位：s）和下落高度ℎ（单位：m）之间满足关系式t=2ℎg，其中g取(1)小球从60m(2)明明认为，小球从120m的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从60【答案】(1)需要23(2)不认同，理由见解析．【思路引导】本题主要考查了二次根式的运算以及对自由落体运动时间与高度关系的应用，熟练掌握二次根式的化简计算是解题的关键．（1）将ℎ=60，g=10代入关系式t=2ℎg，计算出时间（2）先将ℎ=120，g=10代入关系式求出时间，再与（1）中结果比较，判断是否为2倍关系．【规范解答】（1）解：把ℎ=60m，g=10m/t===2（2）解：把ℎ=120m，g=10m/t===2因为26所以不认同明明的想法．易错考点29：实数的混合运算57．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）计算(1)16(2)化简2【答