北师大版数学 第2章 实数（拔高卷） 同步练习 含答案

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷第二章实数（拔高卷）时间：120分钟满分：120分一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项）1．相传，古希腊有一个叫希伯苏斯的门徒发现：边长为1的正方形的对角线长的平方等于2，这个对角线的长度是以前从来没有见到过的数，它既不循环，又无穷尽，这个数就是今天我们所说的无理数．下列各数中是无理数的是（

）A．2 B．0 C．12025 D．2．下列式子是最简二次根式的是（

）A．3 B．9 C．27 D．13．若xy>0，则−4x2yA．2x−y B．2xy C．−2xy4．若x−2025在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A．x<2025 B．x≤2025 C．x>2025 D．x≥20255．下列计算错误的是（）A．22=2 C．−32=−3 6．以下是一组按规律排列的单项式：a,2a2,3A．nan−1 B．nan C．7．如图是一个程序框图，若输入x=72，则输出y的值为（

）A．15+76 B．9+56 C．9−568．下列结论正确的是（

）A．3是3的算术平方根 B．−1C．立方根等于本身的数是0 D．64的平方根是±49．若m=20222−2021×2022，n=20232−4×2022，k=2022×2020，则mA．m<n<k B．m<k<n C．n<k<m D．k<n<m10．在△ABC中，a，b，c为△ABC三边，则化简a−b+c2A．3a+b−c B．−a−3b+3c C．a+3b−3c D．2a11．若y=x−2+2−xA．2 B．−3 C．7−43 12．对于一个正实数m，我们规定：用符号m表示不大于m的最大整数（m表示不大于m的最大整数），称m为m的根整数，如：4=2，10=3．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，11=3→3=1，这时候结果为1．现有如下四种说法：①3+6=9；②aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若x−1=2，则2x+6的平方根是14．若31−2x与33x−9互为相反数，则1−15．若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和45，则这个直角三角形的面积是．16．（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[4.2]=4，[1.8]=1，现定义{x}=x−[x]，例如{1.5}=1.5−[1.5]=0.5，则[3.9]+{2.8−1}=．三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程）17．（1）计算：①3−8②已知：x=5+1，求（2）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务．x−2y=x3x−4y+5=3x=3x任务：①运算从第______步开始出错，出现错误的原因是______．②请写出正确运算过程．18．计算(1)2123+519．计算：(1)x+12(2)32x−1先化简再求值：4(−x2y+2xy)−2(xy−3221．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且a，b满足关系式a−3+(1)求a，b的值．(2)若c是方程x−2=1的解，判断△ABC22．（1）比较大小：4+3______24×3，1+16______21×16，5+5______25×5（2）由（1）中各式猜想2mnm≥0,n≥0与（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m23．我们知道，5是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即5的整数部分是2，小数部分是5−2(1)13的小数部分是________，−13的小数部分是________，5−13的整数部分是______，(2)若7+5=x+y，其中x是整数，且0<y<1，求24．阅读材料：像5+35−3=2；a⋅a=aa≥0；b+1b−1在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：12解答下列问题：(1)23−5与_____互为有理化因式，将(2)①比较大小：2024−2023_____2023−2022（填入<，=，②计算下列式子的值：13已知正整数a，b满足a2−1−b225．数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm(1)所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______(2)由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为______，______；(3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为______；(4)若a=−3+2，b=5−2，求代数式a+2

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷第二章实数（拔高卷）时间：120分钟满分：120分一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项）1．相传，古希腊有一个叫希伯苏斯的门徒发现：边长为1的正方形的对角线长的平方等于2，这个对角线的长度是以前从来没有见到过的数，它既不循环，又无穷尽，这个数就是今天我们所说的无理数．下列各数中是无理数的是（

）A．2 B．0 C．12025 D．【答案】A【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．【详解】解：2是无理数，故选：A．2．下列式子是最简二次根式的是（

）A．3 B．9 C．27 D．1【答案】A【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐项判定即可．【详解】解：A、3是最简二次根式，本选项符合题意；B、9=3C、27=3D、13故选：A．3．若xy>0，则−4x2yA．2x−y B．2xy C．−2xy【答案】D【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先求出y<0，x<0，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵−4∴−4x∵xy>0，∴x≠0，y≠0，∴−4x∴y<0，∴x<0，∴−4故选：D．4．若x−2025在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A．x<2025 B．x≤2025 C．x>2025 D．x≥2025【答案】D【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式被开方数为非负数，列出一元一次不等式，然后求解即可．【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，x−2025≥0，∴x≥2025，故选：D．5．下列计算错误的是（）A．22=2 C．−32=−3 【答案】C【分析】本题主要考查二次根式的运算与化简，根据二次根式的性质和运算法则计算即可．【详解】解：A．22B．27+C．−32D．23故选：C．6．以下是一组按规律排列的单项式：a,2a2,3A．nan−1 B．nan C．【答案】B【分析】本题考查单项式规律探索、算术平方根，通过已知式子分析得出单项式系数及次数的变化规律，即可求解．【详解】解：该组单项式可变形为：1因此第n个单项式的系数为n，次数为n，故第n个单项式是na故选：B．7．如图是一个程序框图，若输入x=72，则输出y的值为（

）A．15+76 B．9+56 C．9−56【答案】B【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可．【详解】解：根据题意可知，x===12+6=9+56故选：B．8．下列结论正确的是（

）A．3是3的算术平方根 B．−1C．立方根等于本身的数是0 D．64的平方根是±4【答案】A【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键．【详解】解：A、3是3的算术平方根，因此选项A符合题意；B、−18的立方根是C、立方根等于本身的数是0或1或−1，因此选项C不符合题意；D、64=8，64的平方根，即8的平方根，8的平方根是±故选：A9．若m=20222−2021×2022，n=20232−4×2022，k=2022×2020，则mA．m<n<k B．m<k<n C．n<k<m D．k<n<m【答案】D【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键是用m表示n，用n表示k，本题属于中等题型．将各数进行化简，然后根据实数的大小比较法则即可求出答案．【详解】解：m=2022由m=2022，则n=2023∴n<m，由n=2021，则k=2022×2020∴k<n<m，故选：D．10．在△ABC中，a，b，c为△ABC三边，则化简a−b+c2A．3a+b−c B．−a−3b+3c C．a+3b−3c D．2a【答案】B【分析】本题考查了三角形三边关系，二次根式化简，绝对值化简等；由三角形三边关系得a−b+c>0，c−a−b<0，再由二次根式的性质及绝对值的性质化简，即可求解．【详解】解：∵a，b，c为△ABC三边，∴a+c>b，a+b>c，∴a−b+c>0，c−a−b<0，a−b+c=a−b+c+2=a−b+c+2c−2a−2b=−a−3b+3c；故选：B．11．若y=x−2+2−xA．2 B．−3 C．7−43 【答案】C【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．根据二次根式有意义的条件确定x，y的值，代入求值即可．【详解】由二次根式有意义的条件，得x−2≥02−x≥0解得x=2，当x=2时，y=2−2∴x+yx故选：C．12．对于一个正实数m，我们规定：用符号m表示不大于m的最大整数（m表示不大于m的最大整数），称m为m的根整数，如：4=2，10=3．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，11=3→3=1，这时候结果为1．现有如下四种说法：①3+6=9；②aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析．根据新定义再结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可．【详解】解：①：计算左边3=1，6=2，和为1+2=3；右边②：a2=a2，取反例a=2，左边22③：方程12−x−x−3=1，x逐一验证：当x=4,5,6时，左边分别为2−1=1，其他x值均不满足．故满足条件的x有3个，而非4个．故③错误．④：设正整数m进行3次连续求根整数运算后结果为1，即m=第三次操作时：[m2]=1第二次操作时：m1=m2，则第一次操作时：m=m1排除提前终止的情况：若k=1，则1≤m1<4，对应m<16若k=2，则4≤m1<9若k=3，则9≤m1<16∴需进行3次根整数运算结果为1的正整数m的范围为16≤m<256，∴m的最大值为255，最小值为16，差值为255−16=239．故④正确．综上，正确说法为①④，共2个．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．若x−1=2，则2x+6的平方根是【答案】±4【分析】本题考查算术平方根、平方根，先根据x−1=2求出x的值，再求2x+6【详解】解：∵x−1=2∴x−1=4，∴x=5，∴2x+6=2×5+6=16∴2x+6的平方根是±16故答案为：±4．14．若31−2x与33x−9互为相反数，则1−【答案】3【分析】此题主要考查了相反数的性质，立方根，正确得出x的值是解题关键．直接利用相反数的性质得出x的值，进而代入计算得出答案．【详解】解：∵31−2x与3∴31−2x∴1−2x+3x−9=0，解得：x=8．则1−3故答案为：3．15．若一个直角三角形的两条直角边长分别为5和45，则这个直角三角形的面积是．【答案】15【分析】本题考查了三角形的面积、二次根式的乘法和化简．根据三角形面积公式列出算式，再根据二次根式的乘法法则计算即可．【详解】解：S=1故答案为：15216．（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[4.2]=4，[1.8]=1，现定义{x}=x−[x]，例如{1.5}=1.5−[1.5]=0.5，则[3.9]+{2.8−1}=．【答案】3.8【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键．先根据新定义求出3.9=3，2.8−1【详解】解：∵3.9=3，2.8−1∴3.9故答案为：3.8三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程）17．（1）计算：①3−8②已知：x=5+1，求（2）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务．x−2y=x3x−4y+5=3x=3x任务：①运算从第______步开始出错，出现错误的原因是______．②请写出正确运算过程．【答案】（1）①5−3②4（2）①二，计算−2y⋅(−4y)【分析】本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）①利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可；②将原式因式分解后代入数值计算即可；（2）①根据题干中的解题步骤进行判断即可；②将错误的地方改正并进行正确地计算即可．【详解】解：（1）①3=−2+6−=−2+6−=5−3②∵x=5∴x=x(x−2)===5−1=4；（2）①由题干中的解题步骤可得运算从第二步开始出错，出现错误的原因是计算−2y⋅(−4y)时结果错误，故答案为：二，计算−2y⋅(−4y)时结果错误；②原式=x=3=318．计算(1)212(2)3+5【答案】(1)6(2)15+6【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．1先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；2利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．【详解】（1）解：2=4=63（2）解：(3+=9+6=9+6=15+6519．计算：(1)x+12(2)32x−1【答案】(1)x=7或x=−9(2)x=2或x=−1【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键：（1）根据平方根的定义，解方程即可；（2）根据平方根的定义，解方程即可．【详解】（1）解：由题意，得(x+1)2所以x+1=±8，解得x=7或x=−9．（2）由题意，得32x−1所以2x−12所以2x−1=±3，解得x=2或x=−1．20．先化简再求值：4(−x2y+2xy)−2(xy−32【答案】−x2【分析】本题考查了二次根式的运算和整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算．先去括号合并同类项，然后把所给字母的值代入计算即可．【详解】解：4(−=−4x=−x当x=−3原式=−(−=−3(=−3=3321．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且a，b满足关系式a−3+(1)求a，b的值．(2)若c是方程x−2=1的解，判断△ABC【答案】(1)a=3，b=4.(2)等腰三角形，理由见解析.【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值，等腰三角形的判定定理的应用，解决本题的关键是掌握二次根式和绝对值的非负性，等腰三角形的判定定理.（1）根据绝对值和算术平方根的非负性可得到答案.（2）根据绝对值的定义可得到c的值，进而判断出三角形的形状,【详解】（1）解：由题意，得a−3=0，b−4=0，解得a=3，b=4．（2）解：△ABC是等腰三角形．理由如下：由方程x−2=1，解得x=3或x=1当c=3时，c=a≠b，∴△ABC是等腰三角形；当c=1时，c+a=b，∴不能构成三角形．故△ABC是等腰三角形．22．（1）比较大小：4+3______24×3，1+16______21×16，5+5______25×5（2）由（1）中各式猜想2mnm≥0,n≥0与（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m【答案】（1）>，>，=；（2）m+n≥2mn，见解析；（3）【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．（1）根据二次根式比较大小的方法求解即可；（2）当m≥0，n≥0时，m−n2（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a>0，b>0，S=ab=200．根据（2）的结论可得：a+2b≥2a⋅2b【详解】解：（1）由题意，4+3=7，24×3∵72∴4+3>43∵6<9，∴6<3∵1+16=∴1+1∵5+5=10，25×5∴5+5=25×5故答案为：>，>，=．（2）m+n≥2mn当m≥0，n≥0时，∵m∴m∴m−2mn∴m+n≥2mn（3）设花圃的长为a米，宽为b米，∴a>0，b>0，S=ab=200．根据（2）的结论可得：a+2b≥2a⋅2b∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．23．我们知道，5是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即5的整数部分是2，小数部分是5−2(1)13的小数部分是________，−13的小数部分是________，5−13的整数部分是______，(2)若7+5=x+y，其中x是整数，且0<y<1，求【答案】(1)13−3；−13(2)11−【分析】（1）根据算式平方根的性质可确定13的整数部分，再确定13的小数部分；根据夹逼法得到5−13的整数部分，再求出5−（2）估算7+5的整数部分和小数部分，分别求出x、y【详解】（1）解：∵9<13<∴13的整数部分是3，∴13的小数部分是13−3∴−13的小数部分是−(13∵3<∴1<5−13∴5−13∴5−13的小数部分是4−（2）解：∵4<5所以5的整数部分是2，小数部分是5−2根据题意可得x为7+5的整数部分，y为7+∴x=9，y=5∴x−y=9−(24．阅读材料：像5+35−3=2；a⋅a=aa≥0；b+1b−1在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：12解答下列问题：(1)23−5与_____互为有理化因式，将(2)①比较大小：2024−2023_____2023−2022（填入<，=，②计算下列式子的值：13(3)已知正整数a，b满足a2−1−b2【