北师大版数学 第三章 位置与坐标（暑假单元自测） 新八年级 (1) 试卷 含答案

第三章位置与坐标单元自测卷【新教材，北师大版】（考试时间：90分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点P′的坐标是（

）A． B． C． D．2,13．如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最正确的是（

）A．在东偏北45°方向300米处B．在学校的东南方向C．在东偏南45°方向300米处D．在学校西偏北45°方向300米处4．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，连接AB．若AB⊥x轴，则点B的坐标为（

）A． B．3,4 C． D．5．在如图所示的地图上，以A地为参照点，B地的位置可表示为（

）A．北偏东65°，距离处 B．东偏北65°，距离处C．北偏西25°，距离处 D．西偏北25°，距离处6．如图，象棋盘上，若“将”位于点1,−1，“象”位于点．则“炮”位于点（

）A． B．−1,2 C．−2,−1 D．7．在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则代数式的值为（

）A． B．4 C．2 D．18．若点，点，点，点，且AB∥x轴，轴，那么到x轴距离一定为3的点的坐标为（

）A． B． C．c,d D．9．如图，在平面直角坐标系中有，B4,2两点，P为x轴上一动点．连接AP,BP，则的最小值为（

）A．10 B．4 C．26 D．3410．如图，动点在平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，…，按这样的运动规律，经过第2026次运动后，点A2026的坐标是（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．点到x轴上的距离是_____．12．若点到x轴，y轴的距离相等，则m的值为______．13．已知点，若线段AB=5，且直线AB∥x轴，则点A的坐标是____14．已知，且满足，直线AB∥x轴，且AB=4，则点B坐标为_____．15．如图，地图上标注了宝实分校附近学校的位置，若标记宝实分校的坐标为，宝实总校的坐标为5,0，淞谊实验学校的位置恰好在格点上，则其坐标为_______．16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从出发，其顺序按图中箭头方向排列如，，，，，……按照这样的运动规律，则的坐标是______．三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）17．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为．(1)若点A在x轴上，求出点A的坐标；(2)若点A在y轴右侧且到y轴的距离为3，通过计算判断点A所在的象限．18．某数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下的平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是4,5．(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；(2)用坐标表示位置：食堂：_______，大门：_________；(3)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为______m．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为，，．(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B(2)求△A20．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系：(1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南20°方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置；(2)火车站在图书馆的南偏东60°的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置．21．在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点与两点即为等距点．已知点A的坐标为−1,4(1)点，，中，与点A为“等距点”的是______；(2)若点M的坐标为，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标；22．如图，在平面直角坐标系中，已知，点M为第三象限内一点．(1)若到坐标轴的距离相等，MN∥AB，且，求N点坐标；(2)若M为，请用含m的式子表示的面积；(3)在（2）条件下，线段BM与y轴相交于，当m=−32时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标．23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点Px,y和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为−2,−5．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；(2)化简：；(3)已知a为常数，点，且，则m=______，若点M′是点M的“横负纵变点”，则点M′的坐标是______．24．如图1，四边形ABCD为正方形（四条边都相等，四个内角都是90°），AB平行于y轴．(1)如图1，已知，正方形ABCD的边长为4，直接写出点A，C，D的坐标；(2)如图2，已知，，，点Q从C出发，以每秒2个单位长度的速度在线段CD上运动，运动时间为t秒，若．①请直接写出B、C、D的坐标：②当时，求的面积；③当时，求t的值．

第三章位置与坐标单元自测卷【新教材，北师大版】（考试时间：90分钟试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据各象限点的横纵坐标符号特点第一象限；第二象限；第三象限；第四象限,即可判断．【详解】解：点所在象限为第一象限．2．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点P′的坐标是（

）A． B． C． D．2,1【答案】B【分析】解：平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征为横坐标相等，纵坐标互为相反数．【详解】解：点关于x轴对称的点P'的坐标是．3．如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最正确的是（

）A．在东偏北45°方向300米处B．在学校的东南方向C．在东偏南45°方向300米处D．在学校西偏北45°方向300米处【答案】D【详解】解：根据题意得：小明家相对于学校的位置是在学校西偏北45°方向300米处．4．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，连接AB．若AB⊥x轴，则点B的坐标为（

）A． B．3,4 C． D．【答案】B【分析】本题利用垂直于x轴的直线上所有点横坐标相等的性质，列方程求出m的值，即可得到点B的坐标．【详解】解：∵AB⊥x轴，∴点A和点B的横坐标相等，∵点A的横坐标为3，点B的横坐标为，∴，解得m=4，∴点B的纵坐标为4，∴点B的坐标为3,4．5．在如图所示的地图上，以A地为参照点，B地的位置可表示为（

）A．北偏东65°，距离处 B．东偏北65°，距离处C．北偏西25°，距离处 D．西偏北25°，距离处【答案】C【详解】解：以A地为参照点，B地的位置可表示为北偏西25°，距离处．6．如图，象棋盘上，若“将”位于点1,−1，“象”位于点．则“炮”位于点（

）A． B．−1,2 C．−2,−1 D．【答案】D【分析】根据“将”位于点1,−1，“象”位于点建立直角坐标系，然后写出“炮”的坐标即可．【详解】解：根据“将”位于点1,−1，“象”位于点建立直角坐标系，则“炮”位于点．7．在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则代数式的值为（

）A． B．4 C．2 D．1【答案】B【分析】本题考查了轴对称的性质，代数式求值．两点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数．据此列方程求解m和n，再代入计算即可．【详解】解：∵点和点关于x轴对称，∴，，解得，m=−1，∴．故选：B．8．若点，点，点，点，且AB∥x轴，轴，那么到x轴距离一定为3的点的坐标为（

）A． B． C．c,d D．【答案】C【分析】本题利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，结合点到x轴距离的定义求解，先推导出已知量，再判断选项即可．【详解】解：∵AB∥x轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，∴b=−1，∵轴，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，∴，∵点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，要求距离为3，即，逐一判断选项：A选项坐标为，纵坐标为c，不一定等于3，不符合；B选项坐标为，纵坐标为b=−1，，不符合；C选项坐标为c,d，纵坐标为，，符合要求；D选项坐标为，纵坐标为，不一定等于3，不符合．9．如图，在平面直角坐标系中有，B4,2两点，P为x轴上一动点．连接AP,BP，则的最小值为（

）A．10 B．4 C．26 D．34【答案】D【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．如图所示，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，得到，当点A′，P，B三点共线时，有最小值，即A′【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x∴AP=∴∴当点A′，P，B三点共线时，有最小值，即A′∵，∴由对称得，，∵B∴∴的最小值为34．故选：D．10．如图，动点在平面直角坐标系中第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，…，按这样的运动规律，经过第2026次运动后，点A2026的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】观察图象，结合运动特点得出点An的横坐标为n，纵坐标依次按照1,1,0，，0循环变化，再根据变化特点解答即可．【详解】解：观察图象，结合运动后的点的坐标特点可知，点An的横坐标为n，纵坐标依次按照1,1,0，，0循环变化，∴点A2026∵，∴点A2026的纵坐标为，∴点A2026的坐标为．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．点到x轴上的距离是_____．【答案】7【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到x轴的距离等于点纵坐标的绝对值，即可求解．【详解】解：∵已知点坐标为，∴点的纵坐标为，∴点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即．12．若点到x轴，y轴的距离相等，则m的值为______．【答案】3或−1【详解】解：由题意，，解得m=3或m=−1.13．已知点，若线段AB=5，且直线AB∥x轴，则点A的坐标是____【答案】或【分析】根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，先确定点A的纵坐标，再结合线段AB的长度，分情况计算点A的横坐标，即可得到点A的坐标．【详解】解：∵直线AB∥∴平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，∵点B坐标为，∴点A的纵坐标为，设点A的横坐标为x，则点A坐标为，∵AB=5，，去绝对值，得或，解得或x=−2，∴点A的坐标是或．14．已知，且满足，直线AB∥x轴，且AB=4，则点B坐标为_____．【答案】或【分析】先根据非负数的性质求出点A的坐标，再利用平行于x轴的直线上的点纵坐标相等，得到点B的纵坐标，结合线段AB的长度分情况计算点B的横坐标即可．【详解】解：，，且，解得，b=−2∴点A的坐标为轴∴点B的纵坐标与点A的纵坐标相等，即点B的纵坐标为设点B的横坐标为x解得x=7或x=−1∴点B的坐标为或．15．如图，地图上标注了宝实分校附近学校的位置，若标记宝实分校的坐标为，宝实总校的坐标为5,0，淞谊实验学校的位置恰好在格点上，则其坐标为_______．【答案】【分析】先确定原点的位置，画出直角坐标系，即可得出结果.【详解】解：由题意，建立直角坐标系如下：由图可知，淞谊实验学校的坐标为.16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从出发，其顺序按图中箭头方向排列如，，，，，……按照这样的运动规律，则的坐标是______．【答案】【分析】通过观察图形中特殊点（完全平方数下标的点）的坐标，归纳出规律，确定的坐标，再根据点的运动方向推导的坐标；【详解】解：由图可知：，，，观察发现：当n为奇数时，在y轴上，坐标为，当n为偶数时，在直线y=1上，坐标为，，且45为奇数，的坐标为，由图形运动规律可知，从到，从到均为沿y轴正方向移动1个单位，∴从到也是沿y轴正方向移动1个单位，的横坐标为0，纵坐标为，．三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）17．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为．(1)若点A在x轴上，求出点A的坐标；(2)若点A在y轴右侧且到y轴的距离为3，通过计算判断点A所在的象限．【答案】(1)(2)点A在第四象限【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、坐标轴上点的特点、点到坐标轴的距离与象限的判断，熟练运用相关坐标性质和法则是解答本题的关键．（1）利用轴上点的纵坐标为的特征，列方程求出的值，再代入横坐标表达式确定点A的坐标；（2）根据点到y轴的距离与位置，列方程求出的值，进而确定点A的横、纵坐标符号，以此判断点A所在的象限．【详解】（1）解：∵点A的坐标为，在x轴上，，解得，，∴点A的坐标为；（2）解：∵点A到y轴的距离为3，点A在y轴右侧，，解得，，即点A的坐标为，∴点A在第四象限．18．某数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下的平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是4,5．(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；(2)用坐标表示位置：食堂：_______，大门：_________；(3)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为______m．【答案】(1)(2)；(3)【分析】（1）根据旗杆的位置是，实验楼的位置是即可确定平面直角坐标系；（2）根据平面直角坐标系即可求解；（3）根据平面直角坐标系的特点，确定大门与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解．【详解】（1）略；（2）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，大门；（3）解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，大门的位置是，图书馆的位置是，若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为：．19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为，，．(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B(2)求△A【答案】(1)见解析，(2)4【分析】（1）关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出A1,B（2）采用“割补法”，用包含三角形的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算．【详解】（1）解：根据对称规律，写出△ABC各顶点关于y轴对称的点的坐标：关于y轴对称的点为，关于y轴对称的点为，关于y轴对称的点为，在坐标系中描出点A1、B1、，依次连接，即可得到．（2）解：以的顶点为边界，构造一个长为3、宽为3的矩形（从x=1到x=4，y=1到y=4），矩形面积为：3×3=9，减去周围三个直角三角形的面积：以A1、B1为顶点的三角形面积：以B1、为顶点的三角形面积：，以A1、为顶点的三角形面积：，的面积为：．20．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系：(1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南20°方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置；(2)火车站在图书馆的南偏东60°的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置．【答案】(1)中国银行在图书馆北偏东30°方向上，且距离图书馆；餐馆在图书馆北偏西50°方向上，且距离图书馆；(2)见解析【分析】（1）结合图象利用各方位角以及所标距离求出答案；（2）利用火车站在图书馆的南偏东60°的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，进而得出答案．【详解】（1）解：由图形得：中国银行在图书馆北偏东30°方向上，且距离图书馆；餐馆在图书馆北偏西50°方向上，且距离图书馆；（2）解：如图所示：．21．在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点与两点即为等距点．已知点A的坐标为−1,4(1)点，，中，与点A为“等距点”的是______；(2)若点M的坐标为，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标；【答案】(1)C、D(2)或【分析】（1）根据“等距点”的定义作答即可；（2）根据“等距点”的定义列出方程及m的取值范围，再计算即可．【详解】（1）解：点到x，y轴的距离中的最大值为4，B3,1到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”；到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”；到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”；（2）解：∵A，M两点为“等距点”，点到x，y轴的距离中的最大值为4，根据定义，需分情况讨论：情况一：当且时，若m=4，则，成立；若，则，不成立．情况二：当且时，若，则，此时，成立；若，则，此时，不成立．综上所述，m的取值为2或4．∴点M的坐标为2,4或4,2．22．如图，在平面直角坐标系中，已知，点M为第三象限内一点．(1)若到坐标轴的距离相等，MN∥AB，且，求N点坐标；(2)若M为，请用含m的式子表示的面积；(3)在（2）条件下，线段BM与y轴相交于，当m=−32时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标．【答案】(1)或(2)(3)或【分析】（1）先根据到坐标轴的距离相等列方程求出m，进而得到点M的坐标，再根据MN∥AB，且即可求出点N的坐标；（2）先判断，再根据三角形的面积公式解答即可；（3）先求出的面积=6，再设，然后根据的面积列方程求解即可．【详解】（1）解：∵到坐标轴的距离相等，∴，即，解得：m=4或m=8，∵M为第三象限内一点，∴m=4．∴点M的坐标是，∵，∴AB=4，∵MN∥AB，∴设，∵，∴，解得：n=2或，∴N点坐标是或；（2）解：∵M为且M为第三象限内一点，∴，∴的面积；（3）解：当m=−32时，的面积，当的面积是的面积的2倍时，的面积=6，设，则的面积，即解得：或，∴点P的坐标是或．23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点Px,y和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点