第2课时 列代数式表示数量关系

第2课时列代数式表示数量关系教学目标课题3.1第2课时列代数式表示数量关系授课人素养目标1.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示.2.初步培养学生的观察、分析能力，发展学生的抽象能力与符号意识，感受数学与实际生活的密切联系.教学重点列代数式.教学难点根据稍复杂实际问题中的数量关系列代数式.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图设计真实情境让学生回答，既能回顾上节课所学，也为更深入地探讨列代数式做铺垫.【情境引入】在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式.回忆上节课所学内容，解答下面的问题：如图，在国庆阅兵式上，有女民兵和三军女兵两种特殊方队.(1)若女民兵方队有ɑ人，三军女兵方队有b人，则两种方队共有（ɑ+b）人；(2)若三军女兵方队的平均年龄为m岁，比女民兵方队的平均年龄大n岁，则女民兵方队的平均年龄为（m-n）岁；(3)若三军女兵方队共有m排，且每排有25人，则三军女兵方队的人数为25m；(4)女民兵方队用ts走了sm，则她们的平均速度可以表示为eq\f(s,t)m/s.这就是列代数式，这节课我们将更深入地对这方面进行探究，让我们准备好一起进入今天的探索之旅吧！【教学建议】通过阅兵式的情境再现，激励学生的斗志，激发学生的学习热情．问题并不难，可让学生口答，答案的4个式子包含有＋，-，×，÷这四种运算，学生口答过程中，教师顺势板书好答案，为下一步学生观察、理解和更深入地探究列代数式埋下伏笔.活动二：自主思考，探究新知设计意图探究列代数式表示数学运算，以及用代数式表示运算律或公式等.探究点1列代数式表示数学运算中的数量关系如无特别说明，a，b两数的差，a与b的差，都指“a-b”.

思考我们在上一节课曾探讨过代数式的意义，如2ɑ+3的意义是ɑ的2倍与3的和.反过来，如果已知某种数学运算，如ɑ,b两数的和与差的积，那么该如何用代数式表示呢？如无特别说明，a，b两数的差，a与b的差，都指“a-b”.

可以按下面的步骤列代数式：所以ɑ，b两数的和与差的积为（ɑ+b）（ɑ-b）.例1用代数式表示：（1）比m的3倍小3的数；（2）m的平方的3倍与5的和；（3）m的倒数与n的积.解：（1）3m-3；（2）3m2+5；（3）nm.【对应训练】教材P73练习第1题.【教学建议】这一环节教学时教师以引导为主，不要直接明晰结论，应先鼓励学生尽可能回忆以前学过的运算法则、运算律及计算公式等，用代数式表示出来，并让学生说明其中每个字母代表的含义.注意跟学生强调：一个代数式中可能会有多个字母，它们代表的量各不相同.教学步骤师生活动设计意图通过例题使学生明确如何将实际背景中的数量关系转化成数学语言进行描述，再进一步列出代数式.探究点2列代数式表示实际情境中的数量关系例2（（教材P72例3）用代数式表示：（1）购买2个单价为ɑ元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数.（2）把ɑ元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时的利息是多少元？（3）某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是多少元？分析提问：想一想各小题中的数量关系是怎样的？试着填写下表：解：（1）购买2个单价为ɑ元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数为（2ɑ+3b）元.（2）根据题意，得ɑ×2.75%×3=8.25%ɑ，因此到期时的利息为8.25%ɑ元.（3）现在的售价为（1.1x-80）元.从上面的例子可以看出，用字母表示数，字母可以和数一样参与运算，从而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来，更具有一般性.【对应训练】教材P73练习第2，3，4题.【教学建议】这一环节教学可采用板演，学生自己充当小教师检查学生理解、掌握情况，仿照例题学会分析数量关系，并规范作答.最后注意强调：1.同一个字母，在不同的问题背景中可以表示不同的量，如（1）（2）中的字母ɑ；2.某些代数式中有些部分可以适当化简，如（3）中2.75%与3相乘得到8.25%.活动三：强化训练，巩固提升设计意图设计稍复杂的实际问题中的行程问题，以考查学生列代数式的能力，既强化了学生的应用能力，提高了学生对知识的掌握程度，也为后面学习方程、不等式等相关实际问题背景进行熟悉和预热.活动四：随堂训练，课堂总结探究点3代数式的意义例3（教材P72例4）甲、乙两地之间公路全长240km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为vkm/h.（1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？（2）如果汽车的行驶速度增加3km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？分析提问：（1）本题包含了几个量？它们之间有什么关系？本题包含路程、速度和时间三个量.它们之间具有关系：时间=eq\f(路程,速度).（2）早到的时间与原来需要行驶的时间和加快速度后需要行驶的时间有什么联系？早到的时间=原来需要行驶的时间-加快速度后需要行驶的时间.解：（1）汽车从甲地到乙地需要行驶eq\f(240,v)h.（2）如果汽车的行驶速度增加3km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶eq\f(240,v+3)h.汽车加快速度后可以早到(eq\f(240,v)-eq\f(240,v))h.【对应训练】张华同学报名参加了某市越野赛10km体验组的比赛，计划以xkm/h的平均速度跑完全程，为了取得更好的成绩，实际比赛时他以计划平均速度的1.2倍跑完了全程．（1）用代数式表示张华同学实际跑完全程所用的时间：eq\f(10,1.2x)h；（2）王老师也报名参加了此次越野赛10km体验组的比赛，他计划一半路程以ɑkm/h的平均速度前进，而另一半路程以bkm/h(ɑ≠b)的平均速度前进，用代数式表示王老师跑完全程所用的时间.解：一半路程以ɑkm/h的平均速度前进，用时eq\f(5,ɑ)h，另一半路程以bkm/h的平均速度前进，用时eq\f(5,b)h，故王老师跑完全程所用的时间为(eq\f(5,ɑ)+eq\f(5,b))h．【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你能分析实际问题中的数量关系，并列出代数式吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P75习题3.1第1,3,10,11题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.【教学建议】例题和练习题都属于行程问题，解决这类问题必须掌握行程问题的公式，即时间、路程、速度之间的关系.需要注意跟学生强调，列出的代数式如果形式比较复杂，出现不止一个运算符号，只要不出现关系符号（如“=”“<”），无论用多少个运算符号连接都属于代数式的范畴；同时在相同的问题背景下，相同的字母表示相同的量，不同的量是用不同的字母来表示的.板书设计第2课时列代数式表示数量关系1.列代数式表示数学运算、运算律、公式等2.根据实际问题列代数式教学反思本节课是在学生上节课已学习了代数式的基础上，更进一步结合实际对列代数式进行探究，使学生的思维逐步由数到式，能更好地完成数学文字语言与符号语言的转换.由于学生已经有一个较好的基础，可抓住学生好问好答的特性，将本节课难点渗透于各部分讲解中，寓教于乐，从而轻松实现难点突破.解题大招一用代数式表示稍复杂的数或数学运算中的数量关系1.列代数式表示稍复杂的数或数学运算解决此类题的关键是找准数量关系，如果运算较为复杂，可进行分步“拆解”，最后得到正确的代数式.同时量与量之间的先后顺序不要混淆，如之前提到的ɑ与b的差是ɑ-b，不可错写成b-ɑ.例1用代数式表示：①比x的立方的4倍大y的数；②m的3倍与n的差的平方；③ɑ，b两数的和的平方减去它们的积的2倍；④ɑ，b两数的平方的差除以ɑ，b两数的和的平方的商.解：①4x3+y；②（3m-n）2；③（ɑ+b)2-2ɑb；④eq\f(a2-b2,(a+b)2).2.列代数式表示多位数用代数式表示多位数时，一般情况下多位数有几位，就用含几个字母的代数式来表示，列代数式时把表示每个数位上的数字的字母乘以这个数位的位数（个位的位数是1，十位的位数是10，百位的位数是100，以此类推），再把积相加即可，例如100ɑ+10b+c可表示一个三位数（ɑ，b，c分别表示百位、十位、个位上的数字）.例2一个两位数,个位上的数字是ɑ,十位上的数字比个位上的数字大1,则这个两位数是10(ɑ+1)+ɑ.解题大招二列代数式解决实际问题有些实际问题中的数量关系较为复杂，可能存在多个数量关系，对于这种层次较多的题目，原则上可采取“浓缩原题，分段处理，最后组装”的方式来处理.例3某工厂需生产n个零件，原计划每天生产ɑ个零件，实际每天比原计划多生产b个零件，则实际生产所用的天数比原计划少（eq\f(n,ɑ)-eq\f(n,ɑ+b)）天.培优点列代数式解决特殊实际问题综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.某品牌酸奶外包装上标明“净含量:300mL±5mL”,随机抽取该品牌四种口味的酸奶分别称重如下表.其中,净含量不合格的是()种类原味草莓味香草味巧克力味净含量/mL295300310305A.原味 B.草莓味C.香草味 D.巧克力味2.下列大小比较错误的是()A.|-34|<-(-911) B.-(+214)<-[-(-C.-|-(-6)|<-(+5) D.-0.01>-0.13.某玩具商店周年店庆,全场八折促销,持会员卡可在促销活动的基础上再打六折.某电动玩具车原价300元,小明持会员卡购买这个电动玩具车需要花()元.A.240 B.180C.160 D.1444.将数据42000000用科学记数法表示为()A.0.42×108 B.4.2×106C.4.2×107 D.42×1065.某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的价格为10元/本,乙种读本的价格为8元/本.设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为()A.8x元 B.10(100-x)元C.8(100-x)元 D.(100-8x)元6.下列说法中正确的是()①-0.5x2y3与5y2x3不是同类项;②两个单项式的和一定是多项式;③2π与-4是同类项;④单项式mn3的系数与次数之和为4.A.①② B.②③C.①③ D.②④7.老师在课堂上讲去括号法则时,给出一道题:2(a+b)-3(a+b),甲、乙分别给出了不同的解法:甲乙2(a+b)-3(a+b)=(2-3)(a+b)=-(a+b)=-a-b.2(a+b)-3(a+b)=2a+2b-(3a+3b)=2a+2b-3a-3b=-a-b.则去括号正确的是()A.甲对,乙错 B.甲和乙都错C.甲和乙都对 D.甲错,乙对8.在古代,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.有位父亲为了准确记录孩子的出生天数,在粗细不同的绳子上打结(如图),由细到粗(右细左粗),满七进一,那么孩子已经出生了()A.1335天 B.516天C.435天 D.54天9.如果关于x的代数式4x2+2x-1与ax2+x+a的和不含x2项,那么这个和为()A.3x-5 B.3x+3 C.4x-4 D.3x-310.已知A=4x2-2x,B=x,C=2-x2,D=y2,E=y-x.则下列说法正确的个数是()①多项式A+4C+B+D-E的值与x的取值无关;②当x2-13y2=2时,多项式A+3B+C-D+E③存在正整数x和正整数y,使得D-C=11.A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题(将结果填在题中横线上)11.计算:-2-(-3)=.

12.请回忆有理数的运算法则,写出下列相关运算的第一步:(1)-8-5=-8+();(2)12÷(-2)=12×(13.某细菌的直径为0.696μm,用四舍五入法将数据0.696精确到百分位的近似数为.

14.计算:-[-(+2)]=,-|-2|=.

15.-4m2-5m+2m2+6m+3m2合并同类项的结果为.

16.一个“数据转换器”的示意图如图所示,它的作用是求转换器内各代数式的和.现输入x的值,经过转换器,输出的值为y.若无论输入的x为何值,输出的y值不变,则m=.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:(1)(-85)×154÷((2)-32+(78-1)×(-2)218.以下是小方化简整式3x-2(x+y)的解答过程,他的解答过程是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答过程.解:3x-2(x+y)=3x-2x+y=1+y.19.先化简,再求值:(1)2(2x-3)-3(13x+1),其中x=2(2)已知3x-my2与2x3y4-n是同类项,求3(m+n)-12(m-n)-5(m+n)+12(m-n20.在一次考试中,晓珊将题目“若m=-1,n=1,则多项式2mn3-3(m4n-mn3)-5(mn3+2n2)+11n2的值为”中的已知条件“m=-1,n=1”看成了“m=1,n=1”,并进行了计算.但试卷批改出来后,该题的答案竟然填对了,晓珊百思不得其解,请帮晓珊解释为什么.

21.小明有以下8张卡牌,第一组卡牌上标有数,第二组卡牌上标有多项式,请你根据要求完成以下任务.第一组:1-42-3第二组:a2+bab-ba2+12a-2任务1:请在第一组卡牌中选择3张卡牌,使所标数的积最小,请列出算式并求得结果;任务2:请在第一组中选择1张卡牌,在第二组中选择2张卡牌,将这3张卡牌上所标的数与多项式相加,化简结果为二项式,请列出算式并求其结果.22.三个连续的奇数(均为一位数),最大的数是2n+1,将这三个连续的奇数按照从小到大的顺序排列(即最小的数位于百位,最大的数位于个位),得到一个三位数,记为M.(1)用整式表示M,并化简;(2)若将这三个连续的奇数按照从大到小的顺序排列,所得到的三位数记为N,则N-M的值是否为定值?请通过计算说明.23.如图,每个小正方形的面积均为1,第1个等式:2+4=2×3第2个等式:2+4+6=3×4第3个等式:

……据此规律:(1)请写出第3个等式:;

(2)猜想第n个等式为(用含n的等式表示);

(3)已知如上图所示的一个草垛的最底端有2024支小正方形草束,则这堆草垛共有多少支草束?24.【感悟方法】数学研究的对象包括生活中的变量及变量之间的关系,有些运算结果由每个变量的值来确定,也有些运算结果与某个变量无关,但这无关变量有时也有它的意义.(1)已知代数式(2x2+ax-13y+15)-(x-2y+1-bx2)的值与字母x的取值无关,其中a,b是常数,求a,b【迁移运用】请用(1)中的方法解决下面的问题:(2)某自行车专卖店计划购进甲、乙两种品牌的自行车.已知甲品牌自行车的进价为1000元/辆,乙品牌自行车的进价为1200元/辆.该商店决定购进两种品牌的自行车共30辆,有多种进货方案.销售一辆甲品牌的自行车利润率为50%,乙品牌自行车的售价为每辆2000元.为鼓励顾客多消费,商店决定每售出一辆乙品牌的自行车,返还顾客现金a元,甲品牌的自行车售价不变.要使不同进货方案所购进的自行车全部售出后,商店最终获利相同,求a的值.综合训练1.C2.B3.D4.C5.C6.C7.C8.B9.A10.C解析:A+4C+B+D-E=4x2-2x+4(2-x2)+x+y2-(y-x)=4x2-2x+8-4x2+x+y2-y+x=y2-y+8,故说法①符合题意;A+3B+C-D+E=4x2-2x+3x+2-x2-y2+y-x=3x2-y2+y+2,当x2-13y2=2时,原式=3×2+y+2=y+8,故说法②不符合题意因为D-C=y2-(2-x2)=11,所以y2-2+x2=11.即y2+x2=13.当x=2,y=3或x=3,y=2时,22+32=13,故说法③符合题意.综上所述,符合题意的有2个.故选C.11.112.(1)-5(2)-113.0.7014.2-215.m2+m16.-317.解:(1)-85×154÷((2)-32+78-1×(-2)2=-9+-18×4=-9-18.解:小方的解答过程有误,去括号时出现错误,正确的解答为:3x-2(x+y)=3x-2x-2y=(3-2)x-2y=x-2y.19.解:(1)2(2x-3)-31=4x-6-x-3=3x-9,当x=2时,原式=3×2-9=-3.(2)3(m+n)-12(m-n)-5(m+n)+12(m-n)=-2(m+n因为3x-my2与2x3y4-n是同类项,所以-m=3,2=4-n,所以m=-3,n=2.原式=-2×(-3+2)=-2×(-1)=2.20.解:2mn3-3(m4n-mn3)-5(mn3+2n2)+11n2=2mn3-3m4n+3mn3-5mn3-10n2+11n2=(2mn3+3mn3-5mn3)-3m4n+(-10n2+11n2)=n2-3m4n.当m=-1,n=1时,n2-3m4n