内蒙古自治区锡林郭勒盟2025-2026学年高一上学期1月期末学业质量测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古自治区锡林郭勒盟2025-2026学年高一上学期1月期末学业质量测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以，又因为，所以.故选：C.2.已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】半径为2的扇形的圆心角为，由扇形面积公式.故选：B.3.已知，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，所以，，，，故A选项错误，C选项正确；所以，，故BD选项错误；故选：C.4.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为终边经过点，所以到原点的距离为，所以.故选：C.5.已知，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得；反之，取，则，满足，而不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A.6.牧场要用长的栅栏围出两间相邻的矩形草栏(中间共用一道隔栏)，如图所示，若每间草栏的长记为xm，宽记为ym，则当两间草栏总面积最大时，宽应取（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可得：，所以，所以.对称轴为，此时面积取得最大值，则.法二：基本不等式，当且仅当时等号成立，此时面积取得最大值，则.故选：A.7.若函数（且）恒过定点，则函数在上的值域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为对数函数恒过，所以当恒过定点，即，.所以.因为在单调递增，，，所以函数在上的值域为.故选：B.8.设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】已知，，当时，.正弦函数的对称轴满足（），要使在内恰有三条对称轴，，，，，因此，正弦函数的零点满足（），要使在内恰有两个零点，则，，，因此，联立两式：，解得.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，若，则（）A.0 B.4 C.8 D.6【答案】AC【解析】由题知，当时，，解得，满足题意；当时，，解得，满足题意.综上，或.故选：AC.10.已知二次函数，满足则下列正确的是（）A.B.不等式的解集为C.若在上的值域为，则D.若在上恒成立，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】由，可得对称轴为，所以，A正确；因为，所以，即，解得，B错误；由在上的值域为，可知其最小值必为，故，其最大值必为3，而，故须满足，解，得，综上，，C正确；因为在上不等式恒成立，所以，因为，当且仅当时取得最小值，故，D正确.故选：ACD.11.已知函数，则（）A.的定义域为RB.的图象关于直线对称C.的值域为D.在区间上单调递减【答案】ABD【解析】对于A：因为，则，分母恒不为0，所以定义域为R，A正确；对于B：因为，所以的图象关于直线对称，B正确；对于C：因为，令，则在上单调递减，值域为，C错误；对于D：因为在单调递增，，且在单调递减，所以在区间上单调递减，D正确.故选：ABD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象经过点，则_____.【答案】2【解析】设幂函数，其中为常数，函数图象经过点，因此，有：，解得：.所以，幂函数为.故.故答案为：2.13.函数的定义域为________．【答案】，【解析】由题意得，即，故，.故答案为：，.14.已知（且），若有最小值，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】①当时，当时，单调递增，此时，当，单调递减，当时，单调递增，即可得时，的最小值为，又当时，，且，所以当时，的最小值为.②当时，当时，单调递减，此时，当时，单调递增，此时，若有最小值，需满足，解得，综上实数的取值范围是．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合或，.（1）若，求，；（2）若，求的取值范围.解：（1）若，则，则或，，则或；（2）由，则，解得.16.已知函数，.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．解：（1）函数的最小正周期，由，得，所以函数的单调递增区间是.（2）由，得，则当，即时，，当，即时，，所以函数在上的最大值为，此时；最小值为，此时.17.人们通常以分贝（符号是为单位来表示声音强度的等级，其中是人能听到的等级最低的声音．一般地，如果声音强度为的声音对应的等级为，则有．（1）当测得同学们早读声音等级为时，求早读的声音强度；（2）某天午间教室非常安静，比平常的午间降低了，求平常中午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？解：（1）设早读的声音强度为，依题意，，则，即，解得，所以早读声音强度为.（2）设平时中午的声音强度为，今天中午的声音强度为，所以，即，即，解得，所以平时中午的声音强度是今天的100倍.18.已知角为第二象限角，且，（1）求和的值；（2）求的值；（3）化简并求值．解：（1）因为角为第二象限角，且，所以，.（2）因为，所以.（3）因为，所以.所以.19.对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”．（1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由；（2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围；（3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由．解：（1）∵，∴，则是“伪奇函数”．（2）令，则，即在有解，而，则，∴，则，又∵在时恒成立，∴，则，即，∴实数m的取值