云南省大理白族自治州2026届高三上学期第二次复习统一检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省大理白族自治州2026届高三上学期第二次复习统一检测数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，解得，所以集合，又因为，所以．故选：B.2.已知复数z满足，则（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以．故选：D．3.二项式的展开式的第四项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】二项式的通项为，则．故选：A.4.等比数列中，，，则（）A.88 B. C.224 D.【答案】C【解析】设等比数列的公比为，，，两式作商可得，则．故选：C.5.已知是第三象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以．故选：B．6.若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】函数，由得，是函数图象的一条对称轴，则，，解得，；当时，，由函数在有唯一零点，得，解得，所以当时，取得最大值．故选：A.7.已知随机变量，且，则当时，的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由随机变量，且，得，由，得，当且仅当，即时取等号，所以所求最小值为3．故选：C.8.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则，所以在上单调递增，则原不等式等价于，因为，所以，故，所以，解得，所以不等式的解集为．故选：D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（）A.的最小正周期为B.在上只有一个零点C.在上单调递增D.点是图象的一个对称中心【答案】BD【解析】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，可以得到，再将所得图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象．对于A选项，函数的最小正周期为，A选项错误；对于B选项，，，解得，只有一个零点，B选项正确；对于C选项，，，而在上不单调，故在上并不单调，C选项错误；对于D选项，，D选项正确．故选：BD.10.已知甲盒中有2个白球和4个红球，乙盒中有3个白球和2个红球．先从甲盒随机取出一球放入乙盒，设“从甲盒取出的球是白球”为事件，“从甲盒取出的球是红球”为事件；再从乙盒中随机取出一球，设“从乙盒取出的球是白球”为事件，“从乙盒取出的球是红球”为事件，下列说法正确的是（）A.，是互斥事件 B.，是独立事件C. D.【答案】AC【解析】由题可知，，，，，，，因为，不可能同时发生，故，是互斥事件，故A正确；，故D错误；，则，故，不是独立事件，故B错误；，故C正确．故选：AC.11.已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（）A.双曲线C与双曲线有相同的渐近线B.若，则的周长为C.若，则的面积为2D.若M为圆上一点，则的最大值为7【答案】ABD【解析】对于A：双曲线，，，故渐近线方程为，即，双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确；对于B：由题意得，，，由双曲线的定义得，，∵，∴，，故的周长为，B正确；对于C：P在右支上，设，则，，因为，所以，解得（负值舍去），所以的面积为，故C错误；对于D：圆的圆心E的坐标为，半径为1，易知为双曲线的左焦点，故，则，当M为线段PE的延长线与圆的交点时等号成立，所以的最大值为7，D正确．故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，满足，且，，则________．【答案】1【解析】∵，∴，又∵，，∴，∴，∴．故答案为：.13.庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________．【答案】640【解析】如图，已知，，，过点F作平面ABCD，垂足为O，连接OB，OC，Q为BC的中点，连接FQ，因为，所以，，所以为平面BCF与底面所成的角，则，所以，则，则该刍甍的体积（）．故答案为：640.14.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】，因为，所以，所以，即恒成立，令，因为在上单调递增，所以，故，即在时恒成立即可，设，，则，，由得；得；则在上单调递减，在上单调递增，则，所以，又，所以a的取值范围为．故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在中，．（1）求；（2）若，的面积为，点在边上且，求线段的长．解：（1）在中，由正弦定理得：，可得，又，所以，所以，即．因为，所以，所以，可得．（2）因为的面积为，，由（1）知，所以，得，所以，可得，所以，所以．在直角中，，可得.16.从某校学生中随机抽出50名学生参加消防安全知识竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．数据的分组依次为，，，，，．（1）求图中a的值，并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从成绩在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，记选出的2人中成绩在内的人数为X，求X的分布列及数学期望．解：（1）因为频率分布直方图的所有小矩形面积之和为1，所以有：，所以．估计这50名学生的平均成绩为：（分）．（2）抽取的5名学生成绩在内的学生人数为3人，内的学生人数为2人，所以，，，，则X的分布列为：X012P所以．17.如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，为的中点．（1）证明：；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：如图，取的中点，连接，因为为等边三角形，所以．又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．因为平面，所以．又，，平面，所以平面．因为平面，所以．（2）解：因为，，又为中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，所以平面，所以两两垂直．以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．18.过点的直线l与抛物线交于M，N两点，F是C的焦点．（1）若线段MN中点的横坐标为2，求的值；（2）求的取值范围．解：（1）抛物线的焦点，设，，由线段MN中点的横坐标为2，得，由抛物线定义得，，所以．（2）由直线l过点，设直线l的方程为，由消去x并整理得，由，得，且，，则，所以的取值范围为．19.已知函数．（1）当时，求的定义域；（2）若在区间上单调递减，求a的取值范围；（3）当时，证明：若，，则．（参考数据：，，）（1）解