山东省青岛第九中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛第九中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则的虚部为（）A.2 B.1 C.i D.2.设向量，且，则（）A.0 B.1 C.2 D.33.给出下列四个命题：①若平面平面，直线，直线，则；②若直线直线，直线平面，直线平面，则；③若平面平面，直线，则；④若直线平面，平面平面，则．其中真命题的个数为（）A. B. C. D.4.已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（）A. B. C. D.5.如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（）A.直线与NM是异面直线 B.C.平面 D.直线CP，，AM相交于一点6.在中，，且的面积为，则外接圆的半径为（）A. B. C.2 D.47.柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为，其底面边长是3，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且平面，则点N的轨迹长为（）A.27 B. C.12 D.68.如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（）A.，间的距离为B.为纯虚数C.在复平面内对应的点位于第一象限D.若，则10.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（）A.的外接圆半径为1 B.C.b2+c211.如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积随着点的运动而变化B.异面直线与所成角的取值范围是C.直线平面D.三棱锥的外接球表面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知非零向量，满足，且在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为_____.13.如图，在圆锥PO中，，B，C为圆O上的点，且，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为______.14.如图，在中，∠BAC＝，，P为CD上一点，且满足，若的面积为，则的最小值是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，．（1）求证平面AEF；（2）若，求多面体的体积.

16.如图，四边形中，，，，且为锐角.（1）求；（2）求的面积．17.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面．（1）求证：点是的中点；（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．

18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）如图，的角平分线交于点D，且，，（i）求的长度；（ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值．19.人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量，之间的相似度的一种定义为．（1）菱形中，，点在直线上．若，求LAB, BP；（