山东省青岛市平度市2026届高三下学期模拟检测（一）数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛市平度市2026届高三下学期模拟检测（一）数学试题一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.设复数满足，则（）A. B.1 C. D.23.已知是等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.4.已知非零向量，，则“”是“向量”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A. B.C. D.6.若个数据的平均值为，方差为，现加入数据和，则这个数据的方差为（）A. B. C. D.7.已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（）A. B. C. D.8.已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（）A.直线与直线所成角为B.平面C.M、O、三点共线D.直线与平面所成角的为10.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于两点，，，则（）A. B.C.的离心率为 D.直线的斜率为11.记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则（）A.B.周长的取值范围为C.的最大值为D.的最小值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.二项式展开式中项的系数为__________．13.若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数_____.14.在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，.（1）求的方程；（2）若直线过点且的面积为，求的方程.16.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围.

17.已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（1）证明：平面平面；（2）若点M在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．18.三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动，红包的总金额数为个单位.第一个人抢到的金额数为1到个单位且等可能（记第一个人抢完后剩余的金额数为），第二个人在剩余的个金额数中抢到1到个单位且等可能，第三个人抢到剩余的所有金额数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位.三个人都抢完后，获得金额数最高的人称为手气王（若有多人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王）.（1）若，则第一个人抢到的金额数可能为个单位且等可能.（i）求第一个人抢到金额数的分布列与期望；（ii）求第一个人获得手气王的概率；（2）在三个人抢到的金额数为的一个排列的条件下，求第一个人获得手气王的概率.

19.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设是两个正整数，若的最大公约数是1，则称互素.对于任意正整数，欧拉函数是不超过且与互素的正整数的个数，记.（1）求，和；（2）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：①准备两个不同的、足够大的素数；②计算，欧拉函数；③求正整数，使