2.6 双曲线及其方程 小结 教学设计（表格式）-高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册

课程基本信息课题双曲线及其方程小结教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册（B版）出版社：人民教育出版社出版日期：2020年6月教学目标教学目标：会求双曲线的标准方程，能关注到焦点位置；能正确处理有关离心率和渐近线的问题.教学重点：正确处理双曲线标准方程、离心率等问题.教学难点：涉及渐近线的处理.教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟复习回顾一、复习回顾1、双曲线的定义F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||=2a的动点P的轨迹称为双曲线.2、双曲线的方程、图形和性质请完成下列表格：标准方程图形焦点坐标顶点坐标标准方程图形焦点坐标顶点坐标a，b，c范围对称轴对称中心渐近线离心率35分钟例题讲解二、例题例1、已知双曲线的一个焦点为−2,0，且过点A3,分析1：我们可以得到另一焦点坐标，利用定义算出到两焦点的距离，即2a，即可求出.解法1：由已知可得另一焦点坐标是（2,0），c=2因为双曲线过点A，所以2a=所以a=3,又因为焦点在x轴上，所以所求双曲线方程为：x分析2：我们还可以设出方程，将b2=c解法2：由已知可得c=2，所以b2=c2−a2=4−因为双曲线过点A3,29解得：a2所求双曲线方程为：

x例2、已知双曲线经过点M−3,27，分析1：不能直接得到a，b，c，的值，考虑用待定系数法设出双曲线的方程，但是焦点在什么位置，该用哪个标准方程呢？可以讨论试试.解法1：当焦点在x轴上时，设双曲线方程为：x因为双曲线经过点M−3,27，9解得1a所以焦点在x轴的情况不存在.当焦点在y轴上时，设双曲线方程为：y因为双曲线经过点M−3,27，28解得1a所求双曲线方程为：y分析2：其实这两个方程：x2a2−y2b2解：设双曲线的方程为：mx2+ny29m+28n=1解得：m=−1所求双曲线方程为：y另外：还可以利用对称性，把M，N关于x轴、y轴、原点对称，把两点变成八个点，在坐标系中描出来，也能判断焦点位置，课后可以试试.例3、已知双曲线的一条渐近线方程为3x−2y=0，且双曲线过点A103分析1：渐近线方程写成y=32x,但是ba=32还是ab=32，解法1：当x=103时，y=32x=5>4，所以可以判断点A在两条渐近线相交所成的四个区域中的右边区域里，所以焦点在x轴上，所以有ba=32，设a则设所求双曲线方程为：x24k210094kx分析2：我们来看看渐近线方程和双曲线方程之间的关系.对于焦点在x轴上的情况：y=y=−我们将这两个式子相乘的话那就是：x和双曲线方程比差别就是等式右边1变成0，也就是只需将双曲线方程右边1变成0，就可得到渐近线方程.通过举例让学生来体会：

x再到：x2明白对于方程为：x2a2−y2b2=m解法2：由题可知，设双曲线方程为：

x因为点A10100所以m=1所以所求双曲线的方程为：x例4、已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为分析：离心率是比值，需要得到a，b，c的关系式来导出比值.画图试试就能得到关系式了.解：作BO⊥A1A2于O因为△BA1所以c所以c=2a，从而e=例5、已知双曲线的渐近线方程为：y=±3分析：渐近线的斜率是a和b的比值，因此可以得到c与a的比值，但是双曲线焦点位置不确定，因ba=34解：当双曲线焦点在x轴上时，有ba=34，设a=4m，b=3可得c=5m，所以e=当双曲线焦点在y轴上时，有ab=34，设a=3m，b=4可得c=5m，所以e=综上，离心率为54或53课堂小结处理双曲线问题时，注意以下几点：1、如果涉及到双曲线两焦点距离时，可以考虑双曲线的定义；2、要注意焦点的位置带来的影响；3、求双曲线的标准方程时，要注意待定系数法的使用;4、离心率是比值，求离心率时注意得到关于a，b，c的关系式；5、已知双曲线的渐近线方程，可以使用x2布置作业课本第149页，习题2-6A组第4题，B组第2题，第5题A4：已知中心在原点的双曲线的一个焦点是F1（−4,0），一