专题02一元二次函数、方程和不等式01（期中真题汇编）高一数学上学期人教A版

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）专题02一元二次函数、方程和不等式3大高频考点概览考点01等式性质与不等式性质考点02基本不等式考点03二次函数与一元二次方程、不等式考点01等式性质与不等式性质（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）1．下列说法错误的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，则（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）2．某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的人数至少为（

）A．7 B．9 C．12 D．15（25-26学年高一上·天津期中学·期中）3．已知、、，则下列不等式一定成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则（2026·北京房山·一模）4．已知，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·山东济南·期中）5．下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）6．下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则（25-26学年高一上·云南普洱·期中）7．对于实数，，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则（25-26学年高一上·云南昆明·期中）8．若a，b，c均为实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，且，则（25-26学年高一上·河南南阳·期中）9．设，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）10．已知a，b，c满足，则下列选项中正确的是（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）11．若，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若且，则（25-26学年高一上·北京丰台·期中）12．若，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）13．下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，则（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）14．若，，，，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．（2026·辽宁丹东·调研）15．若，，则（

）A．B．C．D．（25-26学年高一上·福建南平·期中）16．已知实数满足，则（

）A．的取值范围为B．的取值范围为C．的取值范围为D．的取值范围为（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）17．若，，则（

）A．的取值范围是 B．的取值范围是C．的取值范围是 D．的取值范围是（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）18．已知，则下列结论错误的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）19．若且，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）20．已知，，则的取值范围为______.（2026·北京房山·一模）21．设是任意整数，且，能够说明“若，则”是假命题的一组的值依次为___________．考点02基本不等式（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）22．若，，，则的最小值为（

）A．8 B．2 C． D．4（25-26学年高一上·山东济南·期中）23．已知，且，则的最小值为（

）A．8 B． C．9 D．（25-26学年高一上·安徽芜湖·期中）24．已知，，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．1 D．2（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）25．若，，且，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．16（25-26学年高一上·云南普洱·期中）26．已知正数、满足，则的最小值等于（

）A．10 B． C． D．（25-26学年高一上·浙江杭州地·期中）27．已知，，且，则（

）A． B．C． D．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）28．已知x，y是正数，且，则下列选项正确的是（

）A．的最大值为B．的最小值为C．的最大值为2D．的最小值为（25-26学年高一上·河北张家口·期中）29．某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（

）A． B． C． D．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）30．已知，且，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为9B．的最大值为C．的最小值为D．的最小值为6（25-26学年高一上·四川成都·期中）31．下列命题为真命题的是（

）A．函数的最小值为2B．设正实数，满足，则有最小值为5C．函数的最大值为D．函数的最小值为2．（25-26学年高一上·四川成都·期中）32．已知，且，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）33．已知，，且，则（

）A． B．的最大值为4C．的最小值为9 D．的最大值为3（2026·辽宁丹东·调研）34．若非负实数，满足，则（

）A．有最大值为1B．有最小值为2C．有最小值为2D．有最小值为（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）35．已知，均为正数，且，设，，，则下列关系中不可能成立的是（

）A． B．C． D．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）36．已知正实数a，b满足，则下列选项正确的是（

）.A． B． C． D．（25-26学年高一上·内蒙古自治·期中）37．已知，则的最小值为__________，此时__________.（25-26学年高一上·陕西商洛·期中）38．已知正数、满足.(1)求的最小值；(2)求的最小值.（25-26学年高一上·云南普洱·期中）39．已知正数x，y满足，且的最小值为k．（1）求k．（2）若a，b，c为正数，且，证明：．（25-26学年高一上·河北张家口·期中）40．若，则的最小值为______．（25-26学年高一上·北京丰台·期中）41．设，则当=_______时，取得最小值，最小值为_______．（25-26学年高一上·福建南平·期中）42．（1）已知，证明：；（2）已知a，b均不为0，且，试比较与的大小；（3）已知，证明：若，，，则x，y，z中至少有一个不小于0.（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）43．如图，长方形（）的周长为.(1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？(2)沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题.（ⅰ）求的周长；（ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由.（25-26学年高一上·云南昆明·期中）44．已知，且，则的最小值是__________.（25-26学年高一上·湖北武汉东湖高新区·期中）45．如图，居民小区要建一座休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为3270元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价为300元；再在四个扇形（图中四个直角扇形，如扇形）上铺草坪，造价为160元.

(1)设总造价为S（单位：元），长为x（单位：m），试求出S关于x的函数关系式并求出定义域（这里）；(2)当x取何值时总造价S最小，并求出S最小值.（25-26学年高一上·湖北黄冈·期中）46．（1）已知，求函数的最大值；（2）设，求的最小值.（25-26学年高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）47．问题：已知、、均为正实数，且，求证：.证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：(1)已知、、均为正实数，且，求的最小值；(2)已知、、、均为正实数，且，求证：；(3)求的最小值，并求出使得取得最小值时的值.答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）《专题02一元二次函数、方程和不等式01（期中真题汇编）高一数学上学期人教A版》参考答案：1．ACD【分析】举例说明判断A、C、D；作差比较大小判断B.【详解】对于A，取，得，A错误；对于B，由，得，B正确；对于C，取，满足，而，C错误；对于D，取，满足，而，D错误.故选：ACD2．C【分析】利用不等式的性质求出参加各项比赛的最少人数即可求出.【详解】设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为，，，且，，为正整数，则由题意得，，，可得，即，所以，，故参加这三项比赛的人数至少为．故选：C.3．C【分析】利用特殊值法可判断AD选项；取，结合不等式的性质可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项.【详解】对于A选项，若，不妨取，，则，A错；对于B选项，若且，则，B错；对于C选项，若，则，由不等式的基本性质可得，C对；对于D选项，若，不妨取，，则，D错.故选：C.4．B【分析】举例说明判断AD；利用不等式性质判断BC.【详解】对于A，取，得，A错误；对于B，由，得，B正确；对于C，由，得，C错误；对于D，取，满足，而，D错误.故选：B5．BC【分析】由不等式性质逐项分析判断即可.【详解】对于A：若，则当时，；时，；时，，A错误；对于B：因为，所以，所以，所以，即，不等式两侧同时乘以，得，即，B正确；对于C：因为，所以，所以，C正确；对于D：因为，所以，所以，即，D错误；故选：BC.6．BC【分析】利用不等式的性质即可判断BC，举反例即可判断AD【详解】对于A,若，，则，故A错误；对于B,若，则，即，故B正确；对于C,若，两边同乘以得，两边同乘以得，则，故C正确；对于D,满足，则得不到，故D错误故选：BC7．ABC【分析】利用不等式的性质，分析、推理判断ABC；举例说明判断D作答.【详解】对于A，，两边同时除以，则，A正确；对于B，，，则，当且仅当时取等号，B正确；对于C，因为，则，C正确；对于D，取，满足，而，D错误.故选：ABC8．BD【分析】利用不等式的性质和作差比较法即得B,D正确；利用取特殊值和举反例排除A,C.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，由，得，则，即，故B正确；对于C，若取则不成立，故C错误；对于D，，由，，可得，即得，故D正确．故选：BD.9．ACD【分析】AD选项，由不等式性质可得；B选项，举出反例；C选项，由幂函数单调性可得C正确.【详解】A选项，根据不等式性质可得，若，则，A正确；B选项，若，，则，B错误；C选项，在R上单调递增，若，则，C正确；D选项，若，则，则，不等式两边同除以得，D正确.故选：ACD10．C【分析】由题设并结合不等式的性质判断各项的正误.【详解】对A：由，则，故，故A错误；对B：若，则，故B错误；对C：由，则，故C正确；对D：若，则，故D错误.故选：C11．ABC【分析】对选项ABC，根据不等式的基本性质直接推导即可判断，对选项D，通过举反例即可判断.【详解】对于A，若，则，所以，故A正确；对于B，若，则，故B正确；对于C，若，则，故，C正确；对于D，取，满足且，但，不满足，故D错误.故选：ABC.12．C【分析】利用作差法，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】选项A：，因为，所以，所以，即，故A错误；选项B：，因为，所以，所以，即，故B错误；选项C：，因为，所以，所以，即，故C正确；选项D：，因为，所以，所以，即，故D错误.故选：C13．BC【分析】通过特殊值、作差法及不等式的性质，逐一判断各选项命题的真假.【详解】选项A，当时，，故A错误；选项B，，因，，则，故，B正确；选项C，由得，又，故，C正确；选项D，由得，故，D错误.故选：BC14．C【分析】已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确.【详解】若，，，，由，则，得，A选项错误；由，有，则，B选项错误；由，，有，C选项正确；由，有，D选项错误.故选：C.15．BC【分析】用不等式的性质与作差比较法逐一判断即可．【详解】对于A，由可得，则，故A错误；对于B，由得，所以等价于，整理得，因为且，故，所以，故B正确；对于C，由，，得，即，当时，，由，易得，即；当时，，显然有，故C正确；对于D，由得，则，故D错误．16．ACD【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案.【详解】由实数满足，可得，所以，又由，且，可得，所以，所以的取值范围为的取值范围为，所以A正确，B错误；由，因为，所以，所以的取值范围为，所以C正确；由，当时，可得，当时，可得，所以的取值范围为，所以D正确．故选：ACD.17．AD【分析】利用.不等式的性质依次判断选项即可【详解】由，，得，，所以，，故A正确，B不正确.因为，，且，不能同时成立，所以的取值范围不是，故C不正确.令，则解得因为，，所以，即的取值范围为，故D正确.故选：AD18．AC【分析】对于AC，举反例说明即可；对于BD，直接根据不等式性质证明即可.【详解】对于A，取，则，故A错误；对于B，若，则，所以若，则一定有，此时，故B正确；对于C，取，则，故C错误；对于D，若，则，故D正确.故选：AC.19．C【分析】A：取分析即可；B：取分析即可；C：作差法分析；D：分析的情况即可.【详解】对于A：取，此时满足，但不满足，故错误；对于B：取，此时，故错误；对于C：因为，由可知且不同时为，所以，所以，所以，故正确；对于D：当时，，故错误；故选：C.20．【分析】用待定系数法求出的表示形式，再根据和的取值范围求出的范围即可.【详解】设，即，解得.所以.因为，.所以，.所以.故答案为：.21．【分析】直接举反例即可，答案不唯一.【详解】取，则，而，所以可验证该命题为假命题.故答案为：（答案不唯一）22．D【分析】利用基本不等式“1的代换”求出最小值.【详解】根据题意可得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4．故选：D23．C【分析】首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解.【详解】由可知，，所以，当，即时，等号成立，联立，得，所以当时，的最小值为.故选：C24．A【分析】根据基本不等式中“1”的妙用即可求解.【详解】由题意，当且仅当，结合，即时取得等号，所以的最小值为3.故选：A25．B【分析】应用常数代换结合基本不等式计算求解.【详解】因为，所以，则，当且仅当时，取最小值9.故选：B.26．B【分析】推导出，，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为正数、满足，可得，则，所以，，，可得，，所以，，，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.27．ABD【分析】对于A：分析可知，运算求解即可；对于B：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可；对于CD：利用基本不等式直接运算求解即可.【详解】因为，，且，对于选项A：因为，则，解得，故A正确；对于选项B：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，故B正确；对于选项C：因为，当且仅当，即时，等号成立，即，可得，所以，故C错误；对于选项D：因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，故D正确；故选：ABD.28．ABD【分析】利用基本不等式求解最值判断AC；，结合A选项即可求解判断B；利用常数代换得，然后利用基本不等式求解最值即可判断D.【详解】对于A，因为x，y是正数，，所以，当且仅当且，即，时，的最大值为，A正确；对于B，，当且仅当，时，的最小值为，B正确；对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为1，C错误；对于D，，当且仅当，，即，时等号成立，故的最小值为，D正确.故选：ABD.29．B【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果.【详解】由题意得，，则，因为，即所以，所以，当且仅当时取等号.故选：B.30．AD【分析】对于A，由基本不等式“1”的妙用方法即可计算得解；对于B，由题设结合基本不等式即可求解判断；对于C，转化为一元二次函数配方后求最小值即可判断；对于D，先由将变形为，再由基本不等式即可计算得解.【详解】对于A，因为且，所以，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对于B，，故，当且仅当，即时等号成立，故B错误；对于C，由得，则，当时等号成立，故C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：AD.31．BC【分析】利用基本不等式一一分析选项即可.【详解】对于A，易知时，，故A错误；对于B，正实数，满足，则，当且仅当时取得等号，故B正确；对于C，易知，当且仅当时取得等号，故C正确；对于D，易知，当且仅当，即时取得等号，显然没有取等情况，故D错误.故选：BC32．C【分析】先化简得出，再应用基本不等式常值代换计算即可.【详解】因为，所以,又因为，当且仅当时取最小值9，所以的最小值为5.故选：C.33．ACD【分析】对于A，由题设易得，进而求解判断即可；对于BCD，根据基本不等式及“1”的妙用求解判断即可.【详解】对于A，由，，且，显然，则，即，故A正确；对于B，由，，且，则，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故B错误；对于C，由，，且，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9，故C正确；对于D，由C知，，则，当且仅当，即时等号成立，此时，满足题意，则的最大值为3，故D正确.故选：ACD34．ABD【分析】利用基本不等式计算可判断ABC；利用对勾函数的单调性可求得的最小值判断D．【详解】由基本不等式得，代入，得，当且仅当时取等号，故有最大值为1，故A正确；由，结合，得，当且仅当时取等号，故有最小值为2，故B正确；，由得，当且仅当时取等号，故有最大值为2，故C错误；由得，则,因为非负实数且，故设，则，函数在单调递增，故当，即时，取得最小值，即有最小值为，故D正确.35．D【分析】利用基本不等式可得，再按，，分类讨论可判断ABD，对于C：利用完全平方式可得到，再令，可计算出，进而可判断C.【详解】已知，均为正数，且，因为，即，由基本不等式可知：，所以，由于，考虑相对于2的位置：当时，选项A可能成立，选项D不成立；当时，选项B可能成立，选项D不成立；当时，则，，若选项D成立，则成立，即，此时，同时成立，即，当，则，要求，即，但，矛盾；当，则，要求，即，由得，与矛盾；故选项D在所有情况下均不可能成立.对于C，由，，得：，所以，令得，故此时，，，故：，故选项C可能成立.故选：D36．BCD【分析】根据已知条件有且、，再应用不等式的性质或基本不等式“1”的代换判断各项的正误.【详解】由，则，可得，B对，所以，则，，所以，当且仅当时取等号，A错，由，则，所以，当且仅当，即时取等号，即，C对，且，当且仅当，即时取等号，即，D对.故选：BCD37．63【分析】将代数式变形为，再利用基本不等式可求最小值及对应的的值.【详解】.因为，所以，故，当且仅当即时，两个不等式等号同时成立，所以所求最小值为6，此时.故答案为：.38．(1)(2)【分析】（1）由结合基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值；（2）由已知等式变形得出，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】（1）因为，，所以，且，则，又因为，所以，当且仅当时，即当时，取最小值为.（2）由，得.所以，因为，，所以，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，则，故的最小值为.39．（1）3；（2）证明：由（1）得，因为a，b，c为正数，所以①，当且仅当时取等号，同理可得②，当且仅当时取等号，③，当且仅当时取等号，①+②+③得，当且仅当时取等号．【分析】（1）整体代入可得，由基本不等式可得；（2）由（1）得，再利用基本不等式直接可以得证.【详解】（1）正数x，y，且，所以，又因为，，所以，当且仅当时取等号，，故；（2）略【点睛】结论点睛：利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．40．2【分析】将配凑成基本不等式形式，然后利用基本不等式，求出其最小值，得到答案.【详解】因为，所以所以.当且仅当时，即时，等号成立.所以答案为【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，属于简单题.41．【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】，，当且仅当，即时，取等号，所以当时，取得最小值，最小值为.故答案为：，.42．（1）因为，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立；可得，当且仅当时，等号成立；又因为，即，可得，所以，当且仅当时，等号成立；（2）若，则；若，则；（3）假设x，y，z中均小于0，因为，当且仅当时，等号成立，这与相矛盾，假设不成立，所以x，y，z中至少有一个不小于0.【分析】（1）根据题意结合基本不等式分析证明即可；（2）作差整理可得，结合题意分类讨论判断；（3）利用反证法，假设x，y，z中均小于0，整理可得，推出矛盾即可得结果.【详解】（1）略（2）因为，且，则，，可得，若，则，即；若，则，即；（3）略43．(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，.【分析】