北师大版数学 第2章 有理数及其运算·能力提升卷 试卷 含答案

2026-2027学年七年级上册数学单元自测第二章有理数及其运算·能力提升建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．我国古代的《九章算术》，是世界数学史上首次正式引入负数的文献．若高于海平面米可记作米，则低于海平面米可记作（

）A．米 B．米 C．米 D．米2．下列各对数中，互为相反数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与3．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．4．若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．5．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（

）个．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则（

）A．77 B． C．63 D．137．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（

）A． B．6 C． D．8．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（

）卡片编号A，BB，CC，DD，EA，E两数的和7148546659A．D B．C C．B D．A9．如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，点，，对应的数分别是，，．从下列四个条件：①；②；③；④中任取两个进行组合．下面四个选项中，（

）可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分中的某一个部分．A．①② B．③④ C．①③ D．②④10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（）A．19 B．31 C．62 D．98二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：_______12．据国家旅游局数据中心综合测算，2018年春节全国共接待游客3.86亿人次，将“3.86亿”用科学记数法表示，可记为____________．13．若，则______．14．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____．15．在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________16．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．计算：(1)简便计算：(2)计算：．18．定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题：(1)；(2)．19．求值：(1)已知，，且，求的值；(2)如果，，且，求的值．20．新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐，元旦期间小王家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续一周记录了每天行驶的路程，如下表所示，以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”．日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日路程0(1)这一周里路程最多的一天比最少的一天多走__________？(2)小王的新能源电动汽车这一周一共行驶多少？(3)已知汽油车每行驶约需用汽油8升，汽油价格为元／升；新能源电动汽车每行驶耗电量约10度，电价约元／度，小王家换成新能源电动汽车后一周行驶费用比原来节省多少钱？21．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：____________________；(2)运用你发现的规律求的值．22．在数轴上标出表示下列各数的点．0，，3.75，，，，(1)在数轴上表示出以上各数，并用“＜”把下列各数连接起来．(2)将上述的有理数填入图中相应的圈内．(3)23．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学：A：乘2B：减C：平方D：加6(1)列式，并计算：①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？(2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题、【提出问题】若a与b的乘积不等于0，求的值．请补充以下解答过程：【解决问题】（1）①a，b均是正数时，；②当a，b均是负数时，；③当a，b是一正一负时，；【探究拓展】（2）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值；（3）已知a，b，c是有理数，，且，求的值．25．我们规定：对于数轴上不同的三个点M、N、P，当点M在点N左侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍（n为正整数），即，则称点P是“n倍点”．如图，在数轴上点A表示的数a，点B表示数b，a、b满足．点O是数轴原点．(1)_________，_________．原点O_________（填“是”或“不是”）“n倍点”；(2)若点C是“3倍点”，则点C所表示的数为_________；(3)点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，两点同时出发，设运动时间为t（）．作“1倍点”记为D，作“2倍点”记为E，若P恰好是“2倍点”，求此时t的值．

2026-2027学年七年级上册数学单元自测第二章有理数及其运算·能力提升建议用时：120分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．我国古代的《九章算术》，是世界数学史上首次正式引入负数的文献．若高于海平面米可记作米，则低于海平面米可记作（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【详解】解：∵高于海平面米记作米，∴低于海平面米记作米．2．下列各对数中，互为相反数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【分析】先根据有理数的化简法则计算每个选项中两个数的值，再根据相反数的定义判断即可，相反数是指绝对值相等，符号相反的两个数．【详解】解：、∵，，两数相等，∴不是互为相反数，不符合题意；、∵，，两数相等，∴不是互为相反数，不符合题意；、∵，，两数相等，∴不是互为相反数，不符合题意；、∵，，两数绝对值相等，符号相反，∴两数互为相反数，符合题意．3．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了有理数的混合运算.根据运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的，逐一计算后判断即可.【详解】解：A.，A错误；B.，B错误；C.，正确；D.，D错误；故选：C.4．若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意分别求出的值，即可得到答案．【详解】解：；，，；．5．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（

）个．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可．【详解】解：依次判断各数：∵，是负数，，是正数，，是负数，，是负数，，是负数，，是正数，既不是正数也不是负数，∴负数共有个．6．对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则（

）A．77 B． C．63 D．13【答案】A【分析】本题为新定义运算题，需根据给定的运算规则，将对应数值代入公式计算求解．【详解】解：∵，∴，故选：A．7．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（

）A． B．6 C． D．【答案】A【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示6的点与表示的的点的连线段的中点表示的数为，由数轴上两点之间的距离得，据此列式计算即可求解．【详解】解：设表示6的点与表示的的点的连线段的中点表示的数为，则有：，解得：，数轴上A、B两点之间的距离为12，，到表示1的点的距离为，点表示的数为，故选：A．8．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（

）卡片编号A，BB，CC，DD，EA，E两数的和7148546659A．D B．C C．B D．A【答案】A【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可．【详解】解：由题意得：，，，，，将以上五式相加得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，，，∵，即，∴卡片上的数最大的编号记为D．9．如图，数轴上从左到右的三个点，，把数轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，点，，对应的数分别是，，．从下列四个条件：①；②；③；④中任取两个进行组合．下面四个选项中，（

）可以确定原点在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分中的某一个部分．A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴上表示有理数，有理数的乘法加法．分别从每一个选项出发，根据有理数的运算进行判断即可．【详解】解：A、则①；②，可确定，都是正数，但不能确定的符号，该选项不符合题意；B、由③；④，可确定是负数，是正数，但不能确定的符号，该选项不符合题意；C、由①；③，不能确定的符号，该选项不符合题意；D、由，可确定是负数，是正数，由，可确定，都是正数，则原点在Ⅱ这个部分；故选：D．10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（）A．19 B．31 C．62 D．98【答案】C【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题．【详解】解：由题知，因为，所以第1次“F运算”的结果是，第2次“F运算”的结果，第3次“F运算”的结果，第4次“F运算”的结果，第5次“F运算”的结果，第6次“F运算”的结果，第7次“F运算”的结果，…，由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环．因为，所以第2025次“F运算”的结果62．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：_______【答案】【详解】解：．12．据国家旅游局数据中心综合测算，2018年春节全国共接待游客3.86亿人次，将“3.86亿”用科学记数法表示，可记为____________．【答案】【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【详解】解：3.86亿；故答案为：．13．若，则______．【答案】【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都为零，从而求出和的值，即可求解．【详解】解：，，，解得，，，故答案为：．14．如图是一个正方体纸盒的展开图，正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，则_____．【答案】/【分析】本题考查倒数．根据倒数的定义，可得1，，3，，，的乘积，即可得．【详解】解：∵正方体的各面标有数1，，3，，，，相对面上的两个数互为倒数，∴，∴，∴．故答案为：．15．在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________【答案】10061404【分析】根据题意先写出每一行代表的二进制数，再进行转化为十进制数，即可求解．【详解】解：第一行代表二进制的数字；第二行代表二进制的数字；第三行代表二进制的数字；第四行代表二进制的数字，∴小强同学的编号为10061404．16．数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________．【答案】或或【分析】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案．【详解】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点表示的数为或，点C到点B距离为2（点C不在原点上），点C表示的数为（舍去）或或或．综上，点C表示的数为或或．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．计算：(1)简便计算：(2)计算：．【答案】(1)33(2)2【分析】（1）将除法转化为乘法，再根据乘法运算律计算即可得出结果；（2）先计算乘方，再计算括号里面的，最后计算乘除即可得出结果．【详解】（1）解：．（2）解：．18．定义一种新运算“”，规则为：，例如：，解答下列问题：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题结合新定义运算考查了有理数的混合运算，关键是准确把握新运算的运算规则，严格按照有理数的运算顺序和运算法则进行计算．（1）直接将、代入新运算的表达式中，按照“先乘方，再乘法，最后加减”的有理数运算顺序依次计算，即可求出结果；（2）需遵循“先算括号内，后算括号外”的运算顺序，先将、代入新运算表达式求出的结果，再将此结果作为新的值，保持不变，再次代入新运算表达式进行计算，即可得到最终结果．【详解】（1）解：根据新运算规则，将，代入得：；（2）解：先计算括号内的，将，代入得：，再计算，将，代入得：．19．求值：(1)已知，，且，求的值；(2)如果，，且，求的值．【答案】(1)；(2)的值为或．【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数乘法，有理数乘方，掌握知识点的应用是解题的关键．（）由，得或，所以当时，，不符合条件；当时，，符合条件，再代入即可求解；（）由，，得，，然后通过，分为当时，只能取，当时，只能取，两种情况求解即可．【详解】（1）解：∵，∴或，∵，，∴当时，，不符合条件；当时，，符合条件，∴，，∴；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，∴分情况：当时，只能取，此时；当时，只能取，此时；∴的值为或．20．新能源汽车以其环保、节能、使用成本低等优点，越来越受到人们的青睐，元旦期间小王家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续一周记录了每天行驶的路程，如下表所示，以为标准，超过的记为“”，不足的记为“”．日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日路程0(1)这一周里路程最多的一天比最少的一天多走__________？(2)小王的新能源电动汽车这一周一共行驶多少？(3)已知汽油车每行驶约需用汽油8升，汽油价格为元／升；新能源电动汽车每行驶耗电量约10度，电价约元／度，小王家换成新能源电动汽车后一周行驶费用比原来节省多少钱？【答案】(1)38(2)(3)元【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键．（1）根据正数和负数的实际意义，用最大的数减去最小的数即可；（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；（3）结合（2）中所求结果列式计算即可．【详解】（1）解：，即这一周里路程最多的一天比最少的一天多走；故答案为：38（2）解：，即小王的新能源电动汽车这一周一共行驶；（3）解：元，即小王家换成新能源电动汽车后一周行驶费用比原来节省元．21．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：____________________；(2)运用你发现的规律求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由题意得第5个等式：；（2）解：．22．在数轴上标出表示下列各数的点．0，，3.75，，，，(1)在数轴上表示出以上各数，并用“＜”把下列各数连接起来．(2)将上述的有理数填入图中相应的圈内．(3)【答案】(1)，数轴表示见详解(2)见详解【分析】本题考查了有理数的分类，化简绝对值，有理数的乘方，有理数的大小比较，在数轴上表示有理数，熟练掌握以上知识点是关键．（1）根据有理数在数轴上对应的点，然后根据数轴即可比较大小；（2）根据正数、整数、负数的定义即可．【详解】（1）解：在数轴上表示如图所示：．（2）解：如图所示：23．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学：A：乘2B：减C：平方D：加6(1)列式，并计算：①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？(2)探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是13，a是多少？【答案】(1)①7；②206(2)或【分析】（1）①根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可；②根据题目所给的运算顺序，列出算式进行计算即可；（2）根据题目所给的运算顺序，列出方程，根据平方根的定义进行计算即可．【详解】（1）解：①；②；（2）解：由题意知，，∴，∴，∴或，∴或．24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题、【提出问题】若a与b的乘积不等于0，求的值．请补充以下解答过程：【解决问题】（1）①a，b均是正数时，；②当a，b均是负数时，；③当a，b是一正一负时，；【探究拓展】（2）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值；（3）已知a，b，c是有理数，，且，求的值．【答案】（1）①2

；②；③0；（2）或1

；（3）【分析】本题考查了化简绝对值和有理数除法，解题关键是会用分类讨论思想进行分情况解题；（1）分a，b是正数、当a，b是负数和a，b是一正一负时三种情况分类讨论，分别求解即可；（2）根据当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数或a，b，c都是负数，两种情况分类讨论，分别求解即可；（3）根据当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数，得出，，求解即可．【详解】（1）解：解决问题：①由题知，当a，b是正数时，，，所以，故答案为：2；②当a，b是负数时，，，所以，故答案为：；③当a，b是一正一负时，和中，一个是1，一个