北师大版高中二年级数学测试卷2025-2026上学期

北师大版高中二年级数学测试卷2025-2026上学期姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

2.若向量a=(1,k)，b=(2,-1)，且a⊥b，则k的值为

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

3.抛掷一枚质地均匀的硬币，连续抛掷3次，则恰好出现两次正面的概率为

A.1/8

B.3/8

C.1/4

D.1/2

4.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，公差d=-2，则该数列的前n项和S_n的最小值为

A.-10

B.-5

C.0

D.5

5.若函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且极值为-1，则a+b的值为

A.3

B.4

C.5

D.6

6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为

A.3/4

B.4/5

C.1/2

D.5/4

7.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√2，则k^2+b^2的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

8.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a,b∈R），则a+b的值为

A.0

B.1

C.2

D.3

9.已知函数f(x)=sin(x+π/3)+cos(x-π/6)，则f(x)的最小正周期为

A.π

B.2π

C.3π/2

D.4π

10.在直角坐标系中，点P(a,b)到直线l：x+y=1的距离为√2/2，则a^2+b^2的值为

A.1/2

B.1

C.3/2

D.2

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=2^x-1，则f(x)的反函数f^(-1)(x)的解析式为________。

2.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q为________。

3.若向量a=(3,-1)，b=(-2,4)，则向量a+2b的坐标为________。

4.已知直线l：y=kx+1与抛物线C：y^2=8x相交于A、B两点，若|AB|=10，则k的值为________。

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，C=30°，则c的值为________。

6.若函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=2处取得极值，且极值为0，则a-b的值为________。

7.已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0，则圆心C的坐标为________。

8.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z的代数形式为________。

9.已知函数f(x)=sin(2x+π/4)，则f(x)的图像关于y轴对称的解析式为________。

10.在直角坐标系中，点P(a,b)到原点的距离为2，且到直线l：x-y=0的距离为1，则a+b的值为________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是

A.y=-log_2(x+1)

B.y=3^x

C.y=-x^2+1

D.y=log_3(x-1)

2.已知向量a=(1,2)，b=(k,1)，若向量a与向量b共线，则k的值可以是

A.2

B.-2

C.1/2

D.-1/2

3.下列命题中，真命题的是

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a^2>b^2，则a>b

C.若a>b，则1/a<1/b

D.若a^2>b^2，则|a|>|b|

4.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的前15项和S_15为

A.75

B.100

C.150

D.200

5.下列函数中，在区间(0,π)上为减函数的是

A.y=cos(x)

B.y=sin(x)

C.y=-tan(x)

D.y=-cot(x)

6.已知直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2的值可以是

A.1

B.2

C.3

D.4

7.下列复数中，模长为2的是

A.1+i

B.2

C.-1-i

D.√3+i

8.已知函数f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)，则f(x)的最小正周期为

A.π

B.2π

C.3π/2

D.4π

9.下列命题中，真命题的是

A.若a>b，则a^3>b^3

B.若a^3>b^3，则a>b

C.若a>b，则1/a^2<1/b^2

D.若a^3>b^3，则|a|>|b|

10.已知直线l：x+y=1与直线l'：ax+by=c相交于点(1,0)，则a+b的值可以是

A.1

B.2

C.-1

D.-2

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=|x|在区间(-1,1)上单调递减。

2.若向量a=(1,2)，b=(3,6)，则向量a与向量b共线。

3.抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为偶数的概率为1/2。

4.等比数列{a_n}中，若a_1=1，q=2，则a_5=16。

5.函数f(x)=x^3-3x在x=0处取得极值。

6.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC为直角三角形。

7.圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心在直线y=-x上。

8.复数z=1+i满足z^2+2z+(1-i)=0。

9.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为2π。

10.点P(a,b)到直线l：x+y=1的距离为√2/2，则a^2+b^2=2。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=2^x-1，求f(x)的反函数f^(-1)(x)的解析式。

2.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-3，求该数列的前10项和S_10。

3.已知向量a=(3,-2)，b=(-1,4)，求向量a+2b的坐标。

4.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。

5.在△ABC中，若a=5，b=7，C=60°，求c的值。

6.求圆C：x^2+y^2-2x+4y-3=0的圆心坐标和半径。

7.已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=3且arg(z)=π/2，求z的代数形式。

8.求函数f(x)=sin(2x-π/4)+cos(2x+π/4)的最小正周期。

9.在直角坐标系中，点P(a,b)到原点的距离为3，且到直线l：x+y=0的距离为√2，求a^2+b^2的值。

10.求直线l：y=kx+1与抛物线C：y^2=4x相交于A、B两点，若|AB|=6，求k的值。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B

解析：函数f(x)=log_a(x+1)在区间(-1,+∞)上单调递增，则底数a必须大于1。故选B。

2.B

解析：向量a⊥b，则a·b=1×2+k×(-1)=0，解得k=2。故选B。

3.B

解析：连续抛掷3次，恰好出现两次正面的情况有C(3,2)×(1/2)^2×(1/2)=3/8。故选B。

4.B

解析：S_n=na_1+n(n-1)/2×d=5n+n(n-1)/2×(-2)=-n^2+6n=-(n-3)^2+9。当n=3时，S_n取得最小值-5。故选B。

5.C

解析：f'(x)=3x^2-2ax+b，由题意知f'(1)=0且f(1)=-1，代入得3-2a+b=0且1-a+b=-1。解得a=4，b=-1。故a+b=3。故选C。

6.B

解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+5^2-4^2)/(2×3×5)=9/10=4/5。故选B。

7.B

解析：圆心C(1,-2)，半径r=√(1^2+(-2)^2)=√5。直线l与圆C相切，则|AB|=2r=2√5。由弦长公式|AB|=2√(r^2-d^2)，其中d为圆心到直线的距离。直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相交于A、B两点，且|AB|=√2，则d=√(1-2/5)=√(3/5)。故k^2+b^2=2。故选B。

8.C

解析：z^2+az+b=0，代入z=1+i得(1+i)^2+a(1+i)+b=0，即1+2i-1+a+ai+b=0，即(2+a+b)+(2+a)i=0。则2+a+b=0且2+a=0。解得a=-2，b=0。故a+b=-2。故选C。

9.A

解析：f(x)=sin(x+π/3)+cos(x-π/6)=sin(x+π/3)+sin(π/2-(x-π/6))=sin(x+π/3)+sin(π/3+x)=2sin(x+π/3)cos(π/3)=√3sin(x+π/3)。故最小正周期为2π。故选A。

10.B

解析：点P(a,b)到直线x+y=1的距离为|a+b-1|/√2=√2/2。解得a+b-1=±1。故a+b=0或2。故a^2+b^2=1^2+1^2=2或2^2+0^2=4。故选B。

二、填空题答案及解析

1.y=log_2(x+1)+1

解析：设y=2^x-1，则x=log_2(y+1)。反函数为f^(-1)(x)=log_2(x+1)+1。

2.3

解析：a_4=a_2q^2，即54=6q^2，解得q^2=9，q=±3。若q=3，则a_1=6/3^2=2；若q=-3，则a_1=6/(-3)^2=2。故a_1=2，q=3。故公比q为3。

3.(4,7)

解析：a+2b=(3,-1)+2(-2,4)=(3-4,-1+8)=(-1,7)。故坐标为(-1,7)。

4.4

解析：设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。由y=kx+1和y^2=8x，得(kx+1)^2=8x，即k^2x^2+2kx+1=8x，即k^2x^2+(2k-8)x+1=0。由韦达定理x_1+x_2=(8-2k)/k^2，y_1+y_2=k(x_1+x_2)+2=(8-2k)/k+2=(8-2k+2k^2)/k^2。|AB|=√[(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2]=√[1+k^2]√[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]=√(1+k^2)√[((8-2k)/k^2)^2-4/(k^2)]=√(1+k^2)√[(64-32k+4k^2)/k^4-4/k^2]=√(1+k^2)√[(64-32k+4k^2-4k^2)/k^4]=√(1+k^2)√[64/k^4]=8√(1+k^2)/k^2。由|AB|=10，得8√(1+k^2)/k^2=10，解得k^2=4/3。故k=±2√3/3。若k=2√3/3，则x_1+x_2=(8-2(2√3/3))/(2√3/3)^2=(8-4√3)/4/3=6-3√3。若k=-2√3/3，则x_1+x_2=(8-2(-2√3/3))/(-2√3/3)^2=(8+4√3)/4/3=6+3√3。故k=4。

5.2

解析：sinB=bsinA/a=(√3/2)×(2/3)=√3/3。cosB=√(1-sin^2B)=√(1-(√3/3)^2)=√(1-1/3)=√(2/3)=√6/3。c^2=a^2+b^2-2abcosC=2^2+(√3)^2-2×2×√3×(1/2)=4+3-2√3=7-2√3。c=√(7-2√3)。故c的值为√(7-2√3)。

6.-2

解析：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=3±√(3^2-4×3×2)/(2×3)=1±√(9-24)/6=1±√(-15)/6=1±i√15/6。由于1±i√15/6不在区间(0,2)内，故函数在(0,2)上无极值点。

7.(0,3)

解析：|z|=3，z=3(cos(π/2)+isin(π/2))=3i。故z的代数形式为0+3i。

8.π

解析：f(x)=sin(2x-π/4)+cos(2x+π/4)=sin(2x-π/4)+cos(π/2-(2x-π/4))=sin(2x-π/4)+sin(2x-π/4)=2sin(2x-π/4)。故最小正周期为2π/2=π。

9.10

解析：由点到直线距离公式，点P(a,b)到直线x+y=0的距离为|a+b|/√2=1。故a+b=√2。由点到原点距离公式，|P|=√(a^2+b^2)=2。故a^2+b^2=4。故(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=4+2ab=10。故2ab=6。故a^2+b^2=10。

10.1

解析：直线l：x+y=1与直线l'：ax+by=c相交于点(1,0)，代入得1+0=1，a×1+b×0=c，即a=c。故a+b=1。

三、多选题答案及解析

1.B,D

解析：y=3^x在(0,+∞)上单调递增；y=log_3(x-1)在(1,+∞)上单调递增。y=-log_2(x+1)在(-1,+∞)上单调递减；y=-x^2+1在(-∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。故选B,D。

2.A,B

解析：向量a与向量b共线，则存在实数λ，使a=λb，即(1,2)=λ(2,-1)。解得λ=1/2，1=λ×2，2=λ×(-1)，矛盾。或设k=b_1/a_1=-1/2，b=k×(1,2)=(-1/2,-1)。故k=-2。故选A,B。

3.B,D

解析：若a>b，则a^2>b^2当且仅当a,b同号。若a=1,b=-2，则a>b但a^2<b^2。故A错。若a^2>b^2，则|a|>|b|。故B,D对。若a=-1,b=-2，则a>b但1/a<1/b。故C错。故选B,D。

4.C

解析：a_10=a_5+5d，即25=10+5d，解得d=3。S_15=15(a_1+a_15)/2=15(a_5+a_11)=15(10+(10+6))=15×26=390。故选C。

5.A,C

解析：y=cos(x)在(0,π)上单调递减；y=-tan(x)在(0,π)上单调递减。y=sin(x)在(0,π/2)上单调递增，在(π/2,π)上单调递减；y=-cot(x)在(0,π)上单调递增。故选A,C。

6.A,B

解析：圆心C(2,-3)，半径r=√(2^2+(-3)^2)=√13。直线l与圆C相切，则d=r=√13。直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则d=r=1。故k^2+b^2=1。故选A,B。

7.B,C

解析：|z|=2，z=2(cos(π/3)+isin(π/3))=1+√3i。故模长为2的复数有1+√3i和-1-√3i。故选B,C。

8.A,B

解析：f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)=sin(x+π/6)+sin(π/2-(x-π/3))=sin(x+π/6)+sin(π/2+π/6-x)=sin(x+π/6)+cos(x+π/6)=√3sin(x+π/6+π/6)=√3sin(x+π/3)。故最小正周期为2π。故选A,B。

9.A,B,C,D

解析：若a>b，则a^3>b^3。若a^3>b^3，则a>b。若a>b>0，则1/a<1/b<1/b^2。若a^3>b^3，则|a|^3>|b|^3，故|a|>|b|。故全对。

10.A,C

解析：直线l：x+y=1与直线l'：ax+by=c相交于点(1,0)，代入得1+0=1，a×1+b×0=c，即a=c。故a+b=1或a+b=-1。故选A,C。

四、判断题答案及解析

1.错

解析：函数f(x)=|x|在区间(-1,1)上单调递减。故错。

2.对

解析：向量a与向量b共线，则存在实数λ，使a=λb，即(1,2)=λ(3,6)。解得λ=1/3，1=λ×3，2=λ×6，矛盾。或设k=b_1/a_1=6/3=2，b=k×(1,2)=(2,4)。故a与b共线。故对。

3.对

解析：抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为偶数（2,4,6）的概率为3/6=1/2。故对。

4.对

解析：a_4=a_2q^2，即54=6q^2，解得q^2=9，q=±3。若q=3，则a_5=a_2q^3=6×3^3=6×27=162。若q=-3，则a_5=a_2q^3=6×(-3)^3=6×(-27)=-162。故错。应为162或-162。

5.错

解析：f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得3x^2-3=0，解得x=±1。f''(x)=6x。f''(0)=0，非正非负，无法判断。需分别讨论x=1和x=-1两侧的导数符号。在x=0附近，f'(x)>0，f(x)递增；f'(x)<0，f(x)递减。故x=0处为极大值点。故错。

6.对

解析：a^2+b^2=c^2，故△ABC为直角三角形。故对。

7.错

解析：圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0，即(x-2)^2+(y+3)^2=16。圆心C(2,-3)。直线y=-x上的点为(x,-x)。圆心到直线y=-x的距离为|2-(-2)|/√2=|4|/√2=2√2。故错。

8.错

解析：z=1+i，|z|^2=1^2+1^2=2。z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i。2z=2+2i。z^2+2z+(1-i)=2i+2+2i+1-i=3+3i≠0。故错。

9.对

解析：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。故最小正周期为2π。故对。

10.错

解析：点P(a,b)到直线x+y=1的距离为|a+b-1|/√2=√2/2。解得a+b-1=±√2。故a+b=1±√2。故a^2+b^2=(1±√2)^2=3±2√2。故错。

五、问答题答案及解析

1.解：设y=2^x-1，则x=log_2(y+1)。反函数为f^(-1)(x)=log_2(x+1)+1。

2.解：S_n=na_1+n(n-1)/2×d=5n+n(n-1)/2×(-3)=-3n^2+9n=-3(n^2-3n)=-3(n-3/2)^2+27/4。当n=3时，S_10=5×10+10×9/2×(-3)=50-135=-85。

3.解：a+2b=(3,-2)+2(-1,4)=(3-2,-2+8)=(1,6)。

4.解：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，得3x^2-6x+2=0，解得x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±√3/3。f''(x)=6x-6。f''(1+√3/3)=6(1+√3/3)-6=2√3>0，故x=1+√3/3处取得极小值。f''(1-√3/3)=6(1-√3/3)-6=-2√3<0，故x=1-√3/3处取得极大值。

5.解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=5^2+7^2-2×5×7×cos60°=25+49-35=39。故c=√39。

6.解：圆C：x^2+y^2-4x+6y-3=0，即(x-2)^2+(y+3)^2=16。圆心C(2,-3)，半径r=4。

7.解：|z|=3，z=3(cos(π/2)+isin(π/2))=3i。故z=0