第一章 空间向量与立体几何 空间向量的数量积及最值（题型专练）（原卷版）高二数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何空间向量的数量积及最值（题型突破）题型01求空间向量的夹角1.核心逻辑

（1）变形余弦公式，通过余弦正负区分锐角、直角、钝角、平角。

（2）坐标法：用坐标分别求出、、，再代入余弦公式求夹角。2.解题步骤

（1）分步求出、、三个基础量；

①代入余弦公式算出；

②结合反三角函数求出夹角，夹角范围固定。

（2）坐标法

①用坐标计算两向量数量积；

②分别算出两个向量的模；

③代入余弦公式，写出夹角。3.易错提醒

混淆向量夹角与三角形内角；公式分母只写单个模，遗漏相乘。【例3】（2026高二·全国·暑假作业）若，则_________．【变式3-1】（2026高一·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（2026高二·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为______.

【变式3-3】（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：

(1)的长；(2)直线与AC所成角的余弦值.▌题型02求空间向量的模1.核心逻辑

（1）恒等式；和差模公式，必须先平方再开根号。

（2）坐标法：向量三个坐标分别平方求和，再开算术平方根。2.解题步骤

（1）对目标向量整体平方，转化为数量积运算；

①展开平方式子，代入已知模长、数量积；

②算出平方结果，开算术平方根，模长只保留非负根。

（2）坐标法

①提取向量坐标；

②计算；

③整体开根号得到向量模长。3.易错提醒

计算时漏掉交叉项；开方后误取负值。【例2】（2026高二·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（

）A． B．3 C． D．5【变式2-1】（2026高二·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2026高二·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点.(1)设，试用向量表示；(2)求线段的长度.【变式2-3】（2026高二·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（

）A． B． C． D．题型03计算空间向量数量积1.核心逻辑

（1）依靠数量积定义式与运算律展开计算；满足交换律、分配律、数乘结合律；互相垂直的向量数量积直接为0，简化运算。

（2）坐标法：已知两个向量坐标时，对应坐标相乘后全部相加，快速算出实数结果。2.解题步骤

（1）拆分复杂向量组合，用分配律全部展开；

①式子中出现垂直向量，直接替换为0简化；

②代入已知模长、夹角余弦值，化简算出最终实数。

（2）坐标法

①写出两个向量坐标；

②分别计算三组坐标乘积；

③三组乘积相加，得到数量积数值。3.易错提醒

数量积运算结果是实数，不是向量；展开多项式时容易漏项、符号写错。【例1】（2026高二·福建漳州·期末）已知向量，则等于（

）A．2 B．1 C． D．0【变式1-1】（2026高二·甘肃兰州·期中）已知向量，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【变式1-2】（2026高二·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（

）A．0 B． C． D．【变式1-3】（2026高二·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则（

）A． B．8 C．-4 D．4▌题型04由空间向量夹角求参数1.核心逻辑

（1）已知夹角条件，代入余弦等式或不等式；直角满足，锐角，钝角。

（2）坐标法：向量坐标含参数，用参数表示、、，列方程或不等式求解。2.解题步骤

（1）用参数表示、、；

①根据夹角要求列出等式或不等式；

②求解参数，检验模长不能为0，剔除增根。

（2）坐标法

①写出含参向量坐标，计算数量积与两个模；

②结合夹角条件列关系式；

③解方程/不等式，钝角需额外排除两向量反向共线的情况。3.易错提醒

求钝角只写，忽略反向共线；不检验模长不为0造成分母无意义。【例4】（2026高二·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．【变式4-1】（2026高二·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（

）．A．若，则 B．若，则C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则【变式4-2】【多选】（2026高二·广东潮州·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量，下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若为钝角，则D．若在上的投影向量为，则【变式4-3】（2026高二·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（

）A． B． C．1 D．2▌题型05求投影向量1.核心逻辑

（1）在上投影向量：；

（2）坐标法：坐标算出投影系数，再乘坐标得到投影向量。2.解题步骤

（1）计算与；

①算出投影系数，再乘以得到投影向量。

（2）坐标法

①用坐标计算、；

②求出系数；

③系数乘的坐标，写出投影向量坐标。【例5】（2026高二·四川广安·阶段检测）已知向量，，，且，．(1)求，，；(2)求向量与所成夹角的余弦值；(3)求在上的投影向量（用坐标表示）．【变式5-1】（2026高二·上海·期中）给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______.【变式5-2】（2026高二·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【变式5-3】（2026高二·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．▌题型06利用数量积证明垂直关系1.核心逻辑

（1）两个非零向量垂直的充要条件；线线、线面垂直均可转化为方向向量数量积为0。

（2）坐标法：两向量坐标对应相乘相加，结果等于0即可证垂直。2.解题步骤

（1）选取两条直线对应的方向向量；

①展开并化简两个向量的数量积；

②计算结果等于0，补充说明两向量均非零，得出垂直结论。

（2）坐标法

①写出两条直线方向向量的坐标；

②计算坐标形式的数量积；

③结果为0，直接判定向量垂直，对应直线垂直。3.易错提醒

不说明向量为非零向量；仅观察坐标符号，不完整计算数量积。【例6】（2026高一·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【变式6-1】（2026高二·安徽·竞赛）在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（

）A．－9 B．－1 C．1 D．9【变式6-2】（2026高二·全国·暑假作业）如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点．(1)求的长；(2)求证：．【变式6-3】（2026高二·福建泉州·期中）如图，已知在平行六面体中，，，，，，，分别是，的中点.(1)若对角线的长度为时，求的值；(2)求证：.▌题型07求空间向量数量积的最值1.核心逻辑

（1）模固定时，；含参数向量通过平方、配方求取值范围。

（2）坐标法：向量含参数时，数量积转化为关于参数的二次函数，配方法求最值。2.解题步骤

（1）把数量积整理为含或含参数的代数式；

①利用确定上下边界；

②写出最大值、最小值，标注取等时向量位置关系。

（2）坐标法

①用坐标写出数量积关于参数的二次函数；

②配方，结合参数取值范围确定最值；

③验证取等条件对应的参数真实存在。3.易错提醒

忽略限制，算出超出合理范围的最值。【例7】（2026高二·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________.【变式7-1】（2026高二·天津·阶段检测）P是棱长为2的正方体上底面上的一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-2】（2026高二·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为1.(1)求的值；(2)是底面上一点（包括边界），求的取值范围．【变式7-3】（2026高二·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（

）A．10 B．11 C．12 D．13▌题型08求空间向量模的最值1.核心逻辑

（1）模的最值等价于模平方的最值，结合取值范围约束求解。

（2）坐标法：向量坐标含参数，模平方是二次函数，配方求出平方最值后再开算术平方根。2.解题步骤

（1）对目标向量整体平方，展开为数量积组合；

①结合求出平方的最大、最小值；

②对平方最值开算术平方根，得到模长最值。

（2）坐标法

①写出含参向量坐标，计算模的平方；

②二次函数配方，确定平方区间；

③开根号得到模的最值，标注参数取等条件。3.易错提醒

求出模平方的最值后，忘记开根号直接当作模长答案。【例8】在正方体中，，动点满足，则当时，________；当时，的取值范围是________．【变式8-1】（2026高二·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上