《新编高等数学（第2版）》高职全套完整教学课件

第1章函数函数极限与连续导数与微分导数的应用不定积分定积分及其应用多元微积分常微分方程无穷级数线性代数全套可编辑PPT课件CONTENTS函数及其性质1.1初等函数1.2应用示例1.3数学实验1.4最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨.最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂.后来，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标.1718年，莱布尼茨的学生约翰·贝努利（BernoulliJohann，瑞士，1667—1748年）在莱布尼茨函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量.”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫作x的函数，他强调函数要用公式来表示.等到康托尔（Cantor，德国，1845—1918年）创立的集合论被大家接受后，人们开始用集合对应关系来定义函数概念.我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”.中国古代“函”字与“含”字通用，都有“包含”的意思.李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数.”中国古代用天、地、人、物来表示4个不同的未知数或变量.这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫作x的函数.”所以，“函数”是指公式里含有变量的意思.函数的发展阅读与欣赏1.1函数及其性质1.1.1函数的概念

定义1.1

设

x和

y是两个变量，D是一个给定的非空数集.若对于每个

，变量

y按照一定法则

f总有确定的数值与它对应，则称

y是

x的函数，记为其中x称为自变量，y称为因变量，数集

D称为这个函数的定义域.对于每个

，按照对应法则f，总有确定的值y与之对应，这个值称为函数在点x处的函数值，记为.因变量与自变量的这种依赖关系通常称为函数关系.1.1.1函数的概念1.1.1函数的概念

1.1.1函数的概念

1.1.1函数的概念图1-1

1.1.1函数的概念1.1.1函数的概念将自变量的值与对应的函数值列成表格的方法列表法010203在坐标系中用图像来表示函数关系的方法图像法将自变量和因变量之间的关系用数学表达式（又称为解析表达式）来表示的方法公式法（解析法）

1.1.1函数的概念图1-21.1.1函数的概念图1-3

1.1.1函数的概念图1-4【例1-3】

取整函数y=[x]，表示不超过数x的最大整数.例如，[2,3]=2,[5]=5,[π]=3,[-6.7]=7.取整函数的定义域为D=（-∞，+∞），值域为M={0，±1，±2，±3，…}，它的图像如图1-4所示.

1.1.2反函数1.1.2反函数

1.1.2反函数

1.1.2反函数【例1-5】函数y=x3和函数的图像如图1-5所示．一般地，要求y=f（x）的反函数，只需先从y=f（x）中解出x的表达式，当该表达式也是一个函数时，再将其中的字母x,y进行交换即可.1.1.2反函数*【例1-6】求函数，x∈[1，+∞）的反函数.解由，解得故于是故所求反函数为

1.1.2反函数1.1.2反函数01020403如果存在正数M，使对任意的x∈I，恒有lf(x)l≤M,则称函数y=f(x)在区间I上有界,否则称f(x)在区间I上无界有界性如果存在不为零的正实数T,使得对于任意的x∈I，x+T∈I，都有f(x+T)=f(x),则称函数y=f(x)为周期函数,T是y=f(x)的一个周期.通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期周期性若对任意的x1,x2∈I,当x1<x2时,恒有f（x1）<f（x2）［或f（x1）>f（x2）］,则称函数y=f（x）在区间I上单调增加（或单调减少）.区间I称为单调增区间（或单调减区间）;单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数;单调增区间和单调减区间统称为单调区间单调性设函数f(x)的定义区间I关于原点对称,若对任意的x∈I,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)是区间I上的偶函数;若对任意的x∈I,都有f(-x)=－f(x),则称函数f(x)是区间I上的奇函数;若函数既不是奇函数也不是偶函数,则称为非奇非偶函数奇偶性文字添加1.1.3函数的性质1.2初等函数

1.2.1基本初等函数1.2.1基本初等函数图1-11图1-12（3）指数函数.

y=ax（a>0,且a≠1,a为常数）,该函数的定义域为（-∞,+∞）,值域为（0,+∞）.当a>1时,函数单调增加;当0<a<1时,函数单调减少,图像过点（0,1）,y=ax的图像如图1-13所示.在科学计数法中常用到以e为底的指数函数y=ex（e为无理数,e=2.71828…）.1.2.1基本初等函数图1-13（4）对数函数.

y=logax（a>0,且a≠1,a为常数）,该函数的定义域为（0,+∞）,值域为（-∞,+∞）,当a>1时,函数单调增加;当0<a<1时,函数单调减少,图像过点（1,0）,具体图像如图1-14所示.在科学计数法中常用到以e为底的对数函数,称为自然对数,记作y=lnx.1.2.1基本初等函数图1-141.2.1基本初等函数

1.2.1基本初等函数图1-15图1-16

图1-17图1-181.2.1基本初等函数1.2.1基本初等函数（6）反三角函数.y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx

统称为反三角函数.②反余弦函数.余弦函数y=cosx在［0,π］上的反函数称为反余弦函数，记作y=arccosx,定义域为［-1,1］，值域为［0,π］，显然cos（arccosx）=x，如图1-20所示.①反正弦函数.正弦函数y=sinx在［-π/2,π/

2］上的反函数称为反正弦函数，记作y=arcsinx,定义域为［-1,1］，值域为［-π/2,π/2］，显然sin（arcsinx）=x，如图1-19所示.

图1-21图1-22你会用“五点法”作正弦型函数与余弦型函数的图像吗？1.2.1基本初等函数思考1.2.2复合函数和初等函数

1.2.2复合函数和初等函数

1.2.2复合函数和初等函数

1.2.2复合函数和初等函数想一想庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式展示了我国强大的军事力量，我们作为中国人很骄傲.在鸣炮升旗环节中，70响礼炮鸣响，那么炮弹发射的高度与发射时间用函数如何描述？1.3应用示例——椅子能否在不平的地面放稳当把一张椅子放在不平的地面上时，通常只有三只椅脚着地，然而只需稍微转动一定的角度，就可以使四只椅脚同时着地，即放稳了。怎样用数学模型来描述和证明这个实际问题呢？1.3.1问题提出能用数学语言进行描述，需要对椅子和地面做一些必要的假设。假设1对椅子的假设椅子的四条腿一样长，将椅脚与地面的接触处视为一个点，则四只脚的连线呈正方形。假设2对地面的假设地面的高度是连续变化的，可视为数学上的连续曲面。假设3对椅子和地面关系的假设地面是较为平坦的，使得椅子在任何时候都有三只脚同时着地。1.3.2模型假设1.引入函数如图1-23所示，以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，用θ

表示椅子转动的角度，从而确定椅子的位置。椅脚着地，即椅脚与地面的距离为零，这就是椅子与地面的数量关系。因此，可以用θ的函数表示椅脚与地面的距离，因为图形具有对称性，故不必用4个函数，而只用2个函数［设f（θ）表示椅脚A和C到地面的距离之和，设g（θ）表示椅脚B和D到地面的距离之和］即可。1.3.3模型建立图1-23

1.3.3模型建立3.把问题转化为数学命题椅子的四只椅脚同时着地等价于存在一点θ0，使f（θ0）=g（θ0）=0.因此，原问题等价于以下命题：命题已知函数f（θ）与g（θ）是θ的非负连续函数，0≤θ≤2π，且满足：（1）f（θ）>0，g（θ）=0；（2）对任意θ∈［0，2π］，f（θ）g（θ）=0；（3）f（π/2）=g（0），g（π/2）=f（0）.则必存在一点θ0∈［0，2π］，使f（θ0）=g（θ0）=0.1.3.3模型建立（1）求证：因为f（θ）>0，g（θ）=0，所以f（π/2）=g（0）=0，g（π/2）=f（0）>0.令h（θ）=f（θ）-g（θ），则在［0，π/2］上连续且h（θ）=f（θ）-g（θ）>0，h（π/2）=f（π/2）-g（π/2）<0.由连续函数中值定理可知，必存在一点θ0（0<θ0<π/2），使h（θ0）=0，即h（θ0）=g（θ0）.因为f（θ0）与g（θ0）至少有一个为零，所以f（θ0）=g（θ0）=0.（2）模型的解的意义：在满足三点假设的前提下，证明了通过转动椅子，必定可使其在地面上放稳，而且转动（顺时针或逆时针）的角度不会超过90°.1.3.4模型求证1.4数学实验一使用MATLAB作基本运算与绘制函数图像（1）熟悉数学软件MATLAB的界面、基本功能和基本操作.（2）学习利用数学软件MATLAB作基本运算.（3）学习利用数学软件MATLAB绘制函数图像.1.4.1实验任务1.数学软件MATLAB简介数学软件MATLAB是美国MathWorks公司开发的一款商业数学软件，具有强大的功能，主要用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算中，将人们从原先烦琐的手工计算中彻底解放出来.下面主要介绍MATLAB的基本操作（以MATLABR2013b版本为例进行介绍）.（1）软件的启动与运行.安装完MATLAB软件并激活后，该软件会在“开始”菜单中创建快捷方式。单击“开始”→“所有程序”→MATLAB→R2013b→MATLABR2013b命令，运行MATLAB软件，并进入其主界面，如图1-24所示.1.4.2实验过程1.4.2实验过程图1-24如图1-24所示，该界面主要由标题栏、选项卡、功能区、工具栏、导航窗格（CurrentFolder）、命令窗口（CommandWindow）、工作空间（Workspace）、命令历史（CommandHistory）、状态栏等组成.（1）标题栏.标题栏位于窗口的最上方，主要显示软件的名称以及“最小化”按钮、“最大化/还原”按钮、“关闭”按钮等.（2）选项卡.包括3个选项卡，分别是主页（HOME）、绘制（PLOTS）和应用（APPS），每个选项卡下面包含功能区，是MATLAB软件众多功能的“集散地”.（3）功能区.功能区分散在各个选项卡下，是众多命令的集合，用于实现不同的功能操作.1.4.2实验过程（4）工具栏.MATLAB窗口中的工具栏分别位于两个位置，与选项卡同行显示的是快速工具栏，其上包括一些比较常用的按钮，如“保存”按钮、“剪切”按钮、“复制”按钮、“撤销”按钮等；位于功能区下方的是常规工具栏，主要包括“前进”（Forward）按钮、“后退”（Back）按钮、“上一级”（UpOneLevel）按钮、“浏览”（Browseforfolder）按钮、地址栏等.（5）导航窗格（CurrentFolder）.该窗格中显示的是目录层级.（6）命令窗口（CommandWindow）.该窗口是工作主窗口，用于程序的输入和执行结果的显示.（7）工作空间（Workspace）.该窗口存放着图片的数组信息.（8）命令历史（CommandHistory）.该窗格中显示了所有命令的输入和执行历史记录.1.4.2实验过程（2）

输入与输出.启动MATLAB软件后，可以通过键盘在命令窗口（CommandWindow）中输入对应的程序和命令，然后按Enter键，系统自动运算并输出结果.例如，我们利用MATLAB计算“2+3”的结果，可以直接在命令窗口中输入“2+3”，然后按Enter键，即可得到计算结果，如图1-25所示.1.4.2实验过程图1-252.基本运算在MATLAB中，和、差、积、商、乘方运算分别用+、-、*、/、^来表示，其运算顺序与一般运算的规则一致，即先乘方，后乘除，最后是加减，要改变次序可以使用小括号“（）”.计算［4+2×(5－1)］÷22.在命令窗口中输入：>>(4+2*(5-1))/2^2按Enter键，得到如下计算结果：ans=3操作实例11.4.2实验过程3.绘制函数图像1）相关命令在MATLAB中绘制二维曲线函数图形的命令，最基本的是plot和fplot，其命令说明如下表所示.命令说明plot（x,y）绘制函数y=f（x）的图像fplot（′fun′,［a,b］）在区间［a,b］上绘制函数fun（函数表达式）的图像

1.4.2实验过程注意2）操作实例操作实例2图1-26在同一个坐标系下画出两条曲线y=sin(x+1)和y=cosx+1在区间［0，2π］上的图像.1.4.2实验过程解法1运行MATLAB，在命令行窗口中输入：>>fplot（‘［sin（x+1）,（cos（x）+1）］’,［0,2*pi］）%同一坐标系下，在［0,2π］上绘制曲线y=sin（x+1）和y=cosx+1的图形按Enter键，弹出如图1-26所示的图像窗口.解法2在命令行窗口中输入：x=0:0.01:2*pi;%在x轴的区间［0,2π］上每隔0.01间隔取x点>>plot（x,sin（x+1）,‘g’,x,（cos（x）+1）,‘b’）%用绿色绘制y=sin（x+1）图形，用蓝色绘制y=cosx+1图形（默认颜色为红色和蓝色）按Enter键后，弹出如图1-27所示的图像窗口.1.4.2实验过程从图1-26和图1-27我们可以看出，图像上并没有显示出图例，我们既可以在弹出的图像窗口中通过相应菜单进行设置，也可以通过legend命令实现.在命令行窗口中继续输入：>>legend（‘y=sin（x+1）’,‘y=cos（x）+1’）按Enter键，则可发现图像窗口中增加了相应的图例，如图1-28所示.图1-27图1-281.4.2实验过程操作实例3将屏幕窗口分成4个，用subplot(m，n，k)命令画4个子图，分别如下：①y=5x4－3x2+2x－7，x∈［－5,5］.②y=|x2－4x+2|，x∈［－1,5］.③y=ln（1+√1+x2），x∈［－3,3］.④y=x2·e－2x²，x∈［－3,3］.解：运行MATLAB，在命令行窗口中输入：按Enter键，弹出如图1-29所示的窗口.图1-291.4.2实验过程李善兰，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔，浙江海宁人，是近代著名的数学家、天文学家.李善兰在数学研究方面的成就主要有尖锥术、垛积术和素数论三项。尖锥术理论主要见于《方圆阐幽》《孤矢启秘》《对数探源》三部著作，当时解析几何与微积分学尚未传入中国.李善兰创立的“尖锥”概念，是一种处理代数问题的几何模型，他对“尖锥曲线”的描述实质上相当于给出了直线、抛物线、立方抛物线等方程.垛积术理论主要见于《垛积比类》，这是有关高阶等差级数的著作.李善兰从研究中国传统的垛积问题入手，取得了一些相当于现代组合数学中的成果.著名的“李善兰恒等式”也出自该书.素数论主要见于《考数根法》，这是中国素数论方面最早的著作。在判别一个自然数是否为素数时，李善兰证明了著名的费马素数定理，并指出了它的逆定理不真.在把西方近代物理学知识翻译为中文的传播工作中，李善兰做出了重大贡献.他的译书也对中国近代物理学的发展起了启蒙作用.同治七年，李善兰到北京担任同文馆天文、算学部长，执教达13年之久，为造就中国第一代科学人才做出了贡献，为近代科学在中国的传播和发展做出了开创性的贡献.李善兰一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传入中国，对促进近代科学的发展做出卓越贡献.思政小课堂感谢您的观看教育说课商务总结第2章极限与连续CONTENTS数列的极限2.1函数的极限2.2两个重要极限2.3函数的连续性2.4应用示例2.5数学实验2.6在中国古代数学史上,朴素的极限思想占有非常重要的地位.许多的哲学思想中都渗透着“极限思想”的光辉.早在春秋战国时期（公元前770—前221年），我国道家学派的代表人物庄子，在他的《庄子》“天下篇”中是这样记载的：一尺长的木棍，第一天取掉它的一半，还剩下它的二分之一尺，第二天在这剩余的二分之一尺中再取掉一半，还剩下它的四分之一尺……按照这样的方法一直取下去，木棍的长度会越来越小，但是无论剩余的木棍多小，永远也分不完，以至于到最后木棍长度几乎接近于零，但又永远不会等于零.这就出现了我国早期的极限思想.当然，在道家学派思想出现以前也曾出现过一些与道家学派不同的关于极限思想的观点.如墨家观点就与庄子的观点不同，墨家提出一个“非半”的命题.这个命题是这样得出的：将一线段按一半一半地无限分割下去，必将出现一个不能再分割的“非半”.这个“非半”就是点.墨家由此提出了有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想.这也是早期中国极限思想的火花.中国早期的极限思想阅读与欣赏2.1数列的极限2.1.1数列极限的定义

2.1.1数列极限的定义【例2-1】观察下列数列当n→∞时的极限.2.2.1函数极限的定义解

对于每一个数列，先将数列列出来，再根据极限的定义，观察数列当n→∞时的变化趋势，可得定理2.1

（极限的唯一性）收敛数列{an}的极限是唯一的.定理2.2

（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界.推论2.1

有界数列未必收敛，无界数列必定发散.例如，数列{(－1)n}是有界数列，但它是发散的；数列{2n}是无界数列，且它是发散的.2.1.2收敛数列的性质2.2函数的极限

2.2.1函数极限的定义图2-5

2.2.1函数极限的定义定义2.3

类似地，如果当x→+∞（或x→-∞）时，函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫作函数f(x)当x→+∞（或x→-∞）时的极限，记作2.2.1函数极限的定义

图2-62.2.1函数极限的定义

2.2.1函数极限的定义

2.2.1函数极限的定义（1）当自变量x小于x0而无限趋近于x0时，如果函数f(x)的对应值无限趋近于一个确定的数A，那么A就叫作函数f(x)当x→x0时的左极限，记作（2）类似地，当自变量x大于x0而无限趋近于x0时，如果函数f(x)的对应值无限趋近于一个确定的数A，那么A就叫作函数f(x)当x→x0时的右极限，记作2.2.1函数极限的定义不难证明，存在的充分必要条件是和存在且相等，即【例2-3】设函数，求，，并由此判断是否存在.2.2.1函数极限的定义解即由函数f(x)在x=1处极限存在的充要条件可知，【例2-4】设函数，证明：当x→0时，f(x)的极限不存在.

证明因为

，所以不存在.2.2.1函数极限的定义2.2.2极限的四则运算法则

【例2-5】求极限解一般地，若f（x）为多项式函数，则对任意x0∈(－∞,+∞）,都有2.2.2极限的四则运算法则【例2-6】求下列极限.解（1）因为所以（2）当x→3时，分子和分母的极限均为零，但可约去公因子x-3≠0，即2.2.2极限的四则运算法则2.2.2极限的四则运算法则一般地,设P（x），Q（x）都是多项式函数，则称P（x）/Q（x）为有理分式函数.有如下结论：【例2-7】求下列函数的极限.解（1）当x→∞时，分子、分母的极限均不存在，为无穷大，不能直接应用运算法则.将分子、分母同除以x的最高次幂x5，得（2）分子、分母同除以x的最高次幂x3，得2.2.2极限的四则运算法则（3）分子、分母同除以x的最高次幂x4，得由于分子极限为1，分母极限为0，所以一般地，当a0≠0，b0≠0，m,n为非负整数时，有2.2.2极限的四则运算法则（1）运用极限法则时,必须注意只有各项极限都存在（对商,还要求分母的极限不为零）才能使用极限的四则运算法则.（2）若所求极限呈现“0/0”“∞/∞”“∞－∞”等形式不能直接应用极限法则,必须先对原式进行恒等变形（约分、通分、有理化、变量代换、分子与分母同除以分子与分母的最高次幂）,然后再利用极限法则求极限.2.2.2极限的四则运算法则注意2.2.3无穷小量与无穷大量

（1）无穷小是一个以零为极限的变量.它表达的是量的变化状态,而不是量的大小,一个量无论多么小都不是无穷小,零是唯一可看成无穷小的常数.（2）无穷小与自变量的变化趋势有关.称一个函数是无穷小,必须明确指出自变量的变化趋势,因为对于同一个函数,在自变量的不同变化趋势下,其极限值不同.注意

2.2.3无穷小量与无穷大量2.2.3无穷小量与无穷大量2）无穷小的性质性质2.1

有限个无穷小的代数和仍为无穷小.性质2.2

有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论2.4

常数与无穷小的乘积也是无穷小.推论2.5

有限个无穷小的乘积仍是无穷小.【例2-8】

求解2.2.3无穷小量与无穷大量想一想唐代诗人李白的“故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州.孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”这首诗是否能体现无穷小的意境？【例2-9】

计算解此例说明无穷多个无穷小之和不一定是无穷小.2.2.3无穷小量与无穷大量2.2.3无穷小量与无穷大量3）无穷小量阶的比较无穷小量虽然都是趋近于零的变量，但不同的无穷小趋近于零的速度却不一定相同，有时可能相差很大.观察两个无穷小比值的极限：在x→0的过程中，x2→0比x→0“快些”，而sinx→0与x→0“快慢相仿”.由此，我们定义如下：2.2.3无穷小量与无穷大量2.2.3无穷小量与无穷大量

2.2.3无穷小量与无穷大量在求极限的过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能代替乘积中的项，不能代替和差中的项.注意2.2.3无穷小量与无穷大量

2.2.3无穷小量与无穷大量2.3两个重要极限

2.3.1第一个重要极限x/rad-1.0-0.7-0.3-0.01…→0←…0.010.30.71.00.841470.920310.985070.99998…→1←…0.999980.985070.920310.841472.3.1第一个重要极限

【例2-13】求解【例2-14】求解【例2-15】求解2.3.1第一个重要极限2.3.2第2个重要极限

x-1000000-1000-10110100001000000…2.718282.718402.8679722.593742.718152.71828…

2.3.2第2个重要极限

2.3.2第2个重要极限【例2-16】求

.

解【例2-17】求

.

解【例2-18】求

.

解例2.4函数的连续性2.4.1函数连续性的概念

2.4.1函数连续性的概念

2.4.1函数连续性的概念

2.4.1函数连续性的概念

2.4.1函数连续性的概念

例2.4.1函数连续性的概念例

2.4.2函数的间断点

2.4.2函数的间断点

2.4.2函数的间断点

2.4.2函数的间断点【例2-23】讨论函数在点x=0处的连续性.解因为所以f（x）在点x=0处右连续但不左连续，故f（x）在点x=0处不连续.因为y=f（x）的图形在点x=0处产生跳跃现象，所以我们称x=0是f（x）的跳跃间断点.【例2-24】正切函数y=tanx在点x=处没有定义，所以x=是函数tanx的间断点.因为

，故称x=为函数tanx的无穷间断点.【例2-25】函数y=sin在点x=0处没有定义，所以x=0是函数sin的间断点.2.4.2函数的间断点

2.4.3闭区间上连续函数的性质

2.4.3闭区间上连续函数的性质

2.4.3闭区间上连续函数的性质

2.4.3闭区间上连续函数的性质

2.5应用示例——城市垃圾的处理问题根据某城市某一年年末的统计资料显示，到该年年末，该城市已堆积垃圾达到100万吨.根据预测，从该年起该城市还将以每年5万吨的速度产生新的垃圾.如果从第二年起该城市每年处理上一年堆积垃圾的20%，那么长此以往，该城市的垃圾能否被全部处理完成？2.5.1问题提出

2.5.2解答过程2.6数学实验二使用MATLAB求极限2.6.1实验任务学习利用数学软件MATLAB求极限.2.6.2实验过程1.相关命令MATLAB中有关求函数极限的命令如下表所示.2.6数学实验二命令说明limit（fun,x,-inf）limit（fun,x,inf）limit（fun,x,a）limit（fun,x,a,′right′）limit（fun,x,a,′left′）解（1）运行MATLAB，在命令行窗口中输入：>>symsx%定义符号变量>>limit（atan（x）/x,x,0）%求函数在x→0时的极限按Enter键，即可计算出如下结果：ans=1即2.6数学实验2.操作实例操作实例1利用MATLAB求下列极限：（2）在命令行窗口中输入：>>symsx%定义符号变量>>limit（（（x+1）/（x-1））^x,x,inf）%求函数在x→∞时的极限按Enter键，即可计算出如下结果：ans=exp（2）即2.6数学实验（3）在命令行窗口中输入：>>symsx%定义符号变量>>limit（（exp（x）-1）/x,x,0）%求函数在x→0时的极限，按Enter键，即可计算出如下结果：ans=1即操作实例2利用MATLAB判断下列函数的极限是否存在：解

（1）运行MATLAB，在命令行窗口中输入：>>symsx

%定义符号变量>>limit（（x^3-1）/（x-1）,x,1）%求函数在x→1时的极限按Enter键，即可计算出如下结果：ans=3即2.6数学实验（2）在命令行窗口中输入：>>symsx

%定义符号变量>>f1=limit（exp（1/x）,x,0,left）%求函数在x=0处的左极限f1，按Enter键，即可计算出左极限的结果：f1=0即.继续在命令行窗口中输入：>>f2=limit（exp（1/x）,x,0,‘right’）按Enter键，即可计算出右极限的结果：f2=Inf即不存在.由于不存在，所以也不存在.2.6数学实验所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.“圆，一中同长也”意思是说：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义.而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系.认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积.我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”中记载：“半周半径相乘得积步。”也就是我们现在所熟悉的圆面积计算公式.为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记记载的就是数学史上著名的“割圆术”。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。如图2-12所示，正多边形的边数越多，其各边就越靠近圆.思政小课堂刘徽在《九章算术注》的自序中表明，把探究数学的根源作为自己从事数学研究的最高任务.他注《九章算术》的宗旨就是“析理以辞，解体用图”.刘徽通过分析数学之理建立了中国传统数学的理论体系。“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。思政小课堂感谢您的观看教育说课商务总结第3章导数与微分CONTENTS导数的概念3.1求导法则3.2高阶导数3.3函数的微分3.4应用示例3.5数学实验3.6魏尔斯特拉斯（Weierstrass）是德国数学家，他酷爱数学，但白天有繁重的教学任务，只好利用晚上刻苦钻研数学.他废寝忘食地研究数学，过不少数学论文.1854年，他发表了《关于阿贝尔函数理论》的论文，成功地解决了椭圆积分的逆转问题，轰动了数学界.柯尼斯堡大学也因此立即授予他名誉博士学位.1856年10月，他被聘为柏林大学助理教授.1864年，成为该校教授，这一职位一直保持到1897年他去世.此外，他还被选为法国科学院和柏林科学院院士.魏尔斯特拉斯的主要贡献在函数论和分析学方面.

1856年，魏尔斯特拉斯在克雷勒期刊的《阿贝尔函数理论》中发表了超椭圆积分的反演理论.他还建立了椭圆函数新结构的定理、圆环上解析函数的级数展开定理（又称洛朗定理）等.他把严格的论证引进分析学，建立了实数理论，引进了现今分析学上通用的极限的ε-δ定义，为分析学的算术化做出了重要贡献.在变分法中，他给出了带有参数的函数的变分结构，研究了变分问题的间断解.在微分几何中，研究了测地线和最小曲面；在线性代数中，建立了初等因子理论，并用来简化矩阵.数学大师——卡尔·魏尔斯特拉斯阅读与欣赏3.1导数的概念3.1.1变化率问题

3.1.1变化率问题

例

3.1.1变化率问题

3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念

3.1.2导数的概念3.1.2导数的概念

3.1.2导数的概念

2.单侧导数利用单侧极限给出函数在一点处的单侧导数的定义.3.1.2导数的概念

3.1.3导数的几何意义

3.1.3导数的几何意义

思考定理3.1

如果函数y=f（x）在点x处可导，则函数在该点必连续.由定理3.1知函数可导必连续，但是连续却不一定可导.3.1.4函数可导性与连续性的关系

3.2求导法则

3.2.1导数的四则运算法则3.2.1导数的四则运算法则推论3.1

（C为常数）.推论3.2推论3.3【例3-6】求

的导数.

解3.2.1导数的四则运算法则【例3-7】求y=secx的导数.

解用类似的方法可得（cscx）’=-cscxcotx.【例3-8】求y=tanx的导数.

解用类似的方法可得（cotx）’=-csc2x.

3.2.2反函数的求导法则

3.2.2反函数的求导法则为了便于查阅。我们将常数和基础初等函数的导数公式归纳如下：3.2.2反函数的求导法则

3.2.3复合函数的求导法则

3.2.3复合函数的求导法则【例3-13】求函数的导数.

解因为所以

对复合函数的分解与复合函数的求导法则掌握的比较熟练后,就可以不用写出中间变量,只要认清函数的复合层次并默记在心,然后由外向内逐层求导就可以了,关键是必须清楚每一步对哪个变量求导.3.2.3复合函数的求导法则

3.2.4隐函数的求导法则

3.2.4隐函数的求导法则

3.2.4隐函数的求导法则【例3-17】

求函数y=xx（x>0）的导数.

解这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数公式，也不能用指数函数的导数公司.对等式两边取对数，得lny=xlnx等式两边同时对x求导，得解得3.2.4隐函数的求导法则

3.2.5参数方程所确定的函数的导数

3.2.5参数方程所确定的函数的导数【例3-19】

已知抛射体的运动轨迹的参数方程为，求抛射体在时刻t的速度的大小和方向.解先求速度的大小.由于速度的水平分量为，垂直分量为，所以抛射体的速度的大小为再求速度的方向，也就是轨道的切线方向.设α施切线的倾斜角，根据导数的几何意义得所以，在抛射体刚射出（t=0）时3.2.5参数方程所确定的函数的导数当时，这时，运动方向是水平的，即抛射体达到最高点（见下图）.3.2.5参数方程所确定的函数的导数3.3高阶导数3.3.1高阶导数的概念

3.3.1高阶导数的概念3.3.1高阶导数的概念想一想在高阶导数只能从一阶导数开始，一次次向上求导才能达成目标这一计算过程中，我们可以得到什么启示？

3.3.1高阶导数的概念

3.3.1高阶导数的概念3.3.2二阶导数的物理意义

3.3.2二阶导数的物理意义3.4函数的微分3.4函数的微分

3.4函数的微分3.4.1微分的概念

3.4.1微分的概念

3.4.1微分的概念3.4.1微分的概念

3.4.1微分的概念【例3-23】求函数的微分.

解因为，所以

3.4.2微分的几何意义3.4.3微分的运算1.微分基本公式

3.4.3微分的运算3.4.3微分的运算

3.4.4微分在近似计算中的应用

3.4.4微分在近似计算中的应用

3.4.4微分在近似计算中的应用特别地，当x0=0，很小时，有3.4.4微分在近似计算中的应用利用上面的式子，可以推导出一些常用的近似公式.当很小时，有：（1）（2）sinx≈x（x用弧度作单位来表达）；（3）tanx≈x（x用弧度作单位来表达）；（4）ex≈1+x；（5）ln（1+x）≈x.3.5应用示例——

拐角问题在医院的外科手术室，往往需要将病人安置在活动病床上，沿走廊推到手术室或送到病房.然而有的医院的病房较窄，病床必须沿过道推到直角拐角（见下图）.我们想知道标准的病床能否顺畅地推过拐角.在过道宽度已知的情况下，通过计算求出病床可以顺利通过走廊的最大长度.3.5.1问题提出

3.5.2解答思路

3.5.3解答过程3.6数学实验三使用MATLAB求

函数的导数3.6.1实验任务学习利用数学软件MATLAB求函数的导数.3.6.2实验过程1.相关命令MATLAB中有关求函数导数的命令说明如下表所示.3.6数学实验三命令说明diff（f,x）求函数表达式f对自变量x的一阶导数diff（f,x,2）求函数表达式f对自变量x的二阶导数diff（f,x,n）求函数表达式f对自变量x的n阶导数

3.6数学实验三2.操作实例操作实例1求下列函数的一阶导数.（2）在命令行窗口中输入：>>f=diff（exp（sin（x））/cos（log（x））,x）按Enter键，得到如下计算结果：f=（exp（sin（x））*cos（x））/cos（log（x））+（sin（log（x））*exp（sin（x）））/（x*cos（log（x））^2）即3.6数学实验三

3.6数学实验三导数是高等数学与实际问题相联系的一个重要桥梁，它为解决生活中的一些实际问题提供了重要方法.透过现象看本质就是在看待问题时能够抓住这个事件背后的根本性运作逻辑，理解它真正的前因后果，而不会因这个事件的表象、无关要素、感性偏见等而影响了判断.隐函数求导的问题亦是如此.正所谓理论来源于生活又服务于生活，期待我们新一代大学生既能用科学的理论知识武装自己的头脑，又能把这些科学的理论知识转化为生产力，造福我们的祖国，为中华民族的伟大复兴贡献自己的一份力量。思政小课堂感谢您的观看教育说课商务总结第4章导数的应用CONTENTS洛必达法则4.1函数的单调性4.2函数的极值与最值4.3应用示例4.4数学实验4.5洛必达，法国数学家.1661年洛必达出生于法国的贵族家庭.1704年2月2日卒于巴黎.他曾受袭侯爵衔，并在军队中担任骑兵军官，后来因为视力不佳而退出军队，转向学术方面.他早年就显露出数学才能，在他15岁时就解出帕斯卡的摆线难题，后又解出约翰·伯努利向欧洲挑战的“最速降曲线问题”.洛必达的著作盛行于18世纪的圆锥曲线的研究.他最重要的著作是《阐明曲线的无穷小于分析》（1696年），这本书是世界上第一本系统的微积分学教科书，它由一组定义和公理出发，全面地阐述变量、无穷小量、切线、微分等概念，这对传播新创建的微积分理论起了很大的作用.洛必达还写作过几何、代数及力学方面的文章.他亦计划写作一本关于积分学的教科书，但由于他过早去世，未能完成.而遗留的手稿于1720年在巴黎出版，名为《圆锥曲线分析论》.洛必达简介阅读与欣赏4.1洛必达法则4.1洛必达法则

4.1.3其他类型未定式

4.1.3其他类型未定式【例4-9】求

解此极限为00型未定式，由xx=exlnx知，当x→0+时，其指数xlnx为0·∞型未定式.因为所以4.1.3其他类型未定式4.2函数的单调性

4.2.1函数单调性的判定方法

4.2.1函数单调性的判定方法

4.2.1函数单调性的判定方法

4.2.1函数单调性的判定方法

4.2.2函数单调性的应用

4.2.2函数单调性的应用4.3函数的极值与最值4.3.1函数的极值

4.3.1函数的极值极值是指函数值，而极值点是指自变量的值，两者不能混淆.注意想一想观察图片，我们可以了解到极小值和极大值的概念，它与人生的低谷和高峰有众多相似之处，从中我们可以得到什么启示？4.2.1函数单调性的判定方法

4.3.2函数极值的判定及求法

注意

4.3.2函数极值的判定及求法

4.3.2函数极值的判定及求法

4.3.2函数极值的判定及求法

4.3.2函数极值的判定及求法

4.3.2函数极值的判定及求法函数的驻点一定是极值点吗？可导函数的驻点是极值点的什么条件？思考在工农业生产和科学研究中，为了提高生产效率、降低成本、节约原材料等，往往需要研究相应函数的最大值和最小值的问题．函数的最大值和最小值统称为函数的最值；使得函数取得最大值或最小值的点，统称为函数的最值点.4.3.3函数的最值

4.3.3函数的最值

4.3.3函数的最值

4.3.3函数的最值

4.3.3函数的最值思考:最大值和最小值是唯一的吗？4.4曲线的凹凸性与拐点定义4.2

设曲线(函数)y=f(x)在区间(a,b)内的任意点处都有切线，如果切线在切点附近曲线弧的下方，则称曲线y=f(x)在区间(a,b)内是凹的，或称为凹弧，区间(a,b)为凹区间；反之,如果切线在切点附近曲线弧的上方，则称曲线y=f(x)在区间(a,b)内是凸的，或称为凸弧，区间(a,b)为凸区间.如下图（左）所示，凹弧随变量x的增加,各点的切线斜率(倾斜角)由左至右逐渐增大,即f‘(x)是单调增加的,将f’(x)看作函数,由函数单调性可知f″x>0.如下图（右）所示,凸弧

随变量x的增加,各点的切线斜率(倾斜角)由左至右逐渐减小,即f'(x)是单调减小的,将f'(x)看作函数,由函数单调性可知f″x<04.4.1曲线的凹凸性定理4.7设函数fx在区间(a,b)内连续且有一阶导数和二阶导数.(1)如果在区间(a,b)内f″x>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)内是凹的.(2)如果在区间(a,b)内f″x<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)内是凸的.4.4.1曲线的凹凸性【例4-20】判断曲线f(x)=x2-2x+3的凹凸性.解设函数f(x)=x2-2x+3在(-∞,+∞)内连续且可导,f'(x)=2x-2,f″(x)=2.因为f″(x)>0,由定理4.7可知曲线f(x)=x2-2x+3在区间(-∞,+∞)内是凹的.【例4-21】判断曲线f(x)=lnx[x∈(0,+∞)]的凹凸性.解在区间(0,+∞)内,f″(x)<0,故曲线f(x)=lnx是凸的.【例4-22】判断曲线(x)=2x3-6x2的凹凸性.解

f'(x)=6x2-12x,f″(x)=12x-12=12(x-1).显然,在区间(-∞,1)内,f″(x)<0,曲线f(x)=2x3-6x2

是凸的;在区间(1,+∞)内,f″(x)>0,曲线f(x)=2x3-6x2是凹的.定义4.3

一般地,若曲线y=f（x）是连续的,则其凸弧和凹弧的分界点称为曲线的拐点.由例4-22可知,求曲线y=f（x）的拐点,就是找出f″(x)=0的点.判定曲线y=f（x）的凹凸性及求拐点的步骤如下.(1)确定该曲线的定义区间.(2)求其二阶导数并找出f″(x)=0的所有实根.(3)用这些实根将定义区间分为若干小区间,确定f″(x)=0在每个小区间的符号,判定曲线的凹凸性.(4)如果在实根x0的两侧f″(x)的符号相反,则该点就是曲线的拐点.4.4.2曲线的拐点4.4.2曲线的拐点【例4-23】判断曲线f(x)=x4+4x3-18x2

的凹凸性及拐点.解函数f(x)=x4+4x3-18x2在区间(-∞,+∞)内连续且可导.f'(x)=4x3+12x2-36x,f″(x)=12x2+24x-36=12(x+3)(x-1).令f″(x)=0,解得x1=-3,x2

=1.两实根将区间(-∞,+∞)分为三部分(-∞,-3),(-3,1),(1,+∞).在(-∞,-3)内,f″(x)>0,曲线为凹弧;在(-3,1)内,f″(x)<0,曲线为凸弧;在(1,+∞)内,f″(x)>0,曲线为凹弧.在点x1=-3,x2=1的两侧,f″(x)异号,f(-3)=-189,f(1)=-13.因此,点(-3,-189)和(1,-13)为曲线的拐点.4.4.2曲线的拐点【例4-24】研究曲线

的凹凸性和拐点.解

在点x=1处,f″(x)不存在,f″(x)=0没有实根.在(-∞,1)内,f″(x)>0,曲线为凹弧；在(1,+∞)内,f″(x)<0,曲线为凸弧.x=1处是曲线凹凸性的分界点，f(1)=0.因此，点(1,0)为曲线的拐点.由例4-24可知,二阶导数不存在的点,也可能是曲线的拐点.4.5应用示例——

效率最值问题如左图所示，某海滨浴场的岸边可近似地看作一条直线，救生员在岸边的A处，发现海中B处（∠BAD=45°）有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边A跑到离B最近的D处（BD=300米），然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中行进速度为2米/秒，试问：（1）救生员先沿岸边A跑到离B最近的D处，然后游向B处，这种做法是否正确？（2）能否在AD上找到适当的一点，使得救生员能在最短的时间内营救B处的人？4.5.1问题提出

4.5.2解答过程在解决与实际问题有关的最值问题时，应先将实际问题转化为求函数的最值问题，并且要特别注意自变量的取值范围，再利用求导法则求最值.提示4.6数学实验四使用MATLAB求函数的极值4.5.1实验任务学习利用数学软件MATLAB求函数的极值.4.5.2实验过程1.相关命令MATLAB中求函数极值、最值的命令如下表所示.4.6数学实验四命令说明subs（diff（f,x,n）,k）［x1,f1］=fminbnd（f,a,b）4.6数学实验四

4.6数学实验四第二步：观察图形，可以发现原函数的两个极大值点和一个极小值点的位置，下面来求函数在相应区间上的极值，即函数在区间（-2,2）内的极值.在命令行窗口中输入：>>f=inline（-x^4+2*x^2,x）;

%定义函数f>>［x1,y1］=fminbnd（f,-0.5,0.5）%求函数f在［-0.5,0.5］

上的极小值点x1及极小值y1按Enter键，得到如下计算结果：x1=0

y1=04.6数学实验四继续输入：>>g=inline（x^4-2*x^2,x）;%定义函数g=-f>>［x2,y2］=fminbnd（g,-1.5,-0.5）,［x3,y3］=fminbnd（g,0.5,1.5）%求函数g在区间［-1.5,0.5］上的极小值点x2及极小值y2（等价于求f=-g在区间［-1.5，-0.5］的极大值点x2及极大值-y2）；求函数g在区间［0.5,1.5］上的极小值点x3及极小值y3（等价于求函数f=-g在区间［0.5,1.5］上的极大值点x3及极大值-y3）4.6数学实验四

4.6数学实验四陈建功(1893—1971年),字业成,浙江绍兴人,数学家、数学教育家,中国函数论研究的开拓者之一,主要从事实变函数论、复变函数论和微分方程等方面的研究工作,是中国函数论方面的学科带头人和许多分支研究领域的开拓者.陈建功也是一位卓有成效的教育家,始终主张教学与科研要相辅相成,互相促进.他常说,要教好书,必须靠搞科研来提高;反过来,不教书,就培养不出人才,科研也就无法开展.年过花甲的陈建功的工作量仍然大得惊人,他常常同时指导三个年级的十多位研究生,还给大学生上基础课.但陈建功依然不知疲倦地从事教学与科学研究工作.在他的指导下,杭州大学数学系有了长足的发展,函数逼近论与三角级数论等方面的研究队伍也在迅速成长.陈建功一生勤奋刻苦,不断创新,燃烧自己照亮别人.无论做学问还是做人,都为后人树立了楷模,人们记着他,尊敬他.他是中国近代数学的奠基人之一.思政小课堂感谢您的观看教育说课商务总结第5章不定积分CONTENTS不定积分的概念与性质5.1换元积分法5.2分部积分法5.3应用示例5.4数学实验5.5艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》《光学》等.艾萨克·牛顿阅读与欣赏他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述.这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础.他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命.在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出了牛顿运动定律.在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论.他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速.在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉.他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献.在经济学上，牛顿提出了金本位制度.艾萨克·牛顿阅读与欣赏5.1不定积分的

概念与性质5.1.1原函数与不定积分

5.1.1原函数与不定积分

5.1.1原函数与不定积分

5.1.1原函数与不定积分

5.1.1原函数与不定积分

5.1.1原函数与不定积分5.1.2不定积分的基本积分公式由于积分运算是微分运算的逆运算，所以由导数的基本公式得到相应的不定积分的基本积分公式.为方便起见，现将不定积分的基本积分公式列表如下：

5.1.3不定积分的性质（1）分项积分后，不必在每个积分结果中都“+C”，只需总的加一个常数C即可。（2）为了检验积分结果是否正确，可将积分结果求导，看是否等于被积函数即可。注意5.1.3不定积分的性质【例5-3】求下列不定积分.解5.1.3不定积分的性质5.1.3不定积分的性质（1）分项积分后，不必在每个积分结果中都“+C”，只需总的加一个常数C即可。（2）为了检验积分结果是否正确，可将积分结果求导，看是否等于被积函数即可。注意5.2换元积分法

5.2.1第一类换元积分法

5.2.1第一类换元积分法

注意

5.2.1第一类换元积分法

5.2.2第二类换元积分法【例5-6】求下列不定积分.

解5.2.1第一类换元积分法【例5-7】求下列不定积分.

解5.2.1第一类换元积分法【例5-8】求下列不定积分.

解5.2.1第一类换元积分法【例5-9】求下列不定积分.

解5.2.1第一类换元积分法5.2.1第一类换元积分法【例5-10】求下列不定积分.

解5.2.1第一类换元积分法【例5-10】求下列不定积分.

解5.2.1第一类换元积分法【例5-10】求下列不定积分.

解5.2.1第一类换元积分法

5.2.2第二类换元积分法

5.2.2第二类换元积分法

5.2.2第二类换元积分法

5.2.2第二类换元积分法【例5-14】求解设则于是根据代换x=atant作辅助直角三角形，得5.2.2第二类换元积分法【例5-14】求解又因为，所以其中，5.2.2第二类换元积分法【例5-15】求解设则于是根据代换x=asect作辅助直角三角形，得又因此其中5.2.2第二类换元积分法

5.2.2第二类换元积分法

5.2.2第二类换元积分法在本节的例题中，有几个积分是以后经常会遇到的，所以它们通常也被当作公式使用.5.2.2第二类换元积分法【例5-17】求.

解，利用公式（5），可得到5.2.2第二类换元积分法【例5-18】求.解，利用公式（5），可得到5.2.2第二类换元积分法5.3分部积分法5.3分部积分法

5.3分部积分法

5.3分部积分法【例5-21】求解由于幂函数在“后”,对数函数在“前”,故设u=lnx,dv=x2dx,于是分部积分法运用熟练后,选取u,dv的步骤不必写出.5.3分部积分法【例5-22】求∫arctanxdx.解例5-22说明,如果被积函数中只有一个函数,且不能用基本积分公式直接求出,可以考虑设被积函数为u,此时dv=dx,利用分部积分法求解.5.3分部积分法【例5-23】求∫x2cosxdx.解例5-23说明,有些不定积分用一次分部积分法不能解出来,可以多次使用分部积分法.5.3分部积分法【例5-24】求∫e2xcosxdx.解5.3分部积分法【例5-24】求∫e2xcosxdx.所以于是例5-24说明,有的不定积分不能直接求出,但可以通过使用两次分部积分法得到一个关于不定积分的方程,从而解得不定积分.5.3分部积分法【例5-25】求.解

设于是5.3