（2025秋新版本）人教版八年级数学上册全册教案

第十三章三角形 13.1三角形的概念化数学符号意识.2.能按边的相等关系对三角形进行分类，体会数学中的分类思想.教学重点理解三角形的相关概念，识别等腰三角形和等边三角形.教学难点从几何图形中准确地找出三角形，等腰三角形、等边三角形.设计意图片中的三角形，生活中的三角概念意识.【情境引入】【教学建议】教师出示这些图动二做准备.问题1:什么样的图形叫作三角形呢?与同伴交流你找到的三角形.带着这两个问题，我们一起走进本课时的学习.设计意图片直接给出三角探究点1三角形的概念及其基本要素问题1结合活动一中提出的两个问题，请同学们试着说一说三角形的概念.问题2你认为理解上面的概念要把握哪些要点?相接，问题3下面由线段AB,CD.EF组成的图形符不符合三角形的概念?如不符合，下面这两个图形有什么问题?AF不符合三角形的概念，这两个图形中所给相应线段没有首尾顺次相接.【教学建议】问题2是为了让学生键，教师应让学生自的概念中的必要性.设计意图问题4揭示图形语言与文字语言学生经历从现实基本要素.设计意图以问题的形式引按边进行分类，的概念.问题4结合小学学过的三角形，你能试着填写下面有关三素【教学建议】学阶段已接触过，也容易理解，这里只是结合图形理解它们的意义就行，不要求学生死记硬背教材上的生三角形ABC还可以记作△ACB,△BCA等，字母顺序可以自由【教学建议】角形叠在一起，教学时需关注学生是否能正确区分共边共角的三角形，必要时可以进行图形拆分。【教学建议】角形进行分类，图示三个顶点三个内角(必须用大写字母)角形ABC”,△ABC的三边有时也用a,b,c来表示.如图，顶点A所对的边BC用a表顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.【对应训练】如图，先观察，再回答下列问题；(1)图中有几个三角形?以∠A为内角的三角形有哪些?(2)说出△BCE的三个内角，以及三个顶解：(1)图中有5个三角形，分别是△ABC,△BCD,△BCE,△ABE,△CDE.以∠A为内角的三角形有△ABE,△ABC.(2)△BCE的三个内角是∠BCE,∠BEC,∠CBE.顶点B所对的边为CE,顶点C所对的边为BE,顶点E所对的边为BC.问题1(教材P2探究)我们知道，按照三个内结合下面的图形说一说你的想法，并与同学交流.①②③△顶角△顶角腰底角设计意图是。等边三角形是特殊的等腰三角形，即底【教学建议】边把三角形分为三边都不相等的三角形，等腰三角形，等边三角形，把等腰三角形与等边三角形看成独通过等腰三角形的定义可以知道，等腰三角形是有两条边相等的三角形，它既包括底边和腰不相等的等腰三角形，又包括底边和腰相等的等腰三角形(等边三角形).(三边都不相等的三角形按边分{(底边和腰不相等的等腰三角形【对应训练】1.下列说法正确的是(D)①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；③等腰三角形至少有两条边相等.A.①②③B.②③C.①③2～3.教材P3练习第1.2题.设计意图中识别三角形、例如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD=AD=DC=AC.(1)写出以点C为顶点的三角形；(2)写出以AB为边的三角形；(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形.解：(1)以点C为顶点的三角形是△ABC.△ADC;(2)以AB为边的三角形是△ABC,△ABD;(3)等腰三角形是△ABD,△ADC;等边三角形是△ADC.【对应训练】如图，在△ABC中，BD=DE=EC=AD=AE,AB=AC.(1)写出以AD为边的三角形，写出以∠C为角的三角形.(2)图中的等腰三角形有几个?等边三角形有几个?分别将它们写出，解：(1)以AD为边的三角形有△ABD,△ADE,△ADC,以∠C为角的三角形有△ACE,△ACD,△ABC.(2)图中的等腰三角形有4个，分别为△ABD,△ADE,△ACE,△ABC.等边三角形有1个，为△ADE.【教学建议】相关的三角形时，要按题目限定的要求去找.同时不能有遗漏；另外再次提醒学生，等边三角形也属于等腰三角形，找等腰三角形时不能漏掉等边三角形.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是三角形?你能说一说三角形中的一些基本要素吗?【知识结构】概念及概念及其基本要素边、顶点、角三角形【作业布置】1.教材P4习题13.1第1,2.3,4.5题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.13.1三角形的概念1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形.2.三角形按角分类、按边分类.本节课通过图片的展示、设问探究等活动的开展，有效地激所学的知识，取得了较好的教学效果.在找三角形时，部分学生等边三角形也属于等腰三角形.对于这些问题，在今后教学中还需要提醒学生注意.解题大招解题大招一确定三角形个数的方法(以例1为例)方法1按图形形成的过程数(即重新画一遍图形，按三角形形成的先后顺序数)从图形中的某一条线段开始沿着一定的方向数，如例1中以AB为边的三角形有△AB先固定一个顶点，变换另外两个顶点来数，如本题固定A点，变换另两点构成的边分别有BD,BE.BC,DE,解题大招二判断三角形形状的方法(1)∠A=45°.∠B=65°.∠C=70°;(2)∠C=120°;(3)∠C=90°;(4)AB=BC=4,AC=5.培优计划培优点判断三角形的形状所以a-b=0且b-c=0.4名师教学设计13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边密性.2.了解三角形的稳定性.教学重点三角形的三边关系。教学难点三角形的三边关系的应用。【情境引入】让我们带着这个问题进入今天的学习吧，【教学建议】适当引导学生回忆七年级上册学过的“两点之间，线段最短”的知识，设计意图发学生兴趣，引出课题.设计意图角形的三边关学的说理意识。(教材P5探究)角形的边到点C,有几条线路可以选择?线路1:B→C;线路2:B→A→C.问题3由问题1,2,可说明三角形的边之间有什么关系?能证明你点之间，线段最短”可得同理有这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边.这就是说，三角形两边的差小于第三边.思考(教材P5思考)上面的结论表明了三角形三边之间的关系.于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形?条线段不能组成三角形.【对应训练】教材P7练习第1题。【教学建议】“三角形两边的和大于第三边”可以用来判断三条线段能否组成三角形，要让学生会运用这个结论要检查是否任意两条线段的和都大于第三小的两条线段的和是否大于第三条线段。八年级数学上册5设计意图结合实例使学生了解三角形的稳定性，【情境引入】【教学建议】在生产和生活中是很有用的.在探究这一点时，教师宜在多媒体教具上举出大量应用三角形稳定性的例学生通过实验得出这个性质，能.如输电线支架、索道支架等。如下图.苔苔【对应训练】所运用的几何原理是(C)设计意图巩固刚刚学习的系的同时，让学生运用所学知算的严谨性，明白学习本节知识例(教材P6例题)用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗?为什么?x+2x+2r=18.解得x3.6.所以，三角形三边的长分别为3.6cm.7.2cm.7.2cm.(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要①如果4cm长的边为底边，设腰长为rcm,则4+2x=18.解得x=7.②如果4cm长的边为腰，设底边长为ycm,则2×4+y=18.解得y=10.因为4+4<10.不符合“三角形两边的和大于第三边”,所以不能围成腰长是由以上讨论可知，可以围成底边长是4cn的等腰三角形.【教学建议】本例是为巩固“三角形两边的和大据条件列方程求解，角形两边的和大于第果是否合理.在第(2)小题中要引导学生认真审题，“有一边的以要分情况讨论。八年级数学上册7【对应训练】1.教材P7练习第2题.一个等腰三角形的周长为28cm,其中一边长为8c的长分别是多少?李明的解答过程：设腰长为xcm,则2x+8=28.解得x=另外两边的长均为10cm.张钢的解答过程：设底边长为xcm,则2×8+x=28角形另外两边的长分别为8cm.12cm.不正确，请你写出正确的解答过程。解：李明和张钢两人的解答过程都不正确，正确的解①当腰长为8cm,周长为28cm时，底边长为28-8-8=12(cm).因为8cm,8cm.12cm能够组成三角形，所以另外两边的长分别为8cm和12cm.图为10cm.10cm,8cm能够组成三角形，所以另外两边的长均为10cm.综上可知，另外两边的长分别为8cm,12cm或均为10cm.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练，【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.三角形的三边关系是怎样的?【知识结构】原理两点之间，线段最短三边关系内容三角形两边的差小于第三边Lja-b|<x<a+b(a,b为两边长，x为第三边的长)应用一分类讨论+检查。【作业布置】1.教材P⁹~10习题13.2第1.2.5.6题.13.2与三角形有关的线段13.2.1三角形的边2.三角形的稳定性.误答案.在今后教学中，要进一步加强巩固这方面的知识. 判断三角形的三边关系时，只要满足三条线段中较短的两条线段的和大于第三条线段的条件，或者只要满足最长线段与最短线段的差小于第三条线段的条件就能构成三角形，否则不能构成三角形，例1下列长度的四组线段能组成三角形的是(D)A.1cm.2cm.3.5cm解析：∵1+2=3(cm)<3.5cm,∴不能组成三角形.∵4+5=9(cm),∴不能组成三角形.∵5+8=13(cm)<15cm,∴不能组成三角形。∵6+8=14(cm)>9cm,∴能组成三角形，故选D.二用较短的两条霞段的和与最长的线段做比较已知三角形的两边长分别为a,b,那么第三边长x的取值范围为|a-b|<x<a+b.例2若三角形两边长分别为2.6,则该三角形第三边长a的取值范围是≤a≤8解析：∵三角形两边长分别为2,6.该三角形第三边长为a∴6-2<a<6+2.例3已知三角形的三边长均为正整数，其中两边长为2,4.则第三边的长可以是3(或4或5).(请写出一个符合条件解析：设三角形第三边的长是x,由三角形的三边关系可得4-2<x<4+2,∴2<x<6.∵三角形的三边长均为正整数三角形第三边的长可以是3或4或5.例1已知a,b,c是一个三角形的三条边长，化简la+e-b|—la一b一cl.分析：由三角形两边的和大于第三边，得a+c>b,a<b+c.再由绝对值的性质即可化简|a+c-b|-la-b-cl.解：由三角形的三边关系，得a+c>b,a≤b+c,例2(教材P21复习题T3变式题)已知点P是△ABC内任意一点.(1)如图①.求证；AB+AC>PB+PC;C(2)如图②.连接PA,试比C分析：AB+AD>BDAC于点DAC于点D两式相加[契繁科岳培魏(2)在△ABP,△BCP,△ACP中分别运用三角形的三边关系，再将几个不等关系结合，从而解决问题.(1)证明：如图①,延长BP交AC于点D.根据三角形两边的和大于第三边，得AB+AD>BD,CD+DP>PC,∴AB+AD+CD+DP>BD+PC.(2>解：根据三角形两边的和大于第三边，得PA+PB>AB.PB+PC>BC,PC+PA>AC,八年级数学上册913.2.2三角形的中线、角平分线、高1.理解三角形的中线、角平分线、高等概念.了解三角形的重心的概念.2.会画出任意三角形的中线、角平分线、高，进一步提升学生的几何直观感知能力.教学重点理解三角形的中线、角平分线、高等概念.教学难点1.三角形的中线、角平分线、高的区别.2.探究三角形三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线分别交于一点的过程.【复习引入】我们一起回顾下线段中点、角平分线和垂线的概念；线段中点把一条线段分成相等的两条线段的点角平分线的角的射线，叫作这个角的平分线当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是条直线叫作另一条直线的垂线中是什么样的吗?我们看一下下面这个图.再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C.观察移动过程中形成的无数条线段(AD,AE,AF,AG…)中有没有特殊位置的线段?你认些特殊住置?快让我们一起在本课时的学习中寻找答案吧!【教学建议】代表回答所提出的问操作。让学生得到更过后面的学习可以印设计意图问题1如图，在△ABC中，你能否想一种方法找的中点的位置?可以用直尺量取线段BC的长度，再从线段BC上找一点D,使BD的长度为BC长度的一半，则点D即为边BC的中点，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线.△ABC的中线.反之，∵AD是△ABC的中线，∴问题2用同样方法，你能画出△ABC的另外两条边上的中线吗?问题3分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的【教学建议】学生经过观察、一点，教师直接告知个结论是对的，不需要证明，三角形的中 质外，还平分三角形的面积，以及分割的两个三角形的周长间也存在一定关系，如图所示。三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.这块三角形木板的重心.【对应训练】教材P9练习第2(1)题.设计意图引导学生动手折角形的角平分线的概念，探究各的三条角平分线的情况。【教学建议】教师引导学生动手操作。初学三角形的分”有更深刻的理解，后面画角平分线时既可通过折纸，沿折痕画过量角器作图(在后面深入学习角平分线的图).在学习三角形的角平分线时，概念容易为一该。重合.关系?AD是∠BAC的平分线吗?1=∠2,AD是∠BAC的平分线，ACBCD画△ABC的∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫是△ABC的角平分线.问题3画出△ABC的另外两条角平分线，观察三条角平如图所示，△ABC的三条角平分线相交于一点问题4分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的如图所示，三角形的三条角平分线相交于一点，这一点位于三角形内部。【对应训练】教材P9练习第2(2)题.10名师教学设计设计意图设计意图形的高的理解。反之，∵AD是△ABC的高∴∠BDA=∠CDA=90°.AE问题2图问题3图问题4图直角边BC边上的高是AB;直角边AB边上的高是BC;三角形的中线、角平分线、高图形比较中线【教学建议】的问题逐步深入，可以使学生对三角形的高的各种情形有一个更直观的了解和清晰的认识.尤其角形的尝试，能在角三角形的高也是一哪条边上的高，并注的三条高是没有交点线相交于一点.三角形的角平分线图形几何表示及(1)AM是△ABC中∠BAC的平分线；比较角平分线AM的一个端点是△ABC的点是∠BAC的平分线与边BC的交点的高(1)AD是△ABC的边BC上的高；(2)AD⊥BC于点D;高AD的一个端点顶点，另一个端点是边BC所在直线【对应训练】教材P8练习第1题.设计意图型里综合考查，段的理解.例如图，在直角三角形ABC中，BC边上有E,D,F三点，BD=CD,∠BAE=∠DAE,AF⊥BC,垂足为F.【教学建议】需仔细，不要混淆。活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是三角形的中线?什么是三角形的角平分线?什么是三角形的高?它们各自有何特点?【知识结构】等分边，等分三角形的面积中线三条中线相交于三角形内部一点，这个交点叫作三角形的重心三角形的角平分线三角形的内角被分成两个相等的角三条角平分线相交于三角形内部一点高垂线，90°角三条高或其所在直线相交于一点【作业布置】1.教材P9~10习题13,2第3.4,7,8题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.13.2.2三角形的中线、角平分线、高1.三角形的中线；是线段，有3条，它们相交于三角形内部一点，这一点叫作三角形的重心，2.三角形的角平分线：是线段，有3条，它们相交于三角形内部一点.设计意图让学生体会三角图中标注出这些角，这样容易求出出ZCAB的度数，方内角互补，这是求出的度数，进而可求出例2及后面的问题打如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB.解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.由AD//BE,得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100",在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90.答：从B岛看A.C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A.B两岛的视角∠ACB是90°.如图，过点C作CF//AD,则CF//BE.由CF//AD.得∠ACF=∠CAD=50°.由CF//BE,得∠BCF=∠CBE=40°.所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°.因为∠CAB=∠BAD-∠CAD=80²-50°=30”,DB下所以∠ABC=180°-∠ACB-∠CAB=180°-90°-30°=60°,答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是66°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.【对应训练】教材P13练习第1.2题.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你能证明三角形的内角和等于180°吗?2.用三角形的内角和定理解题的方法掌握了吗?能解【知识结构】辅助线辅助线转化为一个平角或同旁内角互补三角形的内角和等于180°求角度应用【作业布置】1.教材P16～17习题13.3第1,3,7,9题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.13.3三角形的内角与外角13.3.1三角形的内角第1课时三角形的内角和1.三角形的内角和定理的证明.出现不同的方法，这样能让学生充分发挥自己的主动性和创新能力. 教学设计13.3.1第2课时直角三角形的两个锐角互余一般的思想.2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法，发展学生的推理能力.教学重点教学难点应用直角三角形的性质与判定进行计算或推理.【情境引入】们两锐角的度数之和分别是多少?【教学建议】有特殊角度的直角三角形，又是常见的学习用具，据此进行抽象概括，学生能够更直观地了解，再进一步延伸到任意的直角三角形.设计意图结合常见的直角做铺垫.它们两锐角的度数之和都是90;案吧!设计意图系，总结出直角现在我们来探究活动一中的问题：(1)测量角度：在纸上任意画几个直角三角形，用量角器分别测量各个直角三角形两锐角的度数.(2)猜想结论；对于每个直角三角形，将两锐角的度数相加.发现：两锐角的度数之和为90°.4(4)演绎推理：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°.由三角形的内角和定理,得∠A+∠B+∠C=180°.直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直Ch角三角形ABC可以写成Ri△ABC.注意“Rt△”后必须点字母，不能单独使用，如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”.例1(教材P14例3)如图，∠C=∠D=90°,AD,BC相交于点E.比较【教学建议】结合三角形内角和定理的探索步骤，生自主学习.合作交流，由于测量存在误差，两次测量得到的锐角之和附近，故先结果尽可能让学生有-证明，这是-一个完的闭环，注意在掌握性质之后，在直角当简化书写过程，不必再通过三角形内角和定理进行闻述，∠CAE与∠DBE的大小.解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED,CCEABD【对应训练】教材P14练习第1题.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你能利用三角形的内角和定理证明直角三角形的两个锐角互余吗?你能利用这个性质进行直角三【知识结构】直角三角形的性质与判定【作业布置】性质1.教材P¹6～17习题13.3第4,10题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.本节课的学习是建立在三角形的内角和定理基础之上的，所以仿照三角形的内角时，也可考虑采用几何画板演示作图，这样更形象直观.例题与练习都强化了重点知识的学习，突出了数学学习的本质特征. 一点从而得到垂直条件.例1、例2例题可扫描本课时最后的二维码下载获取.例3例题可扫描本课时最后的二维码下载获取.例例题可扫描本课时最后的二维码下载获取.设计意图探究三角形外角的性质，提升推对三角形外角的根据三角形的内角和定理自行证明.都有这种关系.这里介绍两种证明方法：证法1:在上图中∵∠A+∠B+∠ACB=180°.的内角和定理还有另一个推论(三角形的外角大于任何一个与标不傲要求，详见备课素材，教师可根据【教学建议】生掌握三角形外角的性质而设，推得的结论可以为以后学习多边形的外角和做准备.需要注意的是：三角形的外角和是针对每个顶点处只取一个外角而言的，不是所有外角的和，这一点已在之前闻述过，若有学生不明确可在这里再次加以强调.证法2:如图，过点C作CE//AB,一步推理的依据.例1(教材P¹5例4)如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角，解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3,∠CBF=∠1+∠3+∠ACD=所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).由∠1+∠2+∠3=180°,得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.解；由∠BAE+∠1=∠CBF+∠2=∠ACD+∠3=180°,得∠BAE+∠CBF+∠ACD=3×180"-(∠1+∠2+∠3)=540”—180°=三角形的外角和等于360°,三角形的外角和等于360°,【对应训练】2.如图，AB//CD,连接BC,E是BC上一点，∠A=15°,∠A.27°B.42”C.45°D.70°设计意图利用三角形外角的性质求解角度问题，加强学生的延长线于点D,交AB于点F.∠D=32°.求∠AFE的度数.解：∵∠B=45°,∠C=38°,又∠D=32,∴∠AFE=∠DAB十∠D=83*+32°=115.【对应训练】如图，在△ABC中，∠A=35°,∠ABD=35°,∠A∠ACB,求∠BEC的度数.解：∵∠A=35*,∠ABD=33°,∵CE平分∠ACB,∠ACB=80”,【教学建议】以学生自主探究为主，锻炼学生的解题能力，解答此类题的的关键是确定要求的角是哪个三角形的外角，从而梳理已知条件，设法求出相应的两个内角，再求和即可得解，过程中可能会多次用到三角形外角22名师教学设计综合与实践确定匀质薄板的重心位置 1.了解生产、生活中物体重心的概念和意义.2.了解确定简单平面图形和平面组合图形的重心位置的方法，并能将方法用于确定匀质薄板、薄壳的重心位置.3.通过活动过程，提升实践意识、团队合作意识以及统筹能力和表达展示能力.教学重点探索简单平面图形和平面组合图形的重心位置.教学难点探索平面组合图形的重心位置.【情境引入】(教材P23)物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要在工程中，物体重心的位置也有重要的应用……型钢(如下图).你能通过数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的重心吗?接下来，我们一起来探究解决这个问题，【教学建议】带领学生适当回相连的，设计意图设计意图了解平面图形的重心.(1)在物理学中，物体的重心指的是什么?匀质薄板的重心位置与薄板的哪些在某一个点上，这个点叫作物体的重心，匀质薄板的重心位置与薄板的形状有关.(2)用一个支点顶住一个三角形匀质薄板的重心(如图所示),慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置相(3)你能仿照三角形的重心，给一般平面图形的重心下一个定义吗?将平面图形放在一个支撑物上，慢慢移动平面图形，直到它能的支撑点就是平面图形的重心.(1)你能利用物理知识，设计一个发现三角形的重心位置的实验吗?【教学建议】多制作几个不同形状的三角形匀质薄与两部分的重心位置的横坐标xx₂、纵坐标y+y:之间有什么数量关系?例如，能写成“x=()x₁+()x:,y=()y₁+()y:”的形式吗?N(3.3),两个长方形的重心坐标分别为NN(x1)N(za+y)之间的关系为M:(xy).M₂(r₂,ys)之间的关系为.这种关系与前而得到的关系具有一致性.设两个长方形的面积分别为S.S₂.则正方形的面积为S;+S在第一种分割方式中：两个长方形的面积比Sj:S₂=1:2.在第二种分割方式中：两个长方形的面积比S+S₂=1+3.位置.“L”形角钢的横截面“Z”形薄板第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质1.了解全等形的概念，会识别全等形，2.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，了解全等三角变换，培养学生的观察、识图能力，发展学生的几何直观感知能力与空间观教学重点全等三角形的概念和性质，识别全等三角形中的对应边、对应教学难点理解全等三角形边、角之间的对应关系，利用全等三角形的性质进行推理计算，设计意图激发学生兴趣，使学生初步感受全等形.【情境引入】【教学建议】学生自己展示出想到的倒子，使学生感受一步探索做准备，设计意图通过操作平移、翻折、旋转发现图形形状，大小不变，建立与全等的联系，通过练习引导学生学会识别全等三角形中的对应元素形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。叫作全等形.能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.在图①中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF.在图②中，把△ABC沿直线BC翻折180°,得到△DBC.在图③中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE.移、翻折、旋转前后的图形全等.【教学建议】小都没有改变，即平情况下确定全等三角形的对应元素有帮助教师也可通过多媒体教具动态演示过程，而加深理解。厘清“对应边”厘清“对应边”“对应角”与“对边”“对角”等概念的区别。把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.对应的位置上相同(即相似)表示大小相用符号“≌”表示，读作“全等于”如图①,△ABC与△DEF全等.对应顶点点A和点D.点B和点E,点C点A和点D,点B和点B.点CAB和DE,BC和EF.AC和DFAB和DB,BC和BC.AC和DC对应角∠A和∠D.ZABC和∠DBC.∠ACB和∠DCB图示对应角如△ABC≌△DEF,AB和DE图示对应角如△ABC≌△DEF,AB和DE是对应边，∠C和∠F是对应角边，∠B是边AC的对角设计意图叙述全等时的不同含义，“对角”指与某条边相对的角的解题大招里进行整合讲述.个角之间的关系【教学建议】在教学全等三角设计意图注意：(1)对应边、对应角与对边，对角的区别：区别区别△ABC和△DEF全等确定，即两个三角形的顶点、边、角的对应情况不唯一，用“”表示则有△DEF,也可能有△ABC≌△DFE等多种情况，【对应训练】1.请用几何语言表示出本探究点“思考”的图③中的两个全等三角形，并写出它们的对应顶点、对应边和对应角.答：△ABC和△ADE全等，记作△ABC≌△ADE.对应顶点：点A和点A,点B和点D.点C和点E;对应边：AB和AD,BC和DE,AC和AE;对应角：∠BAC和∠DAE,∠B和∠D,∠C和∠E,2.教材P30练习第1题.设计意图引导学生发现全质，并通过炼习使学生学会运用这个性质解题。探究点1的图①中，△ABC≌△DEF,对应边有什么关系?对应角呢?图②、图③中的全等三角形呢?DE,BC=EF,AC=DF.∠A=∠D.∠B=∠E,∠C=∠F,即△ABC与△DEE的对应边相等，对应角相等.图②、图③中的全等三角形也有类似的关系。全等三角形的性质：这个性质可用来证明线段相等、蒲相等.CC中线分别相等，对应的角平分线相等.形全等.例1如图，△ABC≌△BAD,点A和点B,点C和点D是对应顶点，∠B=65°,∠ABC=25°,AC,BD的延长线相交于点E.求∠CBD,∠E的度数.解：∵△ABC≌△BAD,在△AEB中，∠E+∠BAE+∠ABE=180°。【对应训练】教材P30练习第2题.【教学建议】相等、对应相等，可引导学生自行归纳有很强的应用价值视，建议通过适当的练习达到更好的学习效果.设计意图的识别及性质的例2(教材P31习题T4变式题)如图所示的两个三角形是全等三角形，其中点A和点D,点B和点E是对应点.(1)用符号表示两个三角形全等，并写出图中相等的线段和角；(2)写出图中一组平行的线段，并说明理解：(1)△ABC△DEF,相等的线段：AB=DE,BC=EF,AC=DF,AF=DC,相等的角；∠A=∠D,∠B=∠E,∠ACB=∠DEE,∠BCD=∠EFA.(2)(答案不唯一)AB//DE,理由如下：【对应训练】如图，△ABD≌△ACE,写出对应边和对应角，并说明∠1=∠2.解：∵△ABD≌△ACE,∴180°-∠ADB=180°-∠AEC。即∠1=∠2.【教学建议】的性质时，要结合图形或根据三角形全等的记法中字母的对应位置准确地找到对应边或对应角。全等三角形的性质常用来计算边长(或角度),证明线段(或角)相等，有时也会利用角之间的关系证明两直线平行或垂直.30名师教学设计A.两个全等形的对应边相等，对应角相等B.两个全等三角形的周长一定相等C.两个全等形一定关于某条直线翻折后重合D.两个全等三角形的面积一定相等A.72°B.60°C.58°b例4例题可扫描本课时最后的二维码下载获取.A.3B.9例6已知△ABC≌△DEF.AB=5.BC=7,△DEF的周长为18,则DF的长为6例7一个三角形的三条边长分别为6,7.z,另一个三角形的三条边长分别为y,6,4.若这两个三角形全等，则x+y=解题大招三利用全等三角形的性质计算线段长或角度(1)利用全等三角形的性质求线段长度的方法：先利用全等三角形的对应边相等，将已知条件转化，再通过线段的和(差)或中线的定义等求出所要求的线段的长度；(2)利用全等三角形的性质求角的度数的方法：先利用全等三角形的对应角相等，将已知条件转化，再通过三角形内角和定理或外角的性质求出所要求的角的度数.例8例题可扫描本课时最后的二维码下载获取.例9[转化思想]如图，△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=25°,∠EAB=120°,角的和差形的性质则∠DGB的度数是65°.(1)若∠ABE=162°,∠DBC=30°,求∠CBE的度数.(2)若AD=CD=2.5.BC=4,求△CDP与△BEP的周长和.∴△CDP与△BEP的周长和=CD+PD+PC+PB+PE+BE=CD+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5.培优点利用全等三角形的性质判断线段间的位置关系利用全等三角形的性质证明垂直关系的方法：(1)证明两直线垂直可转化为证明它们的夹角为90°或相关三角形的两锐角互余.(2)证明两直线垂直，常常运用全等三角形的性质得到一组等角，再通过三角形外角的性质或平角的定例例题可扫描本课时最后的二维码下载获取.32名师教学设计14.2三角形全等的判定 教学目标14.2第1课时用“SAS”判定三角形全等纳及动手能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力.2,能通过说明三角形全等，来说明线段或角相教学重点“SAS”的探索及运用.教学难点“SAS”的探究过程.【问题引入】我们知道，如果△ABC≌△A'B'℃,那么它们的对应边相等，对应角相等过来，根据全等三角形的定义，如果△ABC与△A'B℃'满足三角分别相等，即AB=A'B′.BC=B'℃’,CA=C′A’,∠A=∠A=∠C’,就能判定△ABC≌△A'B℃(如图),【教学建议】所谓“相关”,如全等三角形的两个对应角相等，则由三角形的内角和定理可知第三个对应角也相等.通过这种相关关系产生疑问，试图从六个条件中选择部分条件进行证明，从而明确设计意图究方向是寻求使三角形全等的简捷条件，从而引入新课.CC类似于平行线的性盾和利定的学习，可以一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，简捷地判定两个三角形全等呢?→提出探究日标寻求判定两个三角形本节我们就来讨论这个问题.金等的简捷方法设计意图个条件证明三角形全等的探究。探究1先任意画一个△ABC.再画一个△A'B℃’,使△ABC与△A'B'℃′满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等》或两个(两【教学建议】生从满足上述六个条件中的一个或两个入手，探究在这样的情形下能否保证两个三一角”只画出一种情况，另一种角是边的对角的情况可让学生自己动手画图探究.【教学建议】如何由已知条件得出两个三角形可完全重方法也是类似的思路.答：画法不唯一，如下所示；一边或一角分别相等：两边，一边一角或两角分别相等：CBBB八年级数学上册33设计意图以“两边一角分设计意图通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A'B'C答：满足上述六个条件中的三个的情况有两边一角分别相等下面我们分情况讨论△ABC与△A'B'℃′是否全等.问题“两边一角分别相等”有几种可能性呢?请举例.答：有两种可能性，如图所示.【教学建议】共边，即AB=AB.【教学建议】判断一个命题是假命题，只要举出一个反边一角分别相等”能否保证两个三角形全等进行总结性描述.两边及其夹角分别相等两边和其中一我们先来探究两边及其夹角分别相等的情况.说，在△A'B'C′与△ABC中，如果∠A′=∠A.A'B′=AB,A℃′=AC,那么△A'B℃'≌△ABC.这如图，由∠A′=∠A可知。如果使点A'与点A重合，并且使射线A'B'与射线AB重合，那么射线A℃′与射线AC重合.再由A'B′=AB,AC′=AC,可知点B'.C'分别与点B,C重合，这样，△A'B'C的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B'C”与△ABC能够完全重合，因而△A'B℃'由探究2可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全“边角边”或“SAS”)图示BB符号语言如图，在△ABC和△A'BC′中，在等号的同一侧，并用大括号括起来.因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明线段相等或角相等可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解思考我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别个三角形全等。如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别△ABD显然不全等，这说明，两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.定方法的掌握，设计意图形不一定全等。“SSA”不可作为判定三角形全等的依据。全等，其中只有“SAS”能作为判定三角形全等的依据.【对应训练】教材P34练习第1,2题.设计意图综合考查利用掌握程度.CE例2如图，AC=DC,E为AB上一CE(1)求证：△ABC≌△DEC;(2)已知∠CEB=∠B=75°,求∠3的度数.(1)证明：∵∠I=∠2,∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE,在△ABC和△DEC中，(2)解：∵△ABC≌△DEC∴∠B=∠DEC=75.【对应训练】如图，在四边形ABCD中，BC=CD,AB=EC,∠B=∠DCE=90°,AC与【教学建议】等时，所需三个条件可能不会全部直接给出，有时需要根据已知去推得，有时需要发掘隐藏条件(如公共边、公共角、对顶角等),还可能需多次证全等来获得(不多见)分别相等时要想到找两边的夹角((注意不是任意一个角),看到一角及角的一夹边分别相等时要想到找角的另一夹边(注意不是角的对边)。DE相交于点F.(1)求证：△ABC≌△ECD;(2)判断AC与DE的数量关系与位置关系，并说明理(1)证明；在△ABC和△ECD中，(2)解：AC=DE,AC⊥DE.理由如下：∴△DCF是直角三角形，∠CFD=90°,∴AC⊥DE.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.用一个条件能证明两个三角形全等吗?两个条件呢?2.什么是“SAS”?你能用“SAS”【知识结构】由已知条件说明两个三角形可以完全重合 判定两个三角1.已知两边，必须找“夹角”【作业布置】1.教材P43～46习题14.2第1.2.3.14题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.三角形全等“边角边”的判定方法(或“SAS”应用内容14.2三角形全等的判定1.基本事实：两边和它们的臭角分别相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”).2.实际应用：用“SAS”判定三角形全等.不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验，学生掌握了全等三运用，就能为以后学习特殊四边形、圆等知识打下良好的基础.备课素材解题大招解题大招一用“SAS”判定三角形全等的实际应用解题大招二利用“SAS”证三角形全等的“手拉手”模型口诀—“双等腰，共顶点，顶角相等，旋转培优计划培优点用“SAS”判定三角形全等解决动点问题36名师教学设计设计意图设计意图由探究可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：两角和它们的央边分别相等的两个三角形全等角”或“ASA”)图示符号语言如图，在△ABC和△DEF中，一书写顺序是“角→边→角”。例1(教材P35例2)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=【教学建议】公共角∠A.因为它既是△ACD的角，又是△ABE的角。这说明时，公共角和公共边使用。【教学建议】这里是用“ASA”这可以利用三角形的过程可使学生了解到实，而是定理.教师注意跟学生强调这两种判定方法之间的区别，AE.由题意可知，△ACD和△ABE具备“角边角”的条件.证明：在△ACD和△ABE中。公共角)。【对应训练】1.请解答“活动一”中的问题.形”的实际模型，也是“ASA”的原理，所以带③去合适.2.教材P36练习第2题.探究点2用“AAS”判定三角形全等事实，就可以判定这两个三角形全等.如图，在△ABC和△A'B'℃中，∠A=∠A',∠B=∠B照上述思路证明△ABC△A'B℃.证明；在△ABC中，∠A+∠B+∠C=同理，∠C′=180°-ZA'-∠B',在△ABC和△A'B℃中，图示符号语言写成“角角边”或“AAS”)如图，在△ABC和△DEF中，按“角→角→边”的顺序来写：“S”的意义书写格式联系把夹边相等写在两角ASA“S”是两角的夹边相等的中间由三角形的内角和等AAS“S”是其中一角的对边把两角相等写在一起，由“ASA”推导得出由“ASA”和“AAS”可知，如果两个三角形有两角和一边对应相等，那么这两个三角形全等.其中一定要强调“对应”关系，例如：如图，在△ADE与△ABC中，∠A=∠A,∠ADE=∠ABC,AD=BC,但△ADE与△ABC不全等.【对应训练】教材P36练习第1题.设计意图判定方法—一例2如图.D是△ABC的边AB上一点，CF//AB,DF交AC于点E,D=EF.(1)求证：△ADE≌△CFE;(2)若AB=8,CF=6,求BD的长.【教学建议】“AAS”判定三角形全等时，注意要将判定方法描述正确，不要 角及其夹边，先确定是不是这种情况，否(1)证明：∵CF//AB.∴∠ADE=∠F,∠A=∠ECF.在△ADE和△CFE中，(2)解；由(1)可知△ADE≌△CFE∴AD=CF=6.∵AB=8.∴BD=AB—AD=8—6=2,即BD的长是2.【对应训练】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E,BE,CF,且BE//CF.(1)求证：△BDE≌△CDF;(2)若AE=13,AF=7,试求DE的长.(1)证明：∵AD是BC边上的中线∴BD=CD.在△BDE和△CDF中。(2)解：∵AE=13,AF=7.∴EF=AE一AF=13-7=6.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是“ASA”?我们是怎样得出这个判定方法的?【知识结构】两角和它们的夹边分别相等的两角和它们的夹边分别相等的由已知条件说明两个三角形可以完全重合→两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等利用“ASA”证明，是“ASA”的推论【作业布置】1.教材P43~46习题14.2第4.5,6.15,16,17题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.为证明线段相等或角相“角边角”“角角边”中两角与边的区别“角边角”或“ASA”“角角边”或“AAS”内容证明内容的判定方法三角形全等应用1.基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”).2.定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”)。3.实际应用：用“ASA”或“AAS”判定三角形全等.初学时学生对于“AAS”和“ASA”的选择可能会混淆，需要讲清楚分辨方法，并备课素材解题大招的答案均可.开放性问题有利于发散学生思维及提高创新能力.下面是证明全等三角形的一些常见思路总结，可作为解题时的一些参考.已知对应相等的两元素易错提示两角“ASA”或“AAS”不能找第三个角“SAS”或"SSS"(即三边相等，后面会学到)不要误用“SSA”另一个角“AAS”“AAS”或“ASA”或“SAS”不要误用“SSA”第3课时用“SSS”判定三角形全等 教学目标14.2第3课时用“SSS”判定三角形全等力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力.2.能用尺规作图：已知三边作三角形；培养学生分析与作图能力.教学重点“SSS”的探索与运用，尺规作图.教学难点用“SSS”判定三角形全等的探究过程.【情境引入】我们在前面曾经做过一个实验：将三根木条用钉子钉成一个让我们在这节课的学习中寻找答案吧.【教学建议】印象，获得更好的教设计意图定性引入新课，激发学生的学习设计意图全等的条件——体会用它说明三角形的稳定性.等、两角一边分别相等、三边分别相等、三角分别相等.经过前面几个课时的学习后，目前我们还剩下三边分别相等，三角分别相等的情况没探讨这两种情况.下而先探讨三边相等的情况.的形状、大小也就确定了，也就是说，在△A'B'C′与△ABC中，如果A'B′=AB,B'C′=BC.C′A'=CA,那点C′落在直线AB的含有点C的一侧由于点C是以点A为圈心、AC为半径的圆和以点B为圆心、BC为的褐和以点B'为围心、B℃′为半径的圆的交点，所以由AC′=AC,B'C′=BC可知点C与点C重合，这样，△A'B′℃'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重△A'B℃与△ABC能够完全重合，因而△A'B℃'≌△ABC.由探究可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等；三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)图示【教学建议】生讲解点C与点C确定的原理.通过画圆，再寻找两个圆的交点，这是确定一点到已知长度的常用方法.由三角形各顶点确定的过程可知，由已知条件可推出两个三角形完全重合，故两个符号语言利用这个基本事实，可以说明我们曾经做过的实验结果；将三根木条钉成一个上述分析过程也告诉我们：已知三角形的三边，可以利用直尺和圆规作一个三【教学建议】可指定学生上台演示，再根据具体情况说明作图时需注意的关键点.【教学建议】发学生自行探究，教难发现这种情形举出反例说明较容易，最后可让学生代表对三角形全等的方法做-的地方加达能力，体会数学推设计意图设计意图的最后一种惰总结.角形.思考三角分别相等的两个三角形全等吗?解答这个问题同，它们不全等，方法“SSA”“AAA”【对应训练】设计意图例2如图，AF=DC,EF=BC.AB=DE,求证：△ABC≌△DEF.证明：∵AF=DC∴AF+FC=DC+FC,即AC=DF.在△ABC和△DEF中，【对应训练】如图，△BEG与△CDF有一条边在一条直线上，BD=DF,GE⊥BC,求证GE//FD.证明：∵BD=CE,∴BD+DE=CE+DE,即BE=CD.在△BEG和△CDF中，【教学建议】件需通过推理得到.常遇到的由已知推出全中点的定义或线段的角相等.活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是“SSS”?你能用“SSS”判定两个三角形全等吗?【知识结构】内容内容的判定方法“的判定方法“边边边”(或“SSS”)【作业布置】1.教材P43～46习题14.2第7.8.13.18题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.1.基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(“边边边”或“SSS”).3.三角形全等的判定方法总结.通过本节课的学习，用三个条件判定三角形全等的方法已经全部得形全等时，部分学生对用圆弧交点确定第三个点的方式表现深学生对这一方法的理解，总的来说，学生已经学完了判定三角形全等的主要方法，但活运用，还需要在今后的学习中通过不断练习加以巩固.①根据中点(或中线)的定义得相等线段；②公共边相等；③等长线段加(或减)等长线段，其和(或差)角形的对应边相等.例1例题可扫描本课时最后的二维码下载获取.行，同旁内角互补十一对等角”等解决问题.而利用全等三角形的性质得到一对等角今后将是一种常用方法.例2例题可扫描本课时最后的二维码下载获取.学习全等三角形时，经常会遇到判定和性质综合在一起考查，而利用性质去得到等会需要作辅助线解题.例3、例4例题可扫描本课时最后的二维码下载获取.例例题可扫描本课时最后的二维码下载获取.设计意图已知角为基础，识的综合运用【教学建议】析后，先让学生自己到的问题和困难，给出正确作图过程，以内容图形①如图①,已知∠AOB,求作∠AO'B',使∠AO'B′=∠AOB.①作法；作一个角等于已知角的理论依据是SSS.(1)如图①,以点O为圆心，任意长为丰径作弧，分别交OA.OB于点C.D;交O'A'于点C;(3)以点C′为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D';(4)过点D'作射线O'B’,则∠A'O'B′=∠AOB.尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图.【对应训练】如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB,所画痕迹弧MN是(D)(教材P40例4)如图.已知直线AB及直线AB外一点C,利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD.分析提问：(1)我们学过的判定两直线平行的方法有哪些?行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.可以利用“同位角相等，两直线平行”来尝试作图，(答案不唯一)请你按照上面的分析，完成作图.作法；如图，动直线平行”作图作法；如图，(1)过点C作一条直线，与直线AB相交于点E;(2)在点C处作∠CEB的同位角∠FCD,使∠FCD=∠CEB;(3)反向延长CD,得直线CD,则直线CD//AB.【对应训练】教材P41练习第1题.设计意图求作出三角形，(教材P40例5)如图，已知线段a,b和∠a,求作△ABC,使AB=a,AC=b,【教学建议】醒学生注意，各字母的标注要与题目要求对应.请你完成作图.作法：如图.请你完成作图.作法：如图.(1)作∠DAE=∠a;(2)在射线AD上作AB=a,在射线AE上作AC=b;(3)连接BC,则△ABC就是所求作的三角呢?请完成对应训练.【对应训练】教材P41练习第2题.活动三：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练“册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.作一个角等于已知角的依据是什么?具体步骤是怎样的?3.已知两边及其夹角如何作三角形?已知两角及其夹边呢?【知识结构】作一个角等于已知作一个角等于已知角依据：SSS.过直线外一点作这条直线的平行线依据：“同位角相等两直线 已知两边及其夹角作三角形，已知两角及其夹边作三角形尺规作图【作业布置】1.教材P43～46习题14.2第9.10题.习进行巩固.今后仍需对学生的尺规作图问题保持较高关注. 解题大招一识别作图痕迹的含义尺规作图中，圆弧上的点到圆心的距离为圆的半径，代表了一定长度的线段.根据作图痕迹，找出弧线背后隐含的各种再以点E为圆心，以EF长为半径作弧，交弧①于点D,画射线OD.若∠AOB=28°,则∠BOD的度数为(C)A.34°B.62°C.56°例2已知△ABC,由尺规作图痕迹可知△ABC≌△ABD,判定这两个三角形全等的理由为(D)A.SSSB.SASC.A∴判定这两个三角形全等的理由为ASA.故选D.解题大招二根据题意按要求完成尺规作图求作：点E,使DE//BC,DE=DB.(找到满足条件的一个点E即可)培优点尺规作图与计算和证明4E4E(1)仅用圆规作一条弧线，在线段AD上(2)根据你的作图.说明CF//BE的理由；(3)在(1)的条件下，若△ACF的面积为8,△ABE的面积为20,求△CFD的面积.(2)在作图中，DF=DE.∵AD为△ABC的边BC上的中线∴BD=CD.在△BDE和△CDF中48名师教学设计教学设计14.2第5课时用“HL”判定直角三角形全等观感知能力与推理能力.2.能运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等.教学重点探索并掌握“斜边、直角边”定理.教学难点“斜边、直角边”定理的探索过程，选用适当的方法判定直角三角形全等.设计意图铺垫.【复习引入】答：两个，(其中∠C=∠F=90°)是否全等?若全等，在()里填写理由；若不全等，在()里打“×”:【教学建议】生思考，在讨论直角三角形全等时，由于已经具备直角相等的根据具体问题通逐条列举条件，复习之前学定方法.归总条件后发确定是否能证明两个答：AB=DE,AC=DF或AB=DE,BC=EF.设计意图的判定条件一CC探究如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C′=∠C=90°,A'B'=AAN合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那线CB重合.再由B℃=BC,可知点B'与点B重合。MM【教学建议】到说理的完备性与严八年级数学上册49是钝角.若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M.则有AB>BM>BM.设点N在线段CA的延长线上，连接BN,同理可得BN>AB.因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由上，A'B'=AB,可知点A'与点A重合。这样，△A'B℃的三个顶点分别重合，△A'BC与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C△ABC.一般地，有如下判定直角三角形全等的方法：边、直角边”或“HL”)图示如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中.符号语言序不要混淆，先写斜边再写直角边.上"Rt".直角三角形是特殊的三角形。具备一般三角形所没有的特殊性质例1例题见教材P42例6.【对应训练】教材P43练习第1,2题.在今后的学习中【教学建议】(2)特殊三角形续深入学习.设计意图总结“HL”,并说明该判定方法与一般三角形判定方法的活动三：综合训设计意图角形全等的判定等三角形的性例2如图，AD,AF分别是两个钝角三角形ABC和ABE的高，AD=AF,AC=AE.求证：BC=BE,证明：由题意知△ADC与△AFE均为直角三角形.在Rt△ADC和Rt△AFE中，在Ri△ABD和Rt△ABF中。∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)∴BD=BF.∴BD—CD=BF-EF,即BC=BE.【对应训练】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°,BE于点F.CF=AE.BC=DA.求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.【教学建议】自主完成解题，教师意例题与对应训练中全等的先后顺序可以互换，而对应训练中第一次证全等的目的是利用全等三角形的收集条件.证明：在Rt△ADC和Rt△CBA中.在Ri△ABE和Rt△CDF中，50名师教学设计14.3角的平分线 14.3第1课时角的平分线的性质1.能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析及作图能力，能运用这个定理解决相关问题，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的推理能力，教学重点尺规作图：作一个角的平分线.探索并证明角的平分线的性质定理及应用.教学难点角的平分线的性质定理的探索过程.【复习引入】问题1:想一想，我们学过的角的平分线的概念是什么?【教学建议】前面几节课的内容，新课的内容.设计意图的概念及作法，线，叫作这个角的平分线前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通证明线段相等或角相等，本节利用这个方法研究角的平分线，研点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上.设计意图段的数量关系，准备.平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.的关系.殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN?在图中可以发现，在△OPM和△OPN中，OP=OP,∠POM=∠PONOM=ON.那么△OPM≌△OPN(SAS),就有PM=PN.点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN.连接OP,可以证明△OPM≌△OPN(SSS),所以∠POM=∠PON,即点P在∠AOB的平分线上.【教学建议】角形全等的性质得到后面用尺规作角的平分线的依据，54名师教学设计设计意图证明：∵OC是∠AOB的平分线∴∠AOC=∠BOC.【教学建议】这里在完成证明证明一个几何命题的示范，在据，可以也可以是DOECB行，即命题中的题设部分1.明确命题中的已知和求证；命题中的结论部分2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；角的平分线的性质总结：文字语言符号语言如图，∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点图示等采说明。(1)角的平分线的性质是证明两条线段相等的依据。于角的两边的线段”,而不是“垂直于角的平分线的线段的长度都相等【对应训练】教材P50练习第1,2题.设计意图能力.例如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E,若△为70,AB=16,DE=5,求BC的长，解：如图，过点D作DF⊥BC于点F,4∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB.DF⊥BC.E【对应训练】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC,垂足为E,AF是△ABC的中AB=16.AC=8,DE=5.求△ADF的面积.解：如图，过点D作DM⊥AB,垂足为M.∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC.DM⊥AB,∴DM=DE=5,【教学建议】角平分线的性质定理可以得到垂线段相等，所以角平分线跟三角形的面积结合时，往往能分割出等目，当题是否可和用角的平有时候也需要添加辅两边作垂线段.∴Se=SA+Sc=40+20=60.∵AF是△ABC的中线。活动四：随堂训【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题；1.什么是角的平分线?你能用尺规作一个角的平分线吗?2.角的平分线的性质是什么?你能证明吗?你能运用角【知识结构】【作业布置】一个点：角的平分线上的点；二距离：点到证明方法；利用三角归纳出证明几何形全等进行证明今命题的一般步骤辅助线 添加→角的平分线尺规作图1.教材P52~53习题14.3第1,4,5,6.7题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.14.3角的平分线第1课时角的平分线的性质1.尺规作图：作己知角的平分线.2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3.证明几何命题的一般步象，本节课采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的.教学中需要注意：学生对定理的图形语言认识不足出现混淆，如把角的平分线上的点到角两边的距离，错当成过此点与角的平分线垂直(或相交)的直线与角两边相交所得的线段的长.痕迹去判断作图目的.例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,用尺规作图法作出射线AE,AE交BC于点D,CD=5.P为AB上一动点，则DP的最小值为5,小，∵AE是∠CAB的平分线，DP⊥AB.∠C=90°,∴DP=CD=5.故DP的最小值为5.1.根据命题的题设结合图形写出已知，根据命题的结论结合图形写出求证.2.为了便于分清命题中的已知和求证