2026-2027学年福建省福州市福州第一中学高三上学期第一次质量检测数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据6，7，8，4，5，12的中位数为（）A.5.5 B.6 C.6.5 D.72.设，，则（）A. B. C. D.3.已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.44.曲线在A点处的切线与直线垂直，则切线方程为（）A. B.C. D.5.已知椭圆，M为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点P的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线6.已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（）A.1 B. C. D.27.已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（）A.13 B.14 C.15 D.168.已知函数的最小值为0，则a的值为（）A. B.0 C. D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数（其中为虚数单位），则（）A.的虚部为 B.C. D.10.如图，在正方体中，动点在线段上，则（）A.直线与所成的角大于50°B.对任意的点，都有平面C.存在点，使得平面平面D.不存在点，使得平面平面11.在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（）A.若，则与轴公共点坐标为和B.若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为C.内的点到轴距离的最大值为D.与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.双曲线的离心率为____．13.已知函数的一条对称轴为，且对任意，都有，则___________；若对于任意的，，都有成立，则实数的最大值是___________．14.设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.福州一中学生联合会试卖一款文创纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：1212.51313.51414131198（1）已知两个变量线性相关，请建立关于的经验回归方程；（2）若希望把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为多少？（保留整数）参考公式：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，．16.设的内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，且，求的面积．17.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间和最值．（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．18.如图1，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．当时，．（1）求抛物线的方程；（2）如图2，把沿翻折得，使得二面角的大小为．（ⅰ）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（ⅱ）当变化时，三棱锥的体积是否为定值；若是，求出这个值；若不是，说明理由．19.若数列（，，）满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合．（1）若是16项数列，当且仅当时，，求数列的所有项的和；（2）已知且，数列，，记随机变量．（ⅰ）当时，求随机变量的分布列及期望；（ⅱ）若，是两个不同的数列；求证：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据6，7，8，4，5，12的中位数为（）A.5.5 B.6 C.6.5 D.7答案：C解析：解答过程：将样本数据按从小到大的顺序排列，得，共计6个数，所以中位数为.2.设，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用三角函数的诱导公式计算集合的元素，再根据交集的定义进行求解.解答过程：根据三角函数的诱导公式可得：，，

，因此集合，根据交集的定义可得：.3.已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：解答过程：若与共线，则存在唯一实数，使，即，所以，解得.4.曲线在A点处的切线与直线垂直，则切线方程为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用垂直计算出切线斜率，再用斜率算切点坐标.解答过程：已知曲线切线与垂直，所以，即，又因为，令，解得，所以切点坐标为，所以切线方程为，即.5.已知椭圆，M为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点P的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线答案：B解析：思路：结合中位线定理以及椭圆定义即可判断.解答过程：设椭圆的右焦点为，由题意，知，，又，所以，故由椭圆的定义，可知点P的轨迹是椭圆.故选：B.6.已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为（）A.1 B. C. D.2答案：D解析：思路：先求出外接球的半径，然后设正四面体的边长为，然后求出四面体的高，进行计算即可．解答过程：解：正四面体的外接球表面积为，，解得（负值舍去），设四面体的棱长为，取的中点，连接，设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接，则，，则，所以，在直角中，，即，即，得，得（舍或.故选：D7.已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（）A.13 B.14 C.15 D.16答案：C解析：思路：先得到，设等差数列的公差分别为，利用和得到方程组，求出，进而表达出为整数，设，求出，由求出的取值范围，从而得到答案.解答过程：由题意得，设等差数列的公差分别为，，，故，故，又，故，即，，又，，即，联立，化简得，解得又是整数，即是整数，设，故，即，解得，令，解得，且，当时，满足要求，当时，不合要求，当时，不合要求，当时，不合要求，当时，不合要求，综上，的值为15.8.已知函数的最小值为0，则a的值为（）A. B.0 C. D.1答案：C解析：思路：对求导，进而研究的单调性，得，使，根据的最小值为0得，联立方程求出，即可求参数值.解答过程：函数的定义域为，且，令，则，由得，所以，即在上单调递增，又时，，时，，所以，使，即，且当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.由，消去得.令函数，则，所以在上是增函数，注意到，所以，所以，解得.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数（其中为虚数单位），则（）A.的虚部为 B.C. D.答案：BD解析：解答过程：已知，所以其共轭复数为，模，，对于，的虚部为，不含虚数单位，错；对于，，对；对于，，错；对于，代入，原式，进行分母有理化得：，对.10.如图，在正方体中，动点在线段上，则（）A.直线与所成的角大于50°B.对任意的点，都有平面C.存在点，使得平面平面D.不存在点，使得平面平面答案：BCD解析：思路：A选项，根据线线平行，找到直线与BC所成的角，根据正方体的性质求出其度数；B选项，证明出平面，得到结论；C选项，当E在处时，平面平面；D选项，找到平面与平面所成的夹角，结合圆的知识点，推导出.解答过程：因为，所以即为直线与BC所成的角，，故A项错误；因为平面，平面，所以，又因为，所以平面，故平面，故B项正确；当点在处时，平面平面，所以存在点，使得平面平面，故C项正确；如图，过点作，则为平面与平面的交线，在正方体中，平面，所以平面，所以，，所以即为平面与平面所成的夹角，因为点一定在以为直径的圆外，所以，所以不存在点，使得平面平面，故D项正确.故选：BCD11.在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（）A.若，则与轴公共点坐标为和B.若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为C.内的点到轴距离的最大值为D.与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为答案：ACD解析：思路：A选项利用直径的性质进行计算；B选项设，用表示，再利用三角函数求最值即可，C选项，将用表示，再利用二次函数即可求出最大值；D选项利用点到直线的距离即可求解.解答过程：对于A选项，设与轴交于、，连接，，因为为的直径，所以轴，由题意可知，所以，所以，则，所以公共点的坐标为和，故A正确；对于B选项，如图：连接并延长交于，由垂径定理：，就是上到原点距离最远的点，下面我们求的最大值：设，则，因为，则，当时，取得最大值，即该圆的半径最小为，面积最小值为，故B错误；对于C选项，如图：过作轴于，另交于，过作轴于，因为，所以，所以，则，所以，令，则，所以，即内的点到轴距离的最大值为，故C正确；对于D选项，如图：设与轴交于点（图中为上方的点），则，反面想，对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点，当离轴最远时，与有且仅有一个公共点．设，则，，原点到的距离：，解得，故与轴的公共部分上的点到轴距离的最大值为，即与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为，故D正确．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.双曲线的离心率为____．答案：解析：解答过程：将方程变形为，对比双曲线标准方程，可得，，则，根据双曲线离心率公式，可得．13.已知函数的一条对称轴为，且对任意，都有，则___________；若对于任意的，，都有成立，则实数的最大值是___________．答案：①.##②.##解析：思路：先由判断出函数的一个对称中心，再结合余弦型函数的对称轴与对称中心的水平距离公式，求出与函数周期的关系，结合，求得的值，然后利用余弦型函数的对称轴性质，，求得值；对于任意的，，都有成立，可转化为，对代入后得到的进行分类讨论，可求得其范围，从而确定的最大值．解答过程：已知对任意，都有，则函数的图象关于点，即点对称．又有函数的一条对称轴为，则其与对称中心的水平距离为．因为余弦型函数的对称轴与对称中心的水平距离为，其中为函数周期，,所以，化简可得．又因为，所以，，则．由余弦型函数的对称轴性质，可得，即．因为，所以仅取，时，满足题意．故函数；对于任意的，，都有成立，等价于，其中和分别为在上的最小值和最大值．已知，令，可得，则当时，．对于余弦函数，当时，函数的最小值为，最大值为，满足题意；当，时，函数的最小值为，最大值小于，满足题意；又有，则当时，函数的最小值为，最大值为，满足题意；当，时，函数的最小值为，最大值为，满足题意；当，时，函数的最小值小于，最大值为，不满足题意．综上可得，，解，可得，故实数的最大值是．14.设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______．答案：解析：思路：根据题目意思，将连续三项作为一个组块，然后根据分析某连续项的起点项，来进行分类讨论列出方程组求解.解答过程：由题知，令为数列的前项和，记，当时，，当时，，则，令连续三项作为一个组块，设这连续项为，若这项正好为连续的三个组块，则，可得，矛盾，无解；若这项中只有两个完整的组块，当这项下标为，则，相减可得，当这项下标为，则，两式相减得，所以，所以当时，最小，且为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.福州一中学生联合会试卖一款文创纪念品，现统计了该款纪念品的定价（单位：元）与销量（单位：百件）的对应数据，如下表所示：1212.51313.51414131198（1）已知两个变量线性相关，请建立关于的经验回归方程；（2）若希望把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为多少？（保留整数）参考公式：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，．答案：（1）（2）10元解析：思路：（1）用最小二乘法公式求出回归系数，得到线性回归方程；（2）将销量代入回归方程，求出定价的预测值.（1）由题可知：，；计算得，，所以，，所以关于的经验回归方程为．（2）当时，．所以若把销量提升到2000件左右，则该纪念品的定价应为10元16.设的内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，且，求的面积．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形的内角和公式，可求得角；（2）首先明确点的位置，求出中线的长，利用向量法表示的长，结合余弦定理，可求得的值，再利用三角形的面积公式求面积即可.（1）由正弦定理：，可得，又，所以，即，所以，所以，得，因为为三角形内角，所以，所以，得．又，所以．（2）如图：因为，所以为的重心．延长交于点，则为中点．因为，所以．因为，所以，所以，即，①在中，由余弦定理得：，又，，所以，②由①②得：．所以．17.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间和最值．（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．答案：（1）的单调递增区间，的单调递减区间；的最大值为，无最小值．（2）解析：思路：（1）先求导得出，再根据正负确定单调区间，进而求出最值.（2）分和讨论，时再根据正负细分情况，结合函数单调性和零点存在定理确定范围.（1）由题意可得：的定义域为，当时，，，令，，解得，，当时，，，所以，当时，，，，所以的单调增区间，的单调减区间，即在处取得最大值，，无最小值．（2），，若，当时，，，所以，在上无零点，舍去，若，则，令，则，则在上单调递减，且，①若，即，此时，，在上单调递减，又因为，所以，不合题意，舍去，②若，即，此时，则存在，使得，即，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，，令，解得，因为，且，所以存在唯一的，使得，满足条件，综上所述，实数的取值范围为．18.如图1，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点（点在第一象限）．当时，．（1）求抛物线的方程；（2）如图2，把沿翻折得，使得二面角的大小为．（ⅰ）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（ⅱ）当变化时，三棱锥的体积是否为定值；若是，求出这个值；若不是，说明理由．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）是，．解析：思路：（1）先根据倾斜角得出点的坐标，再应用两点间距离求出，即可得方程；（2）（ⅰ）联立方程得出点的坐标，再应用空间向量法计算线面角正弦即可；（ⅱ）应用三棱锥体积公式结合三角形面积公式计算求解.（1）设，则；当时，设的方程为，联立方程，消去y得：，则，可得，解得，所以抛物线的方程为．（2）（ⅰ）在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为，联立方程，消去y得：，解得或，所以点，的坐标分别为，．过点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，当二面角的大小为时，点，即；可得，，，设面的法向量为，则，令，则，可得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；（ⅱ）由题意得，当时，，此时；