2026-2027学年云南省玉溪市澄江市第一中学高二上学期开学考数学试卷（含解析）

/数学分值：150分；考试一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知向量，若，则（

）A. B.80 C. D.3.已知，下列不等式不成立的是（）A. B.C. D.4.若为钝角，，则（）A. B. C. D.5.某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（）A. B. C. D.6.一个圆锥的底面积为，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A.15 B. C.30 D.7.设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（

）．A.6 B. C.12 D.8.已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（）A. B. C.0 D.1二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则（）A.B.C.在复平面内对应的点在第二象限D.是纯虚数10.已知随机事件、发生的概率分别为，，则（）A.若与互斥，则B.若与相互独立，则C.若，则D.若，则事件与相互独立11.如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与直线所成角为90°B.C.直线平面D.三棱锥的体积为1三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________．13.数据1，2，3，5，5，6，10，9，8，7的60%分位数是___________．14.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为___________.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知向量，且与的夹角为．（1）求的值；（2）求的值；（3）若与垂直，求的值．16.随着海南自由贸易港建设的蓬勃发展，某旅游网站为了解游客对“三亚一日游”的满意度，现统计参与调查的游客年龄层次，将这200人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为，，，，，并得到频率分布直方图如下：（1）求实数的值；（2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）估计这200人年龄的第75百分位数.17.在中，角，，的对边分别为，，．已知．（1）求角；（2）若，，求．18.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．（1）求棱锥的体积：（2）求证：平面．19.已知函数的最小正周期为.（1）求及；（2）求的单调区间.

数学分值：150分；考试一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以.2.已知向量，若，则（

）A. B.80 C. D.答案：A解析：解答过程：∵向量，，且，∴，解得.∴，.3.已知，下列不等式不成立的是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：∵，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，∴，不等式两边加同一个常数，不等号方向不变，∴，因此A错误；∵不等式两边减同一个常数，不等号方向不变，∴，因此B正确；∵不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，∴，因此C正确；不等式两边减，得，因此D正确．4.若为钝角，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题设，则.5.某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意知：，由，，恰好击中2次的概率为．6.一个圆锥的底面积为，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A.15 B. C.30 D.答案：B解析：思路：利用圆锥的底面积算出底面半径，再利用侧面积公式即可.解答过程：由底面积为，得底面半径，又母线长，则圆锥的侧面积为.7.设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（

）．A.6 B. C.12 D.答案：B解析：思路：先求出角的正弦值，然后利用三角形的面积公式求解即可.解答过程：由已知可得，且所以，.所以，.8.已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（）A. B. C.0 D.1答案：D解析：解答过程：函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知复数，则（）A.B.C.在复平面内对应的点在第二象限D.是纯虚数答案：ABD解析：解答过程：A选项，，A正确；B选项，，B正确；C选项，，故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，C错误；D选项，，为纯虚数，D正确.10.已知随机事件、发生的概率分别为，，则（）A.若与互斥，则B.若与相互独立，则C.若，则D.若，则事件与相互独立答案：ABD解析：思路：根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D.解答过程：对于A项，因为与互斥，所以，故A正确；对于B项，因为与相互独立，所以，所以，.故B正确；对于C项，因为，所以，.故C错误；对于D项，由，可得，所以，，所以，事件与相互独立.故D正确.故选：ABD.11.如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与直线所成角为90°B.C.直线平面D.三棱锥的体积为1答案：AC解析：解答过程：A：由正方体的性质可知：平面，因为平面，所以，因此直线与直线所成角为90°，所以本选项结论正确；B：由正方体性质可知：，所以有，因为，所以不成立，因此本选项结论不正确；C：连接，由正方体的性质可得：，，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以直线平面，故本选项结论正确；D：由正方体的性质可得：平面三棱锥的体积为，故本选项结论不正确；三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________．答案：解析：解答过程：因为且，，则时，，函数（，且）的图象恒过定点.所以点P的坐标为.13.数据1，2，3，5，5，6，10，9，8，7的60%分位数是___________．答案：解析：思路：先将数据从小到大排序，再根据百分位数的计算规则求解即可.解答过程：首先将给定数据从小到大排列：，样本容量，计算索引值：，为整数，因此分位数为排序后第项和第项数据的算术平均数，排序后第6项为，第7项为，故分位数为。14.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为___________.答案：解析：思路：利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案.解答过程：因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为，因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为，所以球表面积为.故四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知向量，且与的夹角为．（1）求的值；（2）求的值；（3）若与垂直，求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据向量，且与的夹角为，利用数量积的定义求解；（2）由求解；（3）根据与垂直，由求解.（1）因为向量，且与的夹角为，所以；（2）因为向量，且，所以，；（3）因为与垂直，所以，，解得.16.随着海南自由贸易港建设的蓬勃发展，某旅游网站为了解游客对“三亚一日游”的满意度，现统计参与调查的游客年龄层次，将这200人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为，，，，，并得到频率分布直方图如下：（1）求实数的值；（2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）估计这200人年龄的第75百分位数.答案：（1）（2）（3）解析：（1）因为，所以，（2）设这200人年龄的样本平均数为，，所以.（3）因为年龄在的频率为，而年龄在的频率为，所以设这200人年龄的第75百分位数为，则，则，解得.17.在中，角，，的对边分别为，，．已知．（1）求角；（2）若，，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理即可.（2）由计算出，再利用正弦定理即可.（1）由余弦定理得.因为，所以.（2）因为，且，所以.由正弦定理，得，即.解得．18.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．（1）求棱锥的体积：（2）求证：平面．答案：（1）2；（2）证明:若为中点，连接，E为PD的中点，所以且，又，，所以且，故为平行四边形，则，平面，平面，所以平面.解析：思路：（1）由题设知为直角梯形，结合已知求其面积，根据平面知四棱锥的高为，利用体积