2026-2027学年云南省玉溪市玉溪第一中学高二上学期开学数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题：，，则它的否定为（）A.， B.，C.， D.，2.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）A. B.C.或 D.或3.已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（）A.或 B. C. D.4.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.5.已知向量，，，则的值是（）A. B. C. D.6.在三棱锥D-ABC中，AC=BC=BD=AD=CD，并且线段AB的中点O恰好是其外接球的球心.若该三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.7.不等式的解集为或，则（）A.3 B.1 C. D.8.函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（）A. B.10 C. D.8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：95，84，85，99，88，93，86，则这7天苹果日销售量的（）A.第80百分位数为93 B.平均数为90C.极差为15 D.方差为2810.某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（）A.若不放回取球，则甲乙相互独立 B.若有放回取球，则甲乙相互独立C.若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D.若有放回取球，则甲乙为互斥事件11.如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（）A.球的表面积为B.圆锥的侧面积为C.四面体的体积的取值范围是D.若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设复数，则复数的共轭复数为______．13.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．14.如图，在直角梯形中，，，E是中点，且，设，将沿折起向C点旋转（旋转过程中A点记为，且与C不重合），则与平面所成角的大小为________，点C到平面的距离的最大值是________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若锐角满足，求.16.为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中的值；（2）估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．17.记的内角的对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，，是中线，求的长.18.如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值；（3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长.19.某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射1ml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系如下：x234679y0.671.2265.54.5已知当时，血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系服从下列三个函数模型中的一个：①②③当时，与的关系满足.当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过．（1）选择合适的函数模型，作为时与的关系式，并说明理由;（2）求出时与的关系式，并计算注射药品时能达到的有效治疗时长;（3）若注射ml药品，则从注射时间起血药浓度为；若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，10小时之后又注射aml药品，要使随后的8小时内药品能够持续有效治疗，求的最小值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题：，，则它的否定为（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：思路：结合已知条件，利用命题否定的定义即可求解.解答过程：由全称命题的否定的概念可知，命题的否定为：，.故选：D.2.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）A. B.C.或 D.或答案：A解析：思路：根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围．解答过程：当时，不等式化为恒成立，当时，不等式不能恒成立，当时，要使不等式恒成立，需，解得，综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是，故选：A.3.已知幂函数的图象不过原点，且关于轴对称，则（）A.或 B. C. D.答案：D解析：思路：先由函数是幂函数，再验证即可.解答过程：解：因为函数是幂函数，所以，即，解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意；故选：D4.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：化简函数为，设，根据为增函数，结合复合函数的单调性的判断方法，可得求函数的单调递增区间，即可得答案.解答过程：，设,则为增函数，求函数的单调递增区间，等价为求函数的单调递增区间，函数的对称轴为，则函数在上是增函数，则的单调递增区间是，故选.5.已知向量，，，则的值是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据，可得，再利用同角之间的公式化简，代入即可得解.解答过程：因为向量，，，即故选：A方法提示：关键点点睛：本题考查向量平行的坐标运算，及利用同角之间的公式化简求值，解题的关键是的变形，考查学生的运算求解能力，属于基础题.6.在三棱锥D-ABC中，AC=BC=BD=AD=CD，并且线段AB的中点O恰好是其外接球的球心.若该三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意先求出AB与AD关系，取OC中点为E，进而确定，求出的长，即是三棱锥的高，再由三棱锥的体积求出外接球半径，即可求出外接球的表面积.解答过程：设外接球半径为R，因为线段AB的中点O恰好是其外接球的球心，所以OB=OC=OD，由BD=AD可得，所以，所以，所以为等边三角形；又，，所以平面，所以平面平面；取OC中点为E，连结，则，故平面，所以为三棱锥D-ABC的高，又在等边三角形中，，所以，解得，所以.故选B方法提示：本题主要考查棱锥外接球的表面积，根据题意求出球的半径，即可求解，属于常考题型.7.不等式的解集为或，则（）A.3 B.1 C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，由不等式的解集可得,令，得，得或，由不等式的解集可得、是方程的解，所以，所以.8.函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（）A. B.10 C. D.8答案：B解析：思路：求出点坐标，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.解答过程：函数的图象恒过定点，则，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为10.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去7天苹果的日销售量（单位：kg），结果如下：95，84，85，99，88，93，86，则这7天苹果日销售量的（）A.第80百分位数为93 B.平均数为90C.极差为15 D.方差为28答案：BCD解析：思路：根据百分位数、平均数、极差、方差的定义一一计算即可.解答过程：从小到大排列为：84，85，86，88，93，95，99，因，故第80百分位数为第6个数，即95，故A错误；平均数为，故B正确；由，故极差为15，故C正确；方差为，故D正确.故选：BCD10.某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（）A.若不放回取球，则甲乙相互独立 B.若有放回取球，则甲乙相互独立C.若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D.若有放回取球，则甲乙为互斥事件答案：ACD解析：思路：先求出放回和不放回的样本空间和相应事件甲和乙以及它们交事件的样本空间，进而可求出各事件发生的概率，从而根据样本点和概率以及互斥事件和独立事件的定义即可求解.解答过程：由题记样本点为，分别表示第一次和第二次取到的球，将3个白球2个黑球分别标记为和，则放回抽样样本空间为共25个样本点，甲事件样本空间为，共10个样本点，则；乙事件样本空间为共15个样本点，则，则共6个样本点，故甲乙不为互斥事件，且即甲相互独立，故B对、D错；不放回抽样样本空间为共20个样本点，甲事件样本空间为，共8个样本点，则；乙事件样本空间为共12个样本点，则，则共6个样本点，故甲乙不为互斥事件，且即甲不相互独立，故A、C错.故选：ACD.11.如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（）A.球的表面积为B.圆锥的侧面积为C.四面体的体积的取值范围是D.若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为答案：ACD解析：思路：A选项，正内切圆即为球的截面大圆，又正的边长为2，求出球的半径，得到球的表面积；B选项，利用圆锥侧面积公式进行求解；C选项，四面体被平面截成体积相等的两部分，设到平面的距离为，求出正三角形的边长和面积，求出；D选项，动点的轨迹是圆，可得，故，因此，由均值不等式得到，故D正确.解答过程：A选项，连接，等边三角形内切圆即为球的截面大圆，球心在线段上，又等边三角形的边长为2，所以，，则球的半径，所以球的表面积，故A正确；B选项，圆锥的侧面积，故B错误；C选项，由题意可得四面体被平面截成体积相等的两部分，设到平面的距离为，球的半径，三角形为等边三角形，设其边长为，则，故，故三角形的面积为，即，故C正确；D选项，依题意，动点的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为，，故，是边，的中点，可得，，，则有，故，又，故，即，因此，由均值不等式，得，即，当且仅当时取“”，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设复数，则复数的共轭复数为______．答案：解析：思路：直接利用复数的四则混合运算化简求解即可．解答过程：复数，则复数．复数的共轭复数为：故答案为．方法提示：本题考查复数的四则混合运算，是基础题，分式类型的复数计算注意分母实数化的方法.13.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______．答案：(0,1]解析：解答过程：由，，得，而函数在上单调递增，则，因此，解得，所以的取值范围为.14.如图，在直角梯形中，，，E是中点，且，设，将沿折起向C点旋转（旋转过程中A点记为，且与C不重合），则与平面所成角的大小为________，点C到平面的距离的最大值是________.答案：①.####②.解析：思路：以为轴旋转，始终与平面垂直，由可得垂直关系；点C到平面的距离的最大值即点到直线的距离，再利用等面积法求解即可.解答过程：①如图1，在梯形中，连接.由题意，则四边形是平行四边形，又，且，则四边形是正方形.则，如图2，可知，又平面，且平面，且，所以平面.由题意知，则四边形为平行四边形，所以，则平面，即与平面所成角的大小为；②如图2，在平面中过点作，垂足为，延长交于.设点到平面的距离为，则，当且仅当平面时，取最大值.又平面，也即平面平面时等号取到.由题意，将沿折起向C点旋转，下面分析当旋转至何处时，等号取到.若平面，由平面，则，又，，平面，平面，所以平面，平面，则平面平面.故当旋转至满足平面平面（即二面角为直二面角）时，点C到平面的距离能取到最大值，最大值即为.在直角梯形中，，则，，所以.在中，.故点C到平面的距离的最大值是.故；.方法提示：结论点睛：定点到过定直线的平面的距离最大值（其中定点不在定直线上），即定点到定直线的距离.如题目中定点，动平面过定直线，点到直线的距离为定值，设点到平面的距离为，则，当且仅当平面平面时等号成立.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若锐角满足，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可根据周期公式求解，（2）根据同角正余弦的平方关系以及和差角公式即可求解.（1）.，所以函数的最小正周期.（2）因为，得，又因为是锐角，所以，因为是锐角，所以，且，所以，则，故.16.为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中的值；（2）估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．答案：（1）（2）平均数为，中位数为（3）解析：思路：（1）由频率之和为1即可求出；（2）由频率分布直方图结合平均数和中位数求法即可求出；（3）列出任取2个的所有基本事件，即可求出概率.（1）由图知，组距，由，得．（2）各组中点值和相应的频率依次为：中点值3035404550频率0.10.20.3750.250.075所以，果实重量在的频率为，果实重量在的频率为，果实重量在的频率为，所以中位数满足关系，由，解得．（3）由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个，分别记为和，从中任取2个的取法有：，，，共21种取法，其中都是优质果实的取法有，共3种取法，所以抽到的都是优质果实的概率．17.记的内角的对边分别为，满足.（1）求角；（2）若，，是中线，求的长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据边角转化，将题干条件均化成角，结合诱导公式，三角恒等变换进行化简求值；（2）利用，平方后求，结合余弦定理来处理.（1）因为，由正弦定理可知：，由，故，∴∴，∴，又，所以；（2）根据数量积的定义，由，得，又，在中由余弦定理得：∵，∴，所以18.如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值；（3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长.答案：（1）证明：取AB的中点F，连接PF，因为是边长为2的等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.在中，，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）（3）解析：思路：（1）求证平面即可得证；（2）取BF的中点O，连接EO，过点E作，垂足为G，连接OG，求证平面得到为二面角的平面角，求出即可得解；（3）先求证平面得到点M不同于点C，过点M作，垂足为H，进而求证平面得直线EM与平面所成的角为，设，由得到，再由即可求出.（1）略（2）取BF的中点O，连接EO，因为E为线段PB的中点，所以，，由（1）知，平面，又平面，所以，所以.过点E作，垂足为G，连接OG，，平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角.因为平面，又平面，所以，又，所以，所以，即，解得.因为平面，平面，所以，又，所以，所以，所以，即二面角的余弦值为.（3）因为平面，平面，所以，又是边长为2的等边三角形，点E是棱PB的中点，所以，又，平面，所以平面.显然点M不同于点C，过点M作，垂足为H，又平面，所以，又，平面，所以平面，所以直线EM与平面所成的角为.设，所以，，在中，，所以，即，所以，所以，解得或（舍），即19.某