2026-2027学年云南省玉溪市玉溪第一中学高三上学期9月月考数学试卷（含解析）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设甲：，乙：，，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.记的内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.3.已知，且，则（）A. B. C. D.4.已知等比数列满足，则A.64 B.81 C.128 D.2435.将12名志愿者（含甲､乙､丙）安排到三个地区做环保宣传工作，每个地区至少需要安排3人，则甲､乙､丙3人恰好被安排到同一个地区的安排方法总数为（）A.3129 B.4284 C.18774 D.257046.若函数有最大值，则实数的值是（）A.1 B. C.4 D.7.已知，且都是锐角，则A. B. C. D.8.已知四面体ABCD的外接球为球O，球O体积V为定值，为等腰直角三角形且，，若四面体ABCD的体积的最大值为，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知幂函数过点，则下列说法正确的是（）A. B.是减函数C.是奇函数 D.不等式的解集是10.关于函数，，下述结论正确的是（）A.若是奇函数，则B.若是偶函数，则也为偶函数C.若满足，则是区间上的增函数D.若，均为上的增函数，则也是上的增函数11.已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A.在区间上单调递增B.是的一个周期C.当时，的值域为D.的图象关于轴对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则的最小值为__________．13.设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．14.已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某地将举办大型体育赛事，为做好比赛的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开展综合能力测评.现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分（满分100分），分别得到如图所示的两个频率分布直方图.（1）求的值，并估计女生评分的平均数；（2）若评分不低于70分定为“合格”，评分低于70分定为“不合格”.完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联.性别评分等级合计合格不合格男生

女生

合计

附：，.0.050.010.0013.8416.63510.82816.如图，在直角梯形中，.现将沿对角线翻折到，使平面平面.若平面平面，平面平面，直线与确定的平面为平面.（1）证明：；（2）求平面与平面所成角的余弦值.17.已知是抛物线的焦点，过上点的切线交轴于点，过点的直线与交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）比较与的大小，并说明理由；（3）过点的直线与交于两点，，，的延长线分别交于两点，求点到直线距离的最大值.18.已知函数.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积.19.设函数为的导函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明；（3）设为函数在区间内的零点，其中，证明.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设甲：，乙：，，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B解析：思路：根据充分条件与必要条件的定义即可确定选项.解答过程：若乙成立，即，，则，根据正弦的诱导公式可得：，故：乙甲成立，即甲是乙的必要条件.若甲成立，即，令，，满足，但，不满足，故：甲乙不成立，甲不是乙的充分条件.所以，甲是乙的必要条件但不是充分条件.2.记的内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合二倍角公式求出，再利用同角三角函数关系求出，最后通过二倍角的正切公式计算.解答过程：由正弦定理，结合，得，因为，所以，代入上式得，化简得，，因为，所以，，.故选：D.3.已知，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先由三角函数值及角的范围可得角及所在象限，再由同角三角函数关系式及半角三角函数关系式可得.解答过程：已知，且，因此是第四象限角，即，得，该区间是第二象限，因此.由同角三角函数基本关系​，代入，所以，结合是第四象限角，，得.由半角公式得，因此.4.已知等比数列满足，则A.64 B.81 C.128 D.243答案：A解析：解答过程：试题分析：∵，∴，∴，∴．考点：等比数列的通项公式．5.将12名志愿者（含甲､乙､丙）安排到三个地区做环保宣传工作，每个地区至少需要安排3人，则甲､乙､丙3人恰好被安排到同一个地区的安排方法总数为（）A.3129 B.4284 C.18774 D.25704答案：C解析：思路：利用排列组合原理和分组分配方法求解.解答过程：先分类讨论人员分组情况．当甲､乙､丙所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有种方法；当甲､乙､丙所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法；当甲､乙､丙所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，有种方法当甲､乙､丙所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，有种方法．再将三组人员分配到三个地区．因为这三组分配到三个地区有种方法，所以安排方法总数为.故选:C.6.若函数有最大值，则实数的值是（）A.1 B. C.4 D.答案：B解析：思路：通过导数确定为临界点，由的符号分类讨论求解即可.解答过程：，令，得临界点（因，舍去），当时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，此时无最大值，当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以，满足题意，故选.7.已知，且都是锐角，则A. B. C. D.答案：A解析：思路：由已知利用同角三角函数的基本关系式可得的值，利用两角和的正弦函数公式得到的值，结合的范围，即可求解.解答过程：由题意，可得，可得，即，所以由，可得，所以，解得，因为都是锐角，所以，所以,因为，所以，故选A.方法提示：本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，以及二倍角公式和两角和的正弦函数的化简求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.8.已知四面体ABCD的外接球为球O，球O体积V为定值，为等腰直角三角形且，，若四面体ABCD的体积的最大值为，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先翻译向量条件得到几何垂直关系，确定点的轨迹；再利用四面体外接球性质，建立外接球半径与四面体高、底面参数的关系式；把四面体体积表示为单变量函数，求体积最大值；最后反解外接球半径，算出球的体积.解答过程：由，得，即，为等腰直角三角形，，取中点，，且，为外接圆圆心，又，,平面，平面，四面体外接球的球心在过且垂直于平面的直线上。设外接球半径为，，点到平面的距离为，由，得，，联立消去：，化简得，底面面积，四面体体积：，设，求导得，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故时，取最大值：，四面体体积最大值：，已知，则，外接球体积.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知幂函数过点，则下列说法正确的是（）A. B.是减函数C.是奇函数 D.不等式的解集是答案：ACD解析：思路：根据幂函数定义以及经过点的坐标可得，再由其单调性、奇偶性可判断B错误，C正确，由分式不等式可得D正确.解答过程：设幂函数，则，即，即，A正确，函数的定义域为，则函数在定义域和上分别单调递减，但在整个定义域上并不单调递减，B错误，函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，C正确，不等式为，即,解得或，即不等式的解集是，D正确.故选：ACD10.关于函数，，下述结论正确的是（）A.若是奇函数，则B.若是偶函数，则也为偶函数C.若满足，则是区间上的增函数D.若，均为上的增函数，则也是上的增函数答案：BD解析：思路：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质依次判断每个选项得到答案.解答过程：A.若是奇函数，则，当定义域不包含时不成立，故错误；B.若是偶函数，，故，也为偶函数，正确；C.举反例：满足，在不增函数，故错误；D.若，均为上的增函数，则也是上的增函数设，则，故单调递增，故正确；故选.方法提示：本题考查了函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.11.已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A.在区间上单调递增B.是的一个周期C.当时，的值域为D.的图象关于轴对称答案：CD解析：思路：易知A．化简得，换元，则，进而得到单调性B．化简，得到，进而判断答案C．化简得，设，则，进而得到的值域D．求出，得到，进而判断出D选项解答过程：因为是上的偶函数，所以.A错误，当时，.设，则，则在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递减.B错误，，所以不是的一个周期.C正确，当时，.设，则，则.因为，所以.D正确。的定义域为，因为，所以为偶函数，图象关于轴对称.故选：CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则的最小值为__________．答案：解析：解答过程：把式子拆成三项：，化简根号内：，取等条件：，联立求解：，，代入：，，检验：，，.13.设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为__________．答案：解析：思路：根据题意取最大值，根据余弦函数取最大值条件解得的表达式，进而确定其最小值.解答过程：因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以，因为，所以当时，取最小值为.方法提示：函数的性质（1）.（2）周期（3）由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，（4）由求增区间；由求减区间.14.已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．答案：18解析：思路：求出函数的导数，可得的表达式，由此化简推出，结合说明，继而利用基本不等式，即可求得答案.解答过程：由于，故，故，，则，由，得，由，即，知位于之间，不妨设，则，故，当且仅当，即时等号成立，故则的最小值为18，故18方法提示：关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达式推出，并说明，然后利用基本不等式求最值即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某地将举办大型体育赛事，为做好比赛的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开展综合能力测评.现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分（满分100分），分别得到如图所示的两个频率分布直方图.（1）求的值，并估计女生评分的平均数；（2）若评分不低于70分定为“合格”，评分低于70分定为“不合格”.完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联.性别评分等级合计合格不合格男生

女生

合计

附：，.0.050.010.0013.8416.63510.828答案：（1），74.5分.（2）没有关联.性别合格不合格合计男生12080200女生21090300合计330170500解析：思路：（1）利用频率分布直方图所有频率之和为1求，用各组中点乘对应频率求和得到女生评分平均数；（2）由直方图算出男女生合格、不合格人数填写列联表，计算卡方值与临界值比较，判断评分等级和性别是否有关联.（1）由女生直方图各矩形面积之和为1，得，解得.以各组中值作为该组评分的代表值，女生平均分估计为.所以，女生评分的平均数约为74.5分.（2）男生合格频率为，女生合格频率为，故列联表为：性别合格不合格合计男生12080200女生21090300合计330170500提出零假设：评分等级与性别相互独立.由列联表计算得.因为，所以在小概率值的检验标准下，不能拒绝零假设，即没有充分证据认为评分等级与该校报名者的性别有关联.16.如图，在直角梯形中，.现将沿对角线翻折到，使平面平面.若平面平面，平面平面，直线与确定的平面为平面.（1）证明：；（2）求平面与平面所成角的余弦值.答案：（1）证明：在直角梯形中，因为，又平面平面，所以平面，因为平面，平面平面，且平面，所以.（2）解析：思路：（1）先得到，再得到平面，用线面平行的性质定理证明即可；（2）先建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，用求向量夹角余弦值的公式求解即可.（1）略（2）设，连接，则直线为直线，由（1）知，由题意知，取的中点，连接，则因为平面平面，平面平面所以平面取的中点，连接，则四边形为正方形，连接，则所以两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则所以，取，得设平面的法向量为，则所以，取，得所以.所以平面与平面所成角的余弦值为.17.已知是抛物线的焦点，过上点的切线交轴于点，过点的直线与交于两点.（1）求抛物线的方程；（2）比较与的大小，并说明理由；（3）过点的直线与交于两点，，，的延长线分别交于两点，求点到直线距离的最大值.答案：（1）（2），理由：抛物线，则，当时，切线斜率，由点斜式可得过点的切线方程为，即；令，可得，所以；由，可得，所以，设直线的方程为，联立，解得：，，由韦达定理得，根据抛物线的焦半径公式，，因为，所以，同理，则，所以；（3）解析：思路：（1）将点的坐标代入抛物线方程即可；（2）对抛物线求导，求出过点的切线方程，从而得，可得，设直线的方程为，求出的表达式，即可比较大小；（3）设直线，直线的方程，分别与抛物线联立方程组求出韦达定理的表达式，求得，，从而可得直线的方程，得出过定点要使点到直线距离的最大，则只需，从而求出最大值.（1）已知点在抛物线上，将点的坐标代入抛物线方程可得：，即，解得，所以抛物线的方程为；（2）略（3）由题意知直线的斜率必存在，故设直线，，联立，解得，由韦达定理得，设直线方程为，代入，有，由，，所以，同理可得；所以直线的斜率，由直线的点斜式可得直线：，结合，化简得，所以直线过定点，要使点到直线距离的最大，则只需，从而最大值为.18.已知函数.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积.答案：（1）最小正周期为；单调递增区间为，.（2）解析：思路：（1）用平方差公式和二倍角公式对