2026-2027学年浙江省A9协作体高二上学期暑假返校学情诊断数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟；第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2.样本数据4，5，6，7，8，9的第60百分位数为（）A.5 B.6 C.7 D.83.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则（）A. B. C.或 D.或4.已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（）A. B. C. D.5.设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.6.随机变量，相互独立，且均等可能地取值于集合．设，，则的概率为（）A. B. C. D.7.已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知正方体的棱长为，点、分别是线段、的中点，为上靠近的三等分点，则平面与上底交所得的线段长为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列结论中正确的是（）A. B.与可以作为所在平面的一组基底C. D.10.已知复数满足，，则（）A. B. C. D.11.已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（）A.B.四棱锥的外接球表面积为C.的最小值为D.与所成角的余弦值的最大值为第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数____．13.若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________．14.南海观音位于浙江省舟山市普陀区双峰山南端的观音跳山岗上．此处势随峰起，秀林葱郁，气顺脉畅，碧波荡漾．莲花洋彼岸的朱家尖，隔海侍卫；双峰山坡麓的紫竹林，潮音频传．普陀山新的人文景观，海天佛国的象征．乘云中之龙，于南海波涛之上，又称龙头观音．某数学兴趣小组为了测得观音像整体的高（包括基底），如图，在点测得观音像底位于北偏东方向上的点处，观音像顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得观音像底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则观音像总的高度约为________．（结果精确到整数，参考数据：）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为，若．（1）求A的大小；（2）若，求的面积．16.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）．（1）求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）；（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈；①第3，4组分别抽取多少人；②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．17.如图，的半径为1，是的直径上一点（异于，），过作与直径垂直的弦与相交于、两点，连接和，设（）．（1）求线段的长（用表示）；（2）若为直线上一点，且的最小值为，求的值．18.如图，在圆台中，四边形为其一个轴截面，在底面圆周上，，．（1）求证：平面；（2）若该圆台的体积为，①求四棱锥的体积；②求二面角夹角的余弦值．19.我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则．即模相乘，辐角相加．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．已知在复平面的上半平面内有一个菱形（在的右侧），其边长为1，，点，，所对应的复数分别为，，．（1）若，求出，；（2）①写出复数的三角形式，并计算，（三角形式），由此归纳出（）的三角形式；②设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，，…，（逆时针顺序），其中．求复数，，…，在复平面所对应不同点的个数；（3）若，菱形在第一象限，以为边作正方形，若，在上方，且向量，求的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟；第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，则的虚部为．2.样本数据4，5，6，7，8，9的第60百分位数为（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：C解析：解答过程：数据从小到大排列：，共个数据，，为非整数，向上取整结果为，对应有序数据中的第个数据，因为第个数据是，所以这组数据的第百分位数是，对应选项为C.3.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则（）A. B. C.或 D.或答案：D解析：解答过程：，由正弦定理得，因为，所以，故，因为，所以或.4.已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，，若与共线，则，所以且.5.设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用向量在向量上的投影向量公式，由系数相等得到夹角的关系式，从而求解.解答过程：向量在向量上的投影向量为，其中为与的夹角，且，因为在上的投影向量为，所以,将，代入得，解得，因为，且，所以.6.随机变量，相互独立，且均等可能地取值于集合．设，，则的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：-1-1-2-10-1-1100-1-10000111-10101112设的事件为,.7.已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用正弦定理将边的比值转化为对应角的正弦比，再由得.根据锐角三角形条件确定的范围，将化为关于的函数，最后通过单调性求出其取值范围为.解答过程：由正弦定理，因为，所以，即.又因为为锐角三角形，所以由.得解得于是令，由，得因此设求导：所以在上单调递增.当时，当时，所以8.已知正方体的棱长为，点、分别是线段、的中点，为上靠近的三等分点，则平面与上底交所得的线段长为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据条件找出截面及平面与上底交所得的线段，再根据三角形相似比例关系以及等角定理求出线段长.解答过程：延长与的延长线相交于点，连接交于点，过作的平行线交于，交延长线于点，连接交于点，连接，则多边形为平面截正方体得到的截面，故平面与上底交所得的线段为.因为，所以，因为，，故，所以，因为为上靠近的三等分点，且，，所以，故，，所以，则，因为，，由等角定理结合图形可知，所以，故.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列结论中正确的是（）A. B.与可以作为所在平面的一组基底C. D.答案：BD解析：解答过程：对于A，因为，则，故A错误；对于B，若两个向量可作为基底，则这两个向量不共线.因为，，对于与，因为，所以与不共线，则与可以作为所在平面的一组基底，故B正确；对于C，根据向量夹角余弦值的计算公式，所以，故C错误；对于D，因为，，根据两向量垂直，则它们的数量积为0.因为，所以，故D正确.10.已知复数满足，，则（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：对于A：分析可知，解方程即可判断；对于B：根据实数系方程结合韦达定理即可判断；对于C：分析可知，，，即可判断；对于D：可得，结合周期性即可得解.解答过程：对于选项A：因为，则，，又因为，即，可得，解得，故A正确；对于选项B：对于方程，则，可知方程的两个根为虚根，且两根互为共轭，即为，由韦达定理可得，故B正确；对于选项C：因为，，，，可知，，，所以，故C错误；对于选项D：因为，且，所以.11.已知四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（）A.B.四棱锥的外接球表面积为C.的最小值为D.与所成角的余弦值的最大值为答案：AC解析：思路：A选项，证明线面垂直，得到线线垂直；B选项，找到外接球球心，求出外接球半径，进而求出表面积；C选项，将平面折到同一平面，进行求解即可；D选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用异面直线夹角余弦公式进行求解.解答过程：A选项，因为底面为正方形，所以⊥，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以，A正确；B选项，设，取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，又因为底面为正方形，所以，即即为四棱锥的外接球球心，因为，，所以，，所以四棱锥的外接球半径为，四棱锥的外接球表面积为，B错误；C选项，其中，，，故，故，将平面与平面展开到同一平面内，如图所示，连接，交于点，此时取得最小值，最小值为，C正确；D选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，，，则，所以，故，故，，所以，其中，设与所成角为，则，当时，，若，则，令，则，则，因为，所以当，即，时，取得最大值，最大值为，若，则，令，则，则，因为，所以当，即时，取得最大值，最大值为，综上，与所成角的余弦最大值为，D错误第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.复数____．答案：解析：思路：利用复数的代数形式的四则运算法则求解．解答过程：．故．13.若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________．答案：##解析：思路：利用已知条件结合向量数量积运算律求出，再利用向量的数量积及模长求解即可.解答过程：因为，为单位向量，所以.两边平方，可得，解得.而，，.设向量与的夹角为，，则，所以.向量与的夹角为.14.南海观音位于浙江省舟山市普陀区双峰山南端的观音跳山岗上．此处势随峰起，秀林葱郁，气顺脉畅，碧波荡漾．莲花洋彼岸的朱家尖，隔海侍卫；双峰山坡麓的紫竹林，潮音频传．普陀山新的人文景观，海天佛国的象征．乘云中之龙，于南海波涛之上，又称龙头观音．某数学兴趣小组为了测得观音像整体的高（包括基底），如图，在点测得观音像底位于北偏东方向上的点处，观音像顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得观音像底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则观音像总的高度约为________．（结果精确到整数，参考数据：）答案：33解析：解答过程：由题意，中，，，，由正弦定理，.在中，，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为，若．（1）求A的大小；（2）若，求的面积．答案：（1）（2）解析：解答过程：（1）因为，由正弦定理可得：，即，在中，，所以，因为，所以；（2）由（1）知，，因为，，由余弦定理，得：即，得，所以的面积．16.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）．（1）求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）；（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈；①第3，4组分别抽取多少人；②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．答案：（1），中位数：（2）应从第3，4组中分别抽取3人，2人；解析：思路：（1）根据直方图面积为1求解a的值，再求中位数即可.（2）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可.（1）由图可得：，解得；年龄在内的频率为，年龄在内的频率为中位数为.（2）第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为，所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈，所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种.其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种，所以至少有一人的年龄在内的概率为.17.如图，的半径为1，是的直径上一点（异于，），过作与直径垂直的弦与相交于、两点，连接和，设（）．（1）求线段的长（用表示）；（2）若为直线上一点，且的最小值为，求的值．答案：（1）（2）或．解析：思路：(1)利用直径所对的圆周角是直角，在与中用三角函数表示边长，结合二倍角公式求出；(2)法一：建立平面直角坐标系，写出各点坐标，将向量数量积表达为关于横坐标的二次函数，利用二次函数求最小值建立三角方程求解；法二：运用极化恒等式转化向量数量积，消去变量快速得到表达式的最小值，直接列三角方程算出.（1）由题意，为直径，则，而（），，则，又，则（2）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由（1）知，，而，则，而，则，，设，，则，，所以，可以看作关于的二次函数，则当时，取得最小值，则，即，故或，则或．法二：则，即，故或，则或．18.如图，在圆台中，四边形为其一个轴截面，在底面圆周上，，．（1）求证：平面；（2）若该圆台的体积为，①求四棱锥的体积；②求二面角夹角的余弦值．答案：（1）证明：如图，由题意可知与平行且相等，则四边形为平行四边形，即，又平面，平面，所以平面．（2）①3；②解析：思路：(1)根据平行四边形得线线平行，从而证出线面平行；(2)①由线面垂直找出四棱锥的高，再由锥体体积公式求出体积；②找出二面角的平面角后在直角三角形中求出平面角的余弦值.（1）略.（2）①圆台体积，则，过作，则平面且，因为为梯形且，所以为中点，，，即为等边三角形，所以且，又平面，所以，又，平