2026-2027学年浙江省强基联盟高二上学期9月题库数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.已知，且，则下列式子恒成立的是（）A. B.C. D.4.函数的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.不存在5.若为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.6.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则7.已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（）A. B. C. D.8.已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量，，下列结论中正确的是（）A.若，则存在实数，使得B.若存在实数，使得，则C.若，则D.若，则10.设函数为偶函数，则（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递减C.直线是函数图象的一条对称轴D.将的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象11.在棱长为1的正方体中，点M，N分别是，的中点，点P，Q分别是边，上的点（不包括端点），且．则下列说法中正确的有（）A.平面 B.与是异面直线C. D.三棱锥体积的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______．13.已知圆锥的高是其底面半径的倍，若一个球内切于该圆锥（球与圆锥的底面及侧面均相切），则圆锥的体积是球的体积的________倍．14.已知向量，，，向量、在向量上的投影向量分别为、，且，则实数________．四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15.已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．16.某大学的强基计划考试分为初试和复试，初试成绩达到前，才能进入复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如下图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）请估计进入复试的分数线；（3）用频率估计概率，在进入复试的学生中任选2名，求至少有一名初试成绩90分及以上的概率．17.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）若点是边的中点，且，求的取值范围．18.如图，在梯形中，，，，且，将沿直线翻折至的位置（点不在平面内）．（1）若平面，证明：平面；（2）当二面角的平面角为锐角时，记直线与平面所成的角为，求的最小值．19.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若存在两个不同的实数，，满足，求证：；（3）若存在两个不同的实数，，满足，求的取值范围．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为集合，，所以.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：A解析：解答过程：全称量词改为存在量词，否定结论，所以命题“，”的否定是“”.3.已知，且，则下列式子恒成立的是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：选项A,,所以选项A正确;选项B,,因为不确定,所以等式不恒成立,选项B错误;选项C,当且仅当或,恒成立,根据题干条件无法得到或,所以选项C错误;选项D,若,则,根据题干条件无法得到恒成立,所以选项D错误.4.函数的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.不存在答案：C解析：解答过程：因为，所以由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为6.5.若为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：根据诱导公式，又因为为第二象限角,,所以,所以.6.已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：C解析：思路：根据各项中线面、面面的位置关系，结合线面、面面垂直，线面、面面平行的性质和判定及空间想象判断各项的正误.解答过程：A：由，则平行、异面、相交均可能，错，B：由，则或，错，C：由，结合线面垂直、面面平行的性质有，对，D：由，要使，根据面面平行的判定定理，条件还需相交，错.故选：C7.已知事件A，B满足，，事件A，B中至少有一个不发生的概率为，则事件A，B都不发生的概率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先通过“至少一个不发生”的概率求出，再用概率加法公式求得，最后利用对立事件算出都不发生的概率.解答过程：，，，.8.已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：二次函数的图象抛物线开口向上，对称轴方程为，由，有，又，若，成立，则有，解得，所以实数m的最小值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知平面向量，，下列结论中正确的是（）A.若，则存在实数，使得B.若存在实数，使得，则C.若，则D.若，则答案：BC解析：解答过程：A选项：且时，满足，此时不存在实数，使得，A选项错误；B选项：存在实数，使得，若则，满足；若，由向量数乘的定义可知，与共线，即，B选项正确；C选项：若，两边同时平方化简得，若或，满足；时，由，得，即与同向，满足，C选项正确；D选项：时，若与方向相反，则不成立，D选项错误.10.设函数为偶函数，则（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递减C.直线是函数图象的一条对称轴D.将的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象答案：ABC解析：思路：先根据正弦型函数为偶函数的性质求出初相，确定函数解析式，再利用三角函数周期公式、换元法分析复合函数单调性，结合图像平移规则以及对称轴处函数取最值的特征，逐项对各个选项进行推理验证，判断正误即可.解答过程：因为是偶函数，所以，正弦为偶函数，则相位需满足：，因为，取，得，所以；选项A：最小正周期，A正确；选项B：，，则，在单调递减，所以在单调递减，B正确；选项C：，把代入：，所以函数取到最小值，故是该函数的对称轴，C正确；选项D：向右平移个单位：，由题知，两者不相等，D错误.11.在棱长为1的正方体中，点M，N分别是，的中点，点P，Q分别是边，上的点（不包括端点），且．则下列说法中正确的有（）A.平面 B.与是异面直线C. D.三棱锥体积的最大值为答案：ACD解析：思路：A选项：利用线面平行性质得出平面;B选项：当时直线与相交;C选项：利用三角形全等证出；D选项：利用等体积法求三棱锥体积，再利用二次函数求体积的最大值.解答过程：因为点M，N分别是，的中点，所以，，平面，所以平面，即平面，又，平面，故平面，A正确；当时直线与相交，理由如下：取中点，连接，因为均为中点，故，共面，又与不平行，故与相交，所以B错误；过作，过作，连接，则,因为平面，平面平面，所以，故为平行四边形，，且，即，所以，即，C正确；因为，设，则，，当且仅当时三棱锥体积最大，此时，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______．答案：解析：思路：首先利用除法运算化简复数，再求解模即可.解答过程：，所以.13.已知圆锥的高是其底面半径的倍，若一个球内切于该圆锥（球与圆锥的底面及侧面均相切），则圆锥的体积是球的体积的________倍．答案：解析：思路：借助轴截面转化为平面等腰三角形的内切圆问题.根据高与底面半径的关系表示相关边长，求出内切球半径，再代入体积公式计算两者体积之比.解答过程：设圆锥底面半径为，由题意得圆锥的高.因为圆锥轴截面是等腰三角形，底边长，高，所以母线长为.设内切球半径为.轴截面中，内切球对应的轴截面是等腰三角形的内切圆.等腰三角形的面积为.三角形周长的一半为，由内切圆半径和周长知此等腰三角形面积.所以，即.此时球的体积为.因为圆锥的体积为.所以圆锥的体积与球的体积之比为.14.已知向量，，，向量、在向量上的投影向量分别为、，且，则实数________．答案：##解析：思路：首先写出投影向量，再根据投影向量的关系，列式求解.解答过程：由投影向量的定义可知，同理可得，因为，所以，解得.四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15.已知，为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦的二倍角公式求解；（2）将角拆成，利用两角和的正弦公式求解.（1）因为，所以．（2）因为为锐角，，所以，因为，所以，又，所以，所以．16.某大学的强基计划考试分为初试和复试，初试成绩达到前，才能进入复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如下图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）请估计进入复试的分数线；（3）用频率估计概率，在进入复试的学生中任选2名，求至少有一名初试成绩90分及以上的概率．答案：（1）（2）62分（3）解析：（1）由，得．（2）由图可知，初试成绩在55分以下的考生的频率为，在65分以下的考生的频率为，因此分位数位于内，由，可以估计进入复试的分数线为62分．（3）由图可知，初试成绩在90分及以上的考生的频率为，在进入复试的考生中，初试成绩在90分及以上的考生的频率为．任选两名都不超过90分的概率为，所以至少有一名初试成绩90分以上的概率为．17.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）若点是边的中点，且，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理、余弦定理对条件等式进行边角互换求解；（2）利用向量计算和余弦定理，可以将表示为关于的代数式，进而通过的取值范围求的取值范围.（1）由题可知，由正弦定理得，，故，所以．（2）由为边中点，故，平方可得，故，①由①知，故，又，故，由余弦定理，又由①式可得，所以，a的取值范围为．18.如图，在梯形中，，，，且，将沿直线翻折至的位置（点不在平面内）．（1）若平面，证明：平面；（2）当二面角的平面角为锐角时，记直线与平面所成的角为，求的最小值．答案：（1）如图，在梯形中，因为，，所以，．因为，所以四边形是平行四边形，故，所以，故，所以．因为平面，平面，所以．因为，，平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）先根据平面图形的性质证得，即得到，再利用线面垂直的性质得到，进而根据线面垂直的判定定理即可证得结论；（2）作交于点F，得是二面角的平面角．通过证平面，得设，计算得，，由等体积法得到点C到面的距离，进而得，通过换元结合基本不等式即可求得的最小值.（1）略（2）如图，作交于点F，因为，，所以是二面角的平面角．因为，，，，面，所以面，故．因为，，，平面，所以平面，故．设，则，，又，故．．设点C到面的距离为h，则．又，由等体积法可知，故．因为，所以，令，则．当，即时，取得最小值．所以取得最小值．19.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若存在两个不同的实数，，满足，求证：；（3）若存在两个不同的实数，，满足，求的取值范围．答案：（1）单调递减区间是；递增区间是，．（2）由题可知当时，单调递增且；当时，，故，均小于0，且由单调性不妨设，故，故，要证，只要证，只要