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第37节数列的综合应用考点探究•核心突破

【对点训练】已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2,数列{bn}为单调递增等比数列,b2=2,且b1,b2,b3−1成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;【解析】(1)因为an+1=an+2⇒an+1−an=2,故{an}为公差为2的等差数列,所以an=a1+2(n−1)=1+2(n−1)=2n−1;

√

an=n2+n−1【方法总结】数列与函数、向量的综合问题的求解策略(1)涉及数列与三角函数有关的问题,常利用三角函数的周期性等特征,寻找规律后求解.(2)涉及数列与向量有关的综合问题,应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式求解.

【对点训练】1.(2026·长沙模拟)设函数f(x)的定义域为R,若f(0)=2,且对任意x∈R,满足:f(x+1)−f(x)≤2x,f(x+2)−f(x)≥3×2x,则f(2026)的值为(

)A.22026+2 B.22026+1C.22026

D.22026+3√【解析】选B.由f(x+1)−f(x)≤2x,得f(x+2)−f(x+1)≤2x+1,因为f(x+2)−f(x)≥3×2x,所以f(x+1)−f(x)=−[f(x+2)−f(x+1)]+f(x+2)−f(x)≥−2x+1+3×2x=2x,又f(x+1)−f(x)≤2x,所以f(x+1)−f(x)=2x,则f(2026)=f(0)+[f(1)−f(0)]+[f(2)−f(1)]+[f(3)−f(2)]+…+[f(2026)−f(2025)]=2+20+21+22+…+22025=2+22026−1=22026+1.

√

√

(2)(2025·苏州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,2an+1=3Sn,若tSn<2n对任意的n∈N*恒成立,则实数t的取值范围为(

)A.(−4,2) B.[−3,2)C.(−6,2) D.(−3,2]√

【方法总结】数列与不等式交会问题的解题策略(1)与数列有关的不等式证明问题一般采用放缩法进行证明,有时也可通过构造函数进行证明.(2)数列中有关项或前n项和的恒成立问

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