第二十九章 圆【章末复习】-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

#人教版九年级上册数学第二十九章《圆》章末复习专项练习（全文约1700字，含知识梳理(PA(A、B)PB)分层习题(PA(A、B)PB)答案解析）##知识梳理###一(PA(A、B)PB)圆的相关概念1.圆：到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合；直径是圆中最长的弦。2.弧：优弧(PA(A、B)PB)劣弧(PA(A、B)PB)等弧；**等弧只能在同圆或等圆中存在**。3.圆心角：顶点在圆心；圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交。###二(PA(A、B)PB)核心定理1.**垂径定理**：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，平分弦所对的弧。2.**圆心角(PA(A、B)PB)弧(PA(A、B)PB)弦关系定理**：同圆或等圆中，相等的圆心角⇔所对弧相等⇔所对弦相等。3.**圆周角定理**：同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半。推论：直径所对圆周角是直角；90°的圆周角所对弦是直径；同弧所对圆周角相等。4.**点与圆的位置关系**：设圆半径$r$，点到圆心距离$d$$(d>r)$点在圆外；$(d=r)$点在圆上；$(d<r)$点在圆内。5.**直线与圆的位置关系**$(d>r)$相离；$(d=r)$相切（切线）；$(d<r)$相交。**切线判定**：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。**切线性质**：圆的切线垂直于过切点的半径。**切线长定理**：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这点和圆心连线平分两条切线的夹角。6.**正多边形与圆**：中心(PA(A、B)PB)中心角(PA(A、B)PB)边心距；中心角$=\dfrac{360^\circ}{n}$7.**弧长与扇形面积(PA(A、B)PB)圆锥**弧长公式：$l=\dfrac{n\piR}{180}$扇形面积：$S_\text{扇}=\dfrac{n\piR^2}{360}=\dfrac12lR$圆锥：母线$l$，底面半径$r$；$l^2=r^2+h^2$；$S_\text{侧}=\pirl$；$S_\text{全}=\pirl+\pir^2$；展开扇形圆心角$n=\dfrac{r}{l}\times360^\circ$>>易错汇总：垂径定理忽略“弦不是直径”；圆周角不看是否**同弧**；切线证明忘记连半径证垂直；圆锥计算混淆扇形半径和底面半径；求面积审题分不清侧面积(PA(A、B)PB)全面积。##一(PA(A、B)PB)选择题（每题4分，共24分）1.已知⊙$O$半径为5，点$P$到圆心$O$距离$(OP=6)$，则点$P$与⊙$O$位置关系是（）A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.无法确定2.下列说法正确的是（）A.长度相等的弧是等弧B.平分弦的直径垂直于弦C.直径所对的圆周角是直角D.三点确定一个圆3.如图，$AB$是⊙$O$直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则∠$ABC$度数为（）A.30°B.45°C.60°D.90°4.已知⊙$O$半径4，圆心$O$到直线$l$距离是3，则直线$l$与⊙$O$位置关系（）A.相交B.相切C.相离D.重合5.扇形半径6，圆心角120°，扇形面积是（）A.$4\pi$B.$8\pi$C.$12\pi$D.$24\pi$6.圆锥底面半径2，母线长5，圆锥侧面积为（）A.$10\pi$B.$14\pi$C.$20\pi$D.$24\pi$##二(PA(A、B)PB)填空题（每题4分，共24分）7.在⊙$O$中，弦$(AB=8)$，圆心$O$到$AB$距离为3，则⊙$O$半径为________。8.一个正六边形外接圆半径为4，它的中心角等于________°，边长为________。9.一条弧的半径为9，弧长是$3\pi$，这条弧所对圆心角为________°。10.从圆外一点$P$向⊙$O$引两条切线$PA(PA(A、B)PB)PB$，切点$A(PA(A、B)PB)B$，若∠$A(PB=)60^\circ$，$(PA=4)$，则$(PB=)$________。11.$AB$是⊙$O$直径，点$C$在圆上，∠$CAB=28^\circ$，则∠$(ABC=)$________°。12.圆锥侧面展开图是圆心角180°扇形，母线长8，则圆锥底面半径为________。##三(PA(A、B)PB)解答题（共52分）13.（8分）已知：如图，$AB$是⊙$O$的弦，$OC⊥AB$于点$C$，$(AB=12)$，$(OC=5)$，求⊙$O$的半径。14.（10分）如图，$AB$为⊙$O$直径，点$C$在⊙$O$上，$CD$是⊙$O$切线，$C$是切点。求证：$OC⊥CD$；若∠$A=35^\circ$，求∠$D$度数。15.（10分）扇形的圆心角$(n=60)^\circ$，半径$R=12\mathrm{cm}$，求扇形弧长和扇形面积。16.（12分）一个圆锥形烟囱帽，底面直径120cm，母线长90cm。（1）求烟囱帽侧面积；（烟囱帽无底面，只求侧面积）（2）求侧面展开扇形的圆心角度数。17.（12分）如图，△$ABC$内接于⊙$O$，$AB$是直径，$OD∥BC$。求证：$(AD=DC)$。##参考答案与解析1.C解析：$(d=6>r=5)$，点在圆外。2.C解析：A必须同圆等圆；B弦不能是直径；D不在同一直线三点确定圆。3.B解析：$AB$直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，弧相等对应圆周角相等，∠$ACB=90^\circ$，所以∠$(ABC=)45^\circ$。4.A解析：$(d=3<(r=4))$，直线与圆相交。5.C解析：$S=\dfrac{120\pi\times6^2}{360}=12\pi$。6.A解析：$S_\text{侧}=\pirl=\pi\times2\times5=10\pi$。7.5解析：垂径定理，$(AC=4)$，$r=\sqrt{3^2+4^2}=5$。8.60；4解析：正六边形中心角$\dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ$，边长等于外接圆半径。9.60解析：$l=\dfrac{n\piR}{180}$，$3\pi=\dfrac{n\pi\cdot9}{180}$，解得$(n=60)$。10.4解析：切线长定理，$(PA=PB)$。11.62解析：直径对直角，∠$ACB=90^\circ$，∠$(ABC=)90^\circ-28^\circ=62^\circ$。12.4解析：半圆弧长$=\pi\times8=8\pi=2\pir$，$(r=4)$。13.解：∵$OC⊥AB$，由垂径定理，$AC=\dfrac12AB=6$，Rt△$OAC$中，$OA=\sqrt{AC^2+OC^2}=\sqrt{6^2+5^2}=\sqrt{61}$，∴圆半径为$\boldsymbol{\sqrt{61}}$。14.证明：切线性质，圆的切线垂直过切点半径，∴$OC⊥CD$。解：$(OA=OC)$，∠$OCA=∠A=35^\circ$，∠$COD=70^\circ$，∠$OCD=90^\circ$，∴∠$D=90^\circ-70^\circ=20^\circ$。15.解：弧长$l=\dfrac{60\pi\times12}{180}=4\pi\\mathrm{cm}$，扇形面积$S=\dfrac{60\pi\times12^2}{360}=24\pi\\mathrm{cm^2}$。16.解：底面半径$r=60\mathrm{cm}$，母线$l=90\mathrm{cm}$（1）$S_\text{侧}=\pirl=\pi\times60\times90=5400\pi\\mathrm{cm^2}$（2）$n=\dfrac{r}{l}\times360^\circ=\dfrac{60}{90}\times360^\circ=240^\circ$17.证明：∵$AB$是直径，∴∠$ACB=90^\circ$，即$BC⊥AC$∵$OD∥BC$，∴$OD⊥AC$，由垂径定理，$OD$平分弧$AC$，∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，∴$(AD=DC)$。如果你想要，我还可以再出一份**纯大题拔高版（圆综合证明+动点）**的章末检测卷。人教版（新教材）数学九年级上册章末复习授课教师：.

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9年级（

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2026/11/4

第二十九章圆

同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。复习回顾知识点1圆有关的概念描述性定义（动态）：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆.O圆的定义：集合性定义（静态）：圆心为O，半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.Pr【注意】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.AC弦：连接圆上任意两点的线段.OPr直径：经过圆心的弦叫作直径.（最长的弦）B圆弧：圆上任意两点间的部分.优弧：大于半圆的弧.劣弧：小于半圆的弧.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.圆心角：顶点在圆心的角.圆周角：顶点在圆上的角.D点与圆的位置关系：OrPdOrPdOrPd点P在⊙O外点P在⊙O上点P在⊙O内d>rd=rd<r三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆.外心：三角形外接圆的圆心.锐角三角形的外心位于三角形内，直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心位于三角形外.知识点2圆有关的性质1.圆是轴对称图形，它的任意一条______所在的直线都是它的对称轴；圆也是中心对称图形，具有旋转不变性.直径OMM′AB2.垂径定理及其推论（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的________.两条弧AB是☉O的直径AB⊥MM′MN=M′NMA=M′AMB=M′B【注意】①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.OMM′ABNOMM′ABN（2）根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其他三个结论.知二推三3.弦、弧、圆心角的关系定理及推论前提：在同圆或等圆中.OABB′A′OABB′A′OB′A′AB圆心角相等弧相等弦相等知一推二n°知识点3圆有关的计算1.圆的周长和面积公式：RC=2πRS=πR22.弧长的计算公式：

O3.扇形面积的计算公式：

已知S扇形，l，n，R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个.4.圆锥的侧面积计算公式：侧面展开图rll

=πrl4.圆锥的全面积计算公式：S全=S底+S侧=πr2+πrl=πr(r+l)【注意】r表示圆锥底面的半径，l表示圆锥的母线长.

OBADCMB（2）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=40°，∠APD=75°，则∠B=（）（A）15°（B）40°（C）75°（D）35°ACBDOPD（3）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的圆心角是（）（A）120°（B）180°（C）240°（D）300°B2.已知线段AB的长为4cm，以

3cm为半径作圆，使它经过A，B两点.解：如图所示.3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，且AC⊥BD，垂足为E.（1）若∠BAD=70°，求四边形ABCD其余各角的大小；CBDAOE解：∠ABC=90°，∠BCD=110°，∠ADC=90°.（2）若AC=10，BD=8，求AE，CE的长.CBDAOE

4.如图，公园内有一块半径为18m的扇形草坪，从A地走到B地有观赏路（弧AB）和便民路（线段AB），且∠AOB=120°.（1）求扇形草坪的面积（结果取整数）；

BOA（2）王芳从A地走到B地，走便民路比走观赏路少走多少米（结果保留小数点后一位）？

BOAM5.如图，大半圆中有

n个小半圆，大半圆的弧长为L1，n

个小半圆的弧长和为L2，探索L1和

L2的关系，并证明你的结论.…

6.估计图中三段弧的半径的大小关系，再用尺规检验你的估计是否正确.综合运用解：估计三段弧的半径相等.检验提示：分别作每段弧中任意两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，从而比较半径大小.7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，四条边AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，这四个点共圆吗？如果共圆，圆心在哪里？ACDBHGEFO解：E，F，G，H这四个点共圆，圆心在点O处.8.如图，分别作出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外接圆，它们的外心的位置有什么特征？解：如图.锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在三角形的斜边的中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部.9.如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过A，B，C三点，求这条圆弧所在圆的半径长.

O10.如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门PQ，当他带球冲到点A时，同伴乙已经冲到点B.此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好（仅从射门角度大小考虑）？解：将球传给乙，让乙射门好.理由：如图，设AP交圆于点C，连接CQ.易知∠PCQ=∠PBQ.∵∠PCQ>∠PAQ，∴∠PBQ>∠PAQ，∴乙的射门角度大，∴让乙射门好.C11.如图，某兴趣小组的同学将边长为10cm的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，以AB，AD为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），所得扇形ABD的面积是多少？

12.如图，锚标浮筒是打捞作业中用作标记锚或沉船位置的常用工具，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）.电镀时，如果每平方米用锌0.11kg，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌多少千克（结果保留小数点后一位）？

拓广探索13.如图，在△ABC中，∠A=60°，以BC为直径的⊙O交△ABC的边AB，AC于D，E两点.判断△ODE的形状，并说明理由.解：△ODE是等边三角形.理由：∵OB=OD=OE=OC，∴∠OBD=∠ODB，∠ODE=