等腰（等边）三角形（解析版）-八年级数学下学期（北师大版）

题型一利用等腰（等边）三角形的性质求解（共5小题）

1.（25-26八年级上•浙江杭州•期末）如图，等腰RtAJ5C,/ABC=90°,AD=BD=AB,则NCDB=

【答案】15。/15度

【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质.证明△//。为等边三角形，可得

/48。=60。，可得NC8O的度数，再由等腰三角形的性质解答即可.

【详解】解：•；AD=BD=AB,

・•・△//）为等边三角形，

JZ.ABD=60°,

•・•等腰//8C=90。,

・•.Z.CBD=ZABD+/ABC=150°AB=BC,

：,BD=BC,

ACDB=4BCD==15°.

故答案为：15。

2.（24-25八年级上•安徽马鞍山•期末）在出力8c中，AB=AC,点。为8c中点，如果/比1。=40。,AD=AE,

则NEDC=

【答案】20

【分析】先推导出NC4)=NA4D=4(]P,ZJDC=90°,进而求出N/OE=；(180。一NZX4C)=70。，则

Z.EDC=NADC-Z.ADE=90°-70°=20°,即可解答.

【详解】解：在色/18。中，D为BC中点、,AB=AC,Z5JD=4D°,BD=DC,

ZCAD=ZBAD=40°,ADIBC,

/.ZJDC=90°,

又,：AD=AE,

/ADE=；(18(T-ZDAC)=70°,

NEDC=ZADC-ZADE=90°-70°=20°.

3.(25-26八年级上•陕西西安•期末)如图，在中，ABC,ZHC归的平分线交于点。，过点。作

EF//BC交AB于点、E,交4C于点、F.若48=6,AC=4,8c=8,则△力E/的周长是.

【答案】10

【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证明NE8O=NEZ)8,N/7)C=NFCQ,则

ED=EB,FD=FC,据此根据三角形的周长公式和线段的和差关系求解即可.

【详解】解：•・•在B18C中，ZABC,N4C8的平分线交『点D,

:・/ABD=/CBD,/ACD=/BCD,

,:EF〃BC,

:./EDB=NCBD,ZFDC=/BCD,

：.IEBD=ZEDB,NFDC=NFCD,

:,ED=EB,FD=FC,

•：AB=6,JC=4,

...AAEF的周长=HE+EF+4F=4E+ED+FD+4F=AE+BE+AF+CF=AB+AC=10.

4.(25-26八年级上•四川成都•期末)如图，在出中，AB=AC=8,以4C为边向右侧作等边△力CO,

连接BD,将ABDC沿BD翻折得到“OC',过点力作力石〃和＞交，C'的延长线「点E,连接CE，若月£=2,

则LBCE的面积是____________________

【答案】T5百

【分析】'设乙CDB=£CDB=a、求出/E8Q=Z08C=30。，/E力C'=120。，进而解小力8石求得BE,再解

△ACE,求CE,可得BC=8C'最后解△E'BC求出高即可得解.

【详解】解：设4CDB=4CDB=a,

•・•AJDC为等边三角形，

Z.ADC=60°,

：.ZJDCr=60°-2a,

•：AB=AC=AD,

：.NABD=NADB=6b-a,

：.ABAD=60°+2a,

VZDJC=60°,

I.ABAC=^BAD-ZCAD=2a,

VAB=ACt

/.Z.ABC-N.4CB-90。一a,

.・.£DBC=NABC-NABD=90°-a-(60°-a)=30°,

由折叠可知4EBD=ZDBC=30°,

•・•AE//BD,

:.NAEB=NEBD=30°,

如简略图，在“HE中,过/作加/_L5£于点〃,

则==EH=^AE2-AH2=V3>

在中，BH=y]AB2-AH2=3V7»

:.BE=BH+EH=3\/7+6，

连接47,

E

则DA=DC=DC,

'：〃。。'=60。-2a,

・•・NDAC'=NDC'A=60。+a,

INEAD=N4DB=600-a,

；・Z.EAC=ZEAD+ZDAC=120°,

，LACE=180°-120°-30°=30°,

，AACE=NAEB,

/.AE=AC,

如图，

E

则C'£=2E，=2#,

・••BC=BC=BE-CE=3后-也,

在△EBC中,如图，过F作EG_L4C广点G,

E

VZC5£=2x30o=60°,

Z.ZZ?£，G=90°-60°=30°,

・1_3>/7+>/3

••BG=-BDEr=-----------,

22

36+石

•**EG=xf^BG=y/3X--------，

2

=取3不-G)xGx^^=l5G

•,电BCE=*EG

故答案为：156.

5.（25-26八年级上•福建漳州期末）如图，在出力AC中，£）3=90",43=8,BC=6,点尸在力C上，当

点P与出ABC中的两个顶点构成等腰三角形时，CP的长为

36

~5

【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的定义和性质等知识，分情况讨论是解题关键.

首先根据勾股定理确定/C的长度，然后结合等腰三角形的定义和性质，分情况讨论，即可获得答案.

【详解】解：VD5=90°,AB=S,BC=6,

2

：♦AC=3AB+BC2=j8?+62=10,

根据题意，点夕与出48c中的两个顶点构成等腰三角形，可分情况讨论,

①当“4尸为等腰三角形，且48=4P=8时，如下图，

贝IJC尸=力。一4。=10—8=2；

②当A/8尸为等腰三角形,且尸3=尸彳时,如下图,

VZJ5C=90°,

:.N4+NC=APBA+/PBC=90°,

・••ZC=乙PBC,

:.PB=PC=PA,

.*.CP=-^C=-xlO=5；

22

③当A。5尸为等腰三角形，且CB=C尸时，如下图,

④当△C8P为等腰三角形，且8C=B尸时，如下图，过点B作BHL4C于点H,

,/.=-ABBC=-ACBH,

zA/iBocC22

•:BC=BP,BHA.AC,

IV

:.PH=CH=工,

：,CP=PH+CH=—.

5

综上所述，C尸的长为2或5或6或日.

故答案为：2或5或6或孩.

题型二等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题（共5小题）

6.（25-26七年级下•上海金山•期末）如图，NB、/C的平分线相交于点。，过点D作EF//BC,交AB

于点交力。于点/，下列结论中：①=:②。尸=£。：③/8。。=90。+（乙4：④△彳E/周长=48+4。，

正确的有（）

A

A.①②B.①②④C.®®@D.①②③④

【答案】C

【分析】由电48C中，N8与/C的平分线交于点。，EF//BC,易证得ABEO和△。尸。都是等腰三角形，

继而可得斯=8E+CE,又由的周长为：AE+EF+AF=AE+BE+CE+AF=AB+AC：即可得

△AEF的周长等于AB与AC的和.

【详解】辘「EF//BC、

ZEDB=/DBC,Z.FDC=NDCB,

•••"4。中，N4与NC的平分线交于点。，

:.NEBD=/DBC,NFCD=NDCB,

zlEBD=zlEDB,乙FCD=zLFDC,

/.BE=DE,CF=DF,故①正确：

。户与瓦）不一定相等，故②错误；

・••在出月8。中，和NC的平分线相交于点力，

Z.DBC=-NABC,々BCD=-^ACB,

22

ZD5C+ZDCi?=|zJi?C+|zJCT=1（ZJfiC+ZJC2?）=1（180o-ZJ）=90o-yZJ,

.•.28。。=180。一（/。8。+/。。8）=90。+；/4,故③正确：

.•・△.4石户的周长为：

AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC,故④正确：

综上，正确的有①③④.

7.（25-26八年级上•安徽六安・期末）如图，出力8c是等边三角形，力。是N84。的角平分线，点E是射线

4。上一动点，连接CE,以CE为边在下方构造等边△CM,连接种，DF；有以下结论：QAE=BF；

②当/1E=2OE时，//CE=30。；③当48=12时，则。尸的最小值为3；④当/?,E,少三点共线时，AE=4DE；

其中正确结论个数是（）

H

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】利用等边三角形的性质证△/CEg/XBCF,进而证明线段相等，再结合角平分线的性质和垂线段

最短的性质来判断各个结论的正确性即可解答.

【详解】解：•.•18C、△。£尸都是等边三角形，

r.AC=BC,CE=CF,4cB=/ECF=6。0,

.・.Z4CB-ZECB=NECF-NECB,

即LACE=NBCF,

在△4CK和萩。『中，

AC=BC

NACE=NBCF,

CE=CF

.\A.4CE^A5CF（SAS）,

/.AE=BF,故①正确；

是等边三角形，是NR4c的角平分线，

ACAD=ABAD=,ADIBC,BD=CD,

当/E=2O£时，设。E=x,则在=2x,AD=AE+DE=3x,

在RdCO中，NOO=30。，

22

:.CD=^-ACtAD=yjAC-CD=43CD^

乙

CD=VJx>

在R3CDE中，CE=y/cD2+DE2=J（氐/+W=2x,

CE=AE,

AZJC£=ZOD=30°,故②正确；

•;"CEaBCF,

ZCBF=ACAE=3Q°f

.・•点F在与BC夹角为30。的直线上运动，

根据垂线段最短，当_L8尸时，0b的值最小,

•/AB=12

:.BD=-BC=-AB=6,

22

在/中，NCBF=30°,

；.DF=；BD=3,故③正确；

当B,E,/三点共线时，如图,

,,,AABC、△CE”都是等边三角形,

:.AC=BC,CE=CF,AACB=^ECF=60°,

AACB+Z.ECB=NEC尸+Z.ECB,

即£ACE=NBCF,

在△/CE和&ACT7中，

AC=BC

<NACE=NBCF,

CE=CF

:.^ACE^BCF(SAS),

AE=BF,

..•/CB尸=30。，ADIBC,

Z5CE=30°,BE=CE=EF,

设。£1=y,贝i]CE=2y,

：.BF=BE+EF=4y,

/.AE=BF=4y,

：.AE=4DE,故④正确；

8.(25-26八年级上•广东东莞•期末)如图，自18。中，NA4C=90。,48=是1C边的中线，有

AD1BM,垂足为点E交8c于点。，且AH平分NBAC交BM于N,交8c于，，连接DW,则下列结

论:

①NAMB=/CMD；②HN=HD；

③BN=AD：④NBNH=ZMDC；

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定与性质，灵活构造辅助线并运用全等三

角形的判定定理是解题的关键.通过证明多组三角形全等,分别对四个结论进行逐一验证，进而判断结论

的正确性.

【详解】解：如图，作<C_LC/1交力。延长线于K,

:AB=4C,/BAC=90。,4H平分NB4c,

B~HD\XC

\/

•

K

AHIBC,BH=CH,

AH=BH=CH,

vADIBM,

ZBHN=ZAEN=ZAHD=90°,

,:上BNH=ZANE,

:.£HBN=ADAH,

在△8HN和“〃。中，

ZHBN=NDAH

<AH=BH

NBHN=AAHD

.•.△B〃Ng"〃O（ASA）,

HN-DII,BN-AD,ZBNH=AADH=Z.CDK,故©®正确;

•••ZBAM=^ACK=90°,

：.ZBAE+ZCAK=90°,

乂NBAE+N4BM=90。,

：.NABM=NCAK,

在-ABM和△C/iK中，

ZABM=NCAK

AB=AC,

NBAM=ZACK

丝△CK(ASA),

:ZMB=NK,AM=CK=CM,

在cfeC7)M和中，

CM=CK

<NDCM=NDCK=45s,

CD=CD

；ACDM知CDK(SAS),

:2CDK=4CDM,/K=/CMD,

:./AMB=NCMD,NBNH=/MDC,故©®正确.

故选：A.

9.（25-26八年级上•山东德州•期末）如图，P是“氏4C内部一点，P关于4B、力。的对称点分别是点＜、

点心，连接46分别与AB,4C交于点M，点N,连接PM,PN，下列结论：①若ZBAC=30°,则△片鸟力

是等边三角形；②APMN的周长等于线段＜鸟的长；③尸/平分NM/W；④;/MPN+/8/C=90。.正确

A.①②③B.①②④C.D.①②③④

【答案】D

【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等边三角形的判定与性质，熟知轴对称的性质是解题的关键.

根据轴对称的性质，依次对所给结论进行判断即可.

【详解】解：•・•点P关于44、4c的对称点分别是点4、点2，

:.ZPAB=ZP\AB,/PAC=/RAC,AP=AF；tAP=AP2.

AP.=AP2fN/?4g=2N84C=60。.

.•.△6鸟/1是等边三角形，故①正确.

由轴对称可知，PM=RM,PN=RN,

.•.CAmv=PM+MN+PN=RM+MN+RN=:与故②正确.

由轴对称可知，△/^/^△P/M(SAS),WAN知PAN(SAS),

:.NAPM=AAPM,ZAPN=NAP,N.

vAPt=AP2,

ZAP.M=ZAP2N.

/APM=NAPN.

:.PA平分/MPN,故③正确.

•/Z4PM=ZAP}M,2APN=N4P?N,

/.ZMPN=NAPM+NAPN=NAPN+NAP^.

oZP}AP2+AAP^l+AAP2N=180P,

/.2ZBAC+/MPN=180°.

:.；NMPN+NB4c=90°,故④正确.

10.(25-26八年级上•黑龙江佳木斯•期末)如图，点4在直线BC上，4ABD、△/£<?都是等边三角形,

8E和力。交于点M,QC和力£交于点N.有如下结论：(1)△力丝△4)。；(2)AB=DN；(3)

AP+PD=BP；(4)”平分4PE；(5)是等边三角形.其中正确结论有()个

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线定义，怡当运用全等

三角形的判定和性质是解题的关键.根据等边三角形的性质可得三角形三边相等，三个角都是60。，易证

^ABE^ADC,&AMB绯DNA,“ME知ANC,为等边三角形，由三角形内角和定理证得

NDPB=NEPC=6（T,在A。4中，ZAND>^DAN：在BP上取一点产，使P”=，可证得AQP尸是等

边三角形及2BgDAP,据此可进一步来判断各个结论的正确性.

【详解】解：•••△480、△力EC都是等边三角形，

AB=AD，AE=AC,ZDAB=ZEAC=60°,

：.NDAB+/DAE=NEAC+NDAE,即/BAE=ZDAC,

在八川必和△4DC中,

AB=AD

-ZBAE=/DAC,

AE=AC

；A4BEOADC（SAS）,故（1）正确;

♦;“BD、△/EC都是等边三角形，

ZDAH=ZEAC=60°,

../MAN=1800-60c_60G_60c,

NBAM=NDAN=60。,

•/4ABE公AADC,

/.NABM=ZADN.

在“8”和△4DN中,

ZBM=NADN

<AB=AD,

NBAM=NDAN

:a4BM@"DN（/iS/i）,

AM=AN,

「.△/MN是等边三角形，故（5）正确：

=60。，

:"AND=60°+NDNM>60°,

ZAND>/DAN,

:.AD>DN,

AB=AD^

：.AB>DN,故（2）错误；

v,如图，

，Z.CDA=/ABE,

NDMP=/AMB,

.\lSO°-(NCDA+2DMP)=180°-(/ABE+ZAMB),即ZDPM=NBAM=60°,

在BP上取一点尸，使=则¥'是等边三角形,

/.DF=DP,NPDF=ZDFP=60°=AADB,

ZBDF=/PDA,

:ADBF%DAP(SAS),

:.BF=AP,

；.”+PD=BF+PF=BP,故(3)正确；

•••ZBFD=NAPD,

.-.180。-NBFD=1800-ZJPD,即ZAPC=ADFP=60°,

<NEPC=/DPF=60°.

:.ZAPC=ZEPC=60°,

.•・CP平分4PE,故(4)正确.

综上所述，(1)(3)(4)(5)正确，

故选：C.

题型三等腰（等边）三角形的性质和判定综合问题（共5小题）

11.（25-26八年级上•陕西安康•期末）如图，在四边形48C。中，AD//BC,点E为边CZ）上一点，AE,

8七分别平分/。力8,NCBA,延长力E交8c的延长线于点尸.

（I）求证：是等腰三角形；

（2）若力力=2,4C=4,求48的长.

【答案】（1）见解析

⑵6

【分析】（1）由4Q〃8C,得NO月8+N4BC=180。，因为/5力£=上/。月4,/ABE=ZCBE，NABC,

22

所以/在8=；（/。/8+/4?。）=9。，则N4EB=NFEB=90°,而6E=8E,可根据“ASA”证明

△ABE以FBE,得4B=FB，即可解答；

（2）由全等三角形的性质得力E=由4O〃8C,得ND=NECF,而4EQ=NbEC,可根据“AAS”

证明△ZEOgaEEC,得力D=R7=2,即可解答.

【详解】（1）证明：•.FOII6C,

/.ZDAB+ZABC=\^O0,

•/AE,8£分别平分/。/4,/CBA,

NBAE=1/DAB,4ABE=4CBE=、NABC,

22

;./FEB=NBAE+ZABE=；&DAB+N4BC）=90,

:.N4EB=/FEB=90。,

在和△/8月中，

/ABE=4FBE

BE=BE,

Z.AEB=/FEB

AABE经△FBE（ASA）,

AB=FB>

・・.△”尸是等腰三角形；

（2）解：由（1）得A4BE丝AFBE,

AE=FE，

•.•AD||BC,

:.ND=NECF,

在△月和△立《中，

ZED=NFEC

•ND=/ECF,

AE=FE

AJ^D^AraC（AAS）,

ADFC-2,

•/BC=4,

AB=FB=FC+BC=2+4=6,

.:川？的长是6.

12.(25-26八年级上•贵州遵义•期末)如图，在。中，N比1C=9()。，=AC,点。是边8C上的

一个动点(不与8、C重合).连接4。，以点力为直角顶点，以月。为一边作Rt△力。E,使力。=花，边DE

交4c于点尸.

(2)若8。=2,求CE的长；

(3)若点。是3C的中点，试判断。尸与力。是否垂直？请说明理由.

【答案】(1)见解析；

(2)CE=2；

(3)DF1AC,理由见解析.

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应

用是解题的关键.

(1)先证明=然后通过“SAS”证明即可；

(2)通过全等三角形的性质即可求解；

(3)由点。是4c的中点，AB=AC,/8/C=90。，则有/O_Z5C,//出。=/4。8=45。，再求出

ZJD£=45°,则有NC£>/=45。，最后通过三角形内角和定理即可求解.

【详解】(1)证明：•；NB4c=/D4E=90。,

工/BAD+ACAD=ZCAE+ACAD=90°,

:.<BAD=NCAE,

在△48。和△力工中，

AB=AC

•NBAD=ZCAE,

AD=AE

J"BDg"CE(SAS):

(2)解：由(1)得：△ABDWAACE,

・•・CE-BD-2\

(3)解:DF1AC,理由:

如图，

丁点。是8c的中点，AB=AC,NBAC=9G,

：,AD1BC,^ABC=ZACB=45°,

:.2OC=90。，

VAD=AE,^DAE=9Q°,

:.N/QE=45。，

ACDF=ZADC-ZADE=90°-45°=45°,

・•.£CFD=1800-ZCDF-ZJCD=180°-45°-45°=90°,

・•・DF±AC.

13.（25-26八年级上•湖北荆门•期末）EABC、△力8E都是等边三角形.

(1)如图1,当C、8、E在一条直线上时，求证：AE=CD；

(2)如图2,将AOB&绕着点8旋转，。延长线与4E交于点尸，则乙的度数是多少？为什么？

(3)如图3,当△。8E的边长为4,且N4EC=120°时，若G为AC边的中点，求EG的长.

【答案】(1)见解析

(2)60°

(3)2

【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用.

(1)证明任月8£织C8Q(SAS),即可得证：

(2)同理可得任/出E*?BQ(SAS),根据三角形的内角和定理，即可求解：

(3)延长4瓦C。交于点"，延长EG至H,使得G〃=EG,同理可得出川汜丝&C8O(SAS)得出/E=C。，

NBAE=/BCD,进而证明△EMC是等边三角形，得出NEC"=60。，证明"GEg4CG〃(SAS)得出

ZJEG=ZG7/C,即可证明4E/7C7/,得出NEC"=NECO=600,进而证明AECT?军△石C7/(SAS),得出

EH=ED=4,即可求解.

【详解】(I)证明：・・・金/18。、AOBE都是等边三角形，

・•.AB=BC,EB=DB^ABC=ZEBD=60°,

・•・"BE=/CBD,

：.(^ABE^CBD(SAS)t

：.AE=CD；

(2)解：Z/1FC=60°,理由如下，

V<hABC.都是等边三角形，

AB=BC,EB=DB,NABC=ZEBD=60°,NC4B=ZACB=60。，

AABE=ZCBD=60°-NABD,

；.&1BE3CBD(SAS),

:./EAB=/DCB,

取上EAB=4DCB=a、

・•・Z.CAF=Z.CAB+Z.BAF=60。+a,NACF=Z.ACB-Z.DCB=60°-a,

:.LAFC=\80°-NCAF-ZJCF=180°-(60°+a)-(600-a)=60°；

(3)解:如图所示，延长4邑8交于点M,延长EG至"，使得GH-EG,

A

图3

同理可得&力9fHe(SAS),

AAE=CD,NBAE=/BCD,

；・2MAC=60°-Z.BAE,ZACM=60°+4BCD,

・•・ZM=1800-NMAC-NMCA=60°,

又•:ZAEC=\20°,

・•・ZCEM=60°,

:.NM=/C£W=60°,

・•・是等边三角形，

・•・/ECM=60。,

•••G为NC边的中点,

,AG=GC,

XVZAGE=ZCGfi,

Z.^AGE^CGH(SAS),

/.AE=CH,Z.AEG=Z.GHC,

：.CD=CH,AE//CH,

/.ZECH=1800-NAEC=60°,

I.LECH=NEC。=60°,

又；EC=EC,

/.4ECD^A£C/7(SAS),

:・EH=ED=4,

EG=-EH=2.

2

14.(24-25七年级下•山东济南•期末)如图，在a/4c中，AB=AC,ZBAC=a(00<a<60°),射线CM

交线段48于点。，作点4关于射线CA7的对称点尸.直线片尸与直线8c交于点。，与射线C"交于点〃，

连接CP交48于点E.

，PBC勺BC%BC

ffll图2图3

⑴如图1,当点尸位于直线BC上时，NAPC=______。(用含a的代数式表示)；

(2)如图2,当44。。=。时，判断尸。与。8的数量关系,并说明理由：

(3)如图3,当CPl/B时，连接£尸，若力〃=2,BP〜后,则0C=______.

【答案】…/

(2)尸。=。8,理由见解析

⑶后

【分析】(I)设ZJPC-x,根据轴对称的性质得出NP/1C-N*FC-%,从而得出

N"8=/P4C-N84C=x-a,根据等边对等角得N/1呢=AACB=9(F-'a,由N4PC+NPZ8=48C

2

列出方程x+x-a=90。-ga,求解可得答案；

(2)证明△b0%/8Q(ASA),根据全等三角形的性质可得结论；

(3)在C”上截取C/=/P,连接力产，证明△/。尸且^84尸(SAS),得"=BP=«，根据勾股定理得出"/

的值，进而再根据勾股定理得出结果.

【详解】(1)解：设4PC=x,

・.•点A与点P关于射线CM对称，ZBAC=a(O°<a<60°),

/.AC=CP,

：.ZPAC=ZAPC=x,

：.APAB=APAC-NBAC=x—a,

VAB=AC,NBAC=a,

/./J^C=/JC«=i(180o-rz)=90°-1rz.

•I4PC+ZPAB=NABC,

x+x-a=90°--a,

2

:.x=45°+-(z,

4

ZJPC=45°+-«；

4

(2)解：PQ=QB.

理由：由(1)知：/.ABC=90°—a,

2

AAQC=a,

・•・Z.PAB=ZABC-ZAQC=90°-^a-a=90°-^a,

31

:.AAPC=NPAC=ZBAC+ZPAB=a+90°--a=90°一一a,

22

LAPC=NABC,

Al80°-ZAPC=180°—/ABC,

・•./CPQ=/ABQ,

,:£BEC=NAEP,

1800-ZABC-NBEC=1800-NAPC-44EP,

即NPCQ=NBAQ,

VAB=AC>AC=CP»

:・CP=AB,

在。。和180中，

VPCQ=ZBAQ

<CP=AB,

/CQP=NAQB

ACP0g△480(ASA),

:.PQ=QB：

(3)解:如图，

在C〃上截取C/=/仍，连接力尸，

丁点彳与点尸关于射线CA/对称，AH=2,BP=5

・・・N/HO=90°,AC=CP,CF=AP=2AH=4,

：.ZACF=Z.PCH,

•:CPLAB,

；・/DEC=90。=NAHD,

ZADH=ZCDE,

，HBAP=NPCH,

：.ZACF=ZBAP.

在△43和△840中，

AC=BA

/ACF=/BAP,

CF-AP

・•.A/C/且△胡尸(SAS),

,AF=BP=旧，

FH=\IAF2-AH2=J(肩-22=1,

：.CH=CF+FH=4+[=5,

:，AC=yJCH2+AH2=V52+22=729-

15.(2526八年级上•福建泉州•期末)如图，向仍。和dUOE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,H

NB/1C=NDAE,连接80、CE.

(1)如图1,求证：BD=CE；

(2)如图2,已知点力在8c边上，/84C=/D4E=108。，BC=\2.若尸为BC上的一点,且

ZBAD+ZFAC=54°,求△EFC的周长：

(3)如图3,已知41。=/£＞就=120。，点。为4。的中点，过点。作。。的垂线。”(点〃在4c上方)，

连接。〃、All.当NZ)8C=ZJC〃时，试求ND4"的度数.

【答案】(1)见解析

⑵12

(3)60°

【分析】(1)先证明ND48=N£4C,证明且"EQSAS)即可得到结论；

(2)rh(1)可知，/\ADB迫4AEC,得到8O=CE,N历1O=NC4E,证明/D4W=/后4/，得到"一垂直

平分。E,证明。尸=E产，C^FC=EF+CF+CE=DF+CF+BD=BC即可得到答案；

(3)延长。。至点G,使得OQ=G。，连接GC,DH,GH,EH,证明△8OQgACGQ(SAS),求出

/ABC=/ACB=-^~~^——-=30。，证明AGC〃丝△ECH(SAS),证明力，垂直平分QE,即可求出/。4〃

2

的度数为60。.

【详解】(I)解：•；/BAC=ND4E,

：.ABAC-/BAE=ZDAE-/BAE,

即/DAB=/EAC,

在〉。8和中，

AD=AE

,NDAB=NE4C

AB=AC

/.A(SAS),

二.BD=CE；

(2)解：同(1)可得，AADB名/\AEC,

/.BD=CE、/BAD=NCAE.

NB4D+N"C=54。,

ZCAE+/FAC=/EAF=54°,

/.NDAF=NDAE-ZEAF=108°-54°=54°,

即LDAF=NEAF.

乂是等腰三角形

""垂直平分。E,

/.DF=EF,

/.=EF+CF+CE=DF+CF+BD=BCT2

即AEFC的周长是12；

(3)解：如图，延长。。至点G，使得QQ=G0,连接GC,DH,GH,EH,

•・•。为4。中点,

BQ=CQ.

•.•在△80。和ACG。中,

DQ=GQ

<NB0D=NCQG,

BQ=CQ

:ABDQ知CGQ(SAS),

/.NDBC=NGCB、BD=CG.

•「NDBC=ZACH,

...NGCB=/ACH,

•••^HAC=\2G°,AB=AC,

I800-'C=3U

:.ZABC=NACB=

2

ZABD+Z.DBC=30°,

同(1)可得，4ADB且44EC,

;"ABD=/ACE,BD=CE,

乂NDBC=NACH,

ZECH=/ACE+ZACH=NABD+/DBC=30°,

ZACD-乙ECII,

ZACB-^ACH=ZECH-^ACH,BPZHCQ=ZECA,

.•.ZHCQ+AGCB=ZECA+ZACH,

即NECH=NGCH，

•••BD=CG、BD=CE,

/.CG=CE,

•••在△GC〃和△ECH中，

CG=CE

<GCH=ZECH,

CH=CH

.•.△GC〃③EC〃(SAS),

:.HG=HE,

DQ=GQ、/DQH=90。,

:.HD=HG,

;.HD=HE,

又♦：AD=AE,

二./，垂直平分Of,

ZDAH=Z.EAH=1NDAE=60.

2

即ND4〃的度数为60。.

题型四等腰（边）三角形中的新定义型问题（共5小题）

16.（24-25八年级下•广东中山期末）定义：在出/18C中，BC=a,AC=bt4B=c,若^^十必二’?，则

称为“类直角三角形”.请根据以上定义解决下列问题：

（1）如1图，出49c为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由；

（2）如2图，等腰三角形出"C为”类直角三角形”，其中力。=4。，AB>AC,请求出的大小.

【答案】（1）等边三角形不是“类直角三角形”，理由见解析；

（2）/8的度数为45。.

【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理、“类勾股三角形”

的定义等知识.

（1）设等边三角形的三边长分别为。，b,C,则4=8=。，根据题意得到/+必=,2+'2=2/工—即可

判断:

（2）根据题意得到/+〃=。2,根据“类勾股三角形''的定义得到人=〃，得到是等腰直角三角形，根

据等腰直角三角形的定义求出.

【详解】（1）等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下：

设等边三角形的三边长分别为。，b，c,则。=6=c,

・二/+〃/>=M+c?=2〃wc2,

，等边三角形不是“类直角三角形”：

（2）•・•等腰三角形出48。是“类直角三角形"，AC=BC,AB>AC,

a'+ab=c2且6=。•

・•・a~2+b1~2=c~2.

是直角「角形，且NC=90。.

乂•,•〃=”，

是等腰直角三角形.

・••的度数为45。.

17.（24-25八年级上•江苏扬州•期末）定义：在cfe/BC中，若6C=a,4C=/>,=c,a、b、c满足"+/=//,

则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题：

（I）如图I所示，若等腰三角形48c是“类勾股三角形“，AB=BC,AC>AB.求/力的度数.

（2）如图2所示，在0,48。中，ZB=2ZJ,且NC>/4.求证：鱼48c为“类勾股三角形”.小明同学想到可

以在48上找一点。使得AD=CD,再作CE1BD.

①探索4CDB的形状并说明理由.

②请你帮助小明完成证明过程.

【答案】⑴乙4=45。；

（2）①等腰三角形，理由见解析；②见解析

【分析】（I）根据等腰三角形的性质，结合“类勾股三角形”的定义得到&是等腰直角三角形，由此即

可求解；

(2)①根据等边对等角得到4="CD,由三角形外角的性质得到NCQA=N4C力+=，结合题

意得到NCQB=N8,根据三角形的定义即可求解；

②根据等腰三角形的性质得至1」。£=昭=；(。一〃)，花=4)+Z)E=；(C+Q),在Rt"CE中，

CEl=AC1-AE1=b--)(c+。)，在RL8CE中，CE2=BC2-BE2=a2--(c-a),由此得到

■iirIi2

b2-；(c+a)=/_夕…)，结合”类勾股三角形”的定义即可求解.

【详解】3)解：•.•/8=8C,AC>AB,

•'•«=c,b>c,

♦.•48。是类勾股三角形，

:.ac+(r=Z>*，

c:+a2=b',

.•.△45C是等腰直角三角形，

/.ZJ=45°：

(2)解：①等腰三角形，理由如下：

•/AD=CD,

:.ZA=^ACD,

：.£CDB=Z.ACD+Z/f=2/J,

•/ZB=2ZJ,

ZCDB-NA,

・•.△COB是等腰三角形

②由①得CQ=C8=4，

/.AD=CD=a,

DB=AB-AD=c-a,

vCELAB,

:.DE=BE=^(c-a),

AE=AD+DE=1(c+a)

■112

在Rt△力CE中，CE2=AC2-AE2=b2-1(c+<z),

■112

在中，CE2=BC2-BE2=C2--(c-a),

「]]「I"I?

b2-2(C+Q)=a2--(c-tz),

b'=ac+a1,

“ABC是"类勾股三角形

18.(25-26八年级上•河南南阳期末)定义：在等腰三角形中，过某底角顶点的一条射线分这个底角所成

的两个角中恰好有一个角等于这个等腰三角形的顶角，那么称这条射线为这个等腰三角形的“等角分割

线己知在出48C中，AB=AC,点。在边力。上.

(I)如图1,如果BD=BC,求证：60是场月6。的“等角分割线、

(2)如图2,如果8O14C,且8。是的“等角分割线”，求NC的度数.

【答案】(1)见解析

(2)ZC=67.5°

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识点.

(1)由等边对等角得到乙48C=NC,NBDC=ZC,则乙48c=再由三角形的外角性质即可求证;

(2)先由等腰三角形性质以及三角形内角和定理得到乙4=180。-2/。，再由外角性质得到

N/8O=2NC—90。，NDBC=90。-NC,然后再分类讨论即可.

【详解】(1)证明：・・・力6=4。，

/ABC=ZC,

•IBD=BC,

・•・Z.BDC=ZC,

・•・ZABC=/BDC,

•：乙4BC=NABD+ZDBC,4BDC=ZJ+NABD,

：.Z.ABD+NDBC=ZA+NABD,

••・ZJ=NDBC,

・•・BD是EABC的“等角分割线”；

(2)解：VAB=AC,

・•・/ABC=NC,

■:乙4+48C+NC=18（F,

:.ZJ=1800-2ZC,

VBDLAC,

；・/BDC=90。,ZBDA=90°,

LBDC=NA+NABD,ABDA=4DBC+ZC,

・•.ZABD=4BDC-ZJ=90°-（180°-2ZC）=2ZC-90°,“BC=90°-ZC,

•・•BD是正ABC的“等角分刈线”，

.•.①//=/480,180°-2ZC=2ZC-90°,

解得：ZC=67.5°：

②乙4=/DBC,I8O°-2ZC=9O°-ZC,

解得：ZC=90°（舍去），

综上：ZC=67.5°.

19.（25-26八年级上•黑龙江牡丹江•期末）【阅读材料】定义：如图1,在恒48c中，AB=AC^BAC=90\

等边△48。在的左侧，连接CO,4F平分NCAD交CD于点F.则称等腰Rt△48C和"CQ互为"伴侣

三角形"，N/E8称为“伴侣角”.

(I)【解决问题】图2中，等边△/加。在48的右侧，其它条件不变，若等腰Rt△力8c和A/iC。互为“伴侣三

角殄求“伴侣角的度数;

(2)【拓展延伸】在(1)的条件下，AH1BC于点、H,如图3,探究/尸、EF,E”之间的数量关系，并加

以证明.

【答案】⑴60。

(2)4尸=25〃+£尸；证明见解析・

【分析】(1)根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质，得出/。。=90。-60。=3()。，根据角平分

线定义得出ZCAF=iZCAD=15°,根据三角形外角的性质得出4E8=尸+CB=15。+45。=60°:

(2)根据等腰三角形的性质得出NO"=-ABAC=4登，ZAHE=90°，求出=NCAH-4C4F=30°,

2

根据直角三角形的性质得出力E=2即，即可得出答案.

【详解】（1）解：•・•在出。中，AB=AC^BAC=90\

:.AACB=AABC=9伊=4竽，

•・•△480为等边三角形，

・•・N切0=60。，

:.ZCJD=90°-60°=30°,

VAF平分ACAD,

・•・ZCJF=-ZCJD=15°,

2

:.2AEB=/.CAF+ZACB=\50+45°=60°：

（2）解：AF=2EH+EF；

证明：VAB=AC,ZBAC=90°fAH1BC,

・•・ZCAH=-ABAC=4S,ZAHE=90°,

2

:.niAE=ZCJ/7-ZCAF=30°,

丁ZJ/7£=90°,

・•・AE=2EH,

：・AF=AE+EF=2EH+EF.

20.（25-26八年级上•江苏扬州,期末）【概念】直角三角形中，过直角顶点和斜边上一点的线段将直角分

成两个锐角，若这两个锐角的度数分别等于此直角三角形中的另外两个内角的度数，则称此线段为直角三

角形的“等锐角线

【辨析】图1中Rt△48C有条“等锐角线”；

图2中若4。是的“等锐角线”，PMABAD=