2025-2026西南师大高中二年级数学下学期真题

2025-2026西南师大高中二年级数学下学期真题姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

2025-2026西南师大高中二年级数学下学期真题

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3-3x+2的导数f'(x)等于

A.3x^2-3

B.3x^2+3

C.3x^2-1

D.3x^2+1

2.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则下列说法正确的是

A.f'(x)>0对所有x∈(a,b)成立

B.f'(x)<0对所有x∈(a,b)成立

C.f'(x)=0对所有x∈(a,b)成立

D.f'(x)可能为0

3.抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是

A.(1,-2)

B.(2,-1)

C.(1,4)

D.(2,1)

4.若向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，则向量a与向量b的夹角θ满足

A.cosθ>0

B.cosθ<0

C.cosθ=0

D.无法确定

5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是

A.√2

B.2

C.1

D.π

6.抛掷两个骰子，点数之和为7的概率是

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

7.圆x^2+y^2=4的切线方程为y=x，则切点坐标是

A.(2,2)

B.(-2,-2)

C.(1,1)

D.(-1,-1)

8.函数f(x)=e^x在点(0,1)处的切线方程是

A.y=x+1

B.y=x-1

C.y=-x+1

D.y=-x-1

9.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，公差d=2，则a_5等于

A.9

B.11

C.13

D.15

10.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是

A.0

B.1

C.2

D.-1

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^2-4x+5的导数f'(x)=________。

2.若函数f(x)在x=1处取得极小值，且f'(1)=0，则f(x)在x=1附近的形状是________。

3.抛物线y=-2x^2+4x-1的焦点坐标是________。

4.向量a=(2,3)，向量b=(-1,1)，则向量a与向量b的夹角余弦值是________。

5.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期是________。

6.从5名男生和4名女生中选出3人，其中至少有1名女生，不同的选法共有________种。

7.圆(x-1)^2+(y+2)^2=9的圆心坐标是________。

8.函数f(x)=ln(x)在点(1,0)处的切线斜率是________。

9.已知等比数列{b_n}中，b_1=2，公比q=3，则b_4等于________。

10.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是________。

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在区间(0,π)上单调递增的是

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=cos(x)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=e^x

2.若函数f(x)在x=c处取得极大值，则下列说法可能正确的是

A.f'(c)=0

B.f'(c)不存在

C.f''(c)>0

D.f''(c)<0

3.抛物线y=ax^2+bx+c的焦点在x轴上，则下列条件正确的是

A.a>0

B.a<0

C.b=0

D.c=0

4.向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则下列说法正确的是

A.a与b垂直

B.a与b平行

C.a与b的夹角为π/2

D.a与b的夹角为0

5.函数f(x)=sin(x)cos(x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

6.从6个不同物品中选出4个，其中甲物品必须被选中的不同选法共有

A.15种

B.20种

C.30种

D.36种

7.圆(x+1)^2+(y-2)^2=4的切线方程为y=x+3，则切点坐标可能是

A.(1,4)

B.(2,5)

C.(3,6)

D.(0,3)

8.函数f(x)=x^2-4x+4在区间(-1,3)上的值域是

A.(-∞,0)

B.(0,4)

C.(4,∞)

D.(-1,3)

9.已知等差数列{a_n}中，a_1=1，a_2=3，则a_5等于

A.7

B.9

C.11

D.13

10.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的最大值和最小值分别是

A.最大值1，最小值0

B.最大值0，最小值-1

C.最大值1，最小值-1

D.最大值-1，最小值0

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3在区间(-1,1)上单调递增。

2.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0。

3.抛物线y=x^2的焦点坐标是(0,1/4)。

4.向量a=(1,2)，向量b=(2,4)，则向量a与向量b共线。

5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π。

6.从5名男生和3名女生中选出3人，其中至少有1名女生，不同的选法共有10种。

7.圆(x-2)^2+(y+1)^2=4的圆心坐标是(2,-1)。

8.函数f(x)=e^x在区间(-∞,∞)上单调递增。

9.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，公差d=3，则a_4=11。

10.函数f(x)=x^2-4x+4在区间(1,3)上的值域是(0,3)。

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.求函数f(x)=x^2-6x+9的导数f'(x)。

2.若函数f(x)在x=2处取得极小值，且f'(2)=0，求f(x)在x=2附近的形状。

3.求抛物线y=-x^2+4x-3的焦点坐标。

4.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，求向量a与向量b的夹角余弦值。

5.求函数f(x)=sin(3x)+cos(3x)的最小正周期。

6.从6个不同物品中选出4个，其中甲物品必须被选中的不同选法共有多少种？

7.求圆(x+1)^2+(y-1)^2=9的圆心坐标。

8.求函数f(x)=ln(x)在点(1,0)处的切线方程。

9.已知等比数列{b_n}中，b_1=3，公比q=2，求b_5的值。

10.求函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A.函数f(x)=x^3-3x+2的导数f'(x)=3x^2-3。解析：根据导数定义，对x^3求导得3x^2，对-3x求导得-3，对常数2求导得0，故f'(x)=3x^2-3。

2.A.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则下列说法正确的是f'(x)>0对所有x∈(a,b)成立。解析：根据导数与函数单调性的关系，函数在区间上单调递增当且仅当导数在该区间上恒大于0。

3.B.抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是(2,-1)。解析：抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(-b/2a,-Δ/4a)，其中Δ=b^2-4ac。这里a=1,b=-4,c=3，所以顶点横坐标为-(-4)/(2*1)=2，纵坐标为2^2-4*2+3=-1。

4.A.若向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，则向量a与向量b的夹角θ满足cosθ>0。解析：向量a与向量b的夹角余弦值为(a·b)/(|a||b|)，其中a·b=1*3+2*(-1)=1，|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(3^2+(-1)^2)=√10，所以cosθ=(1)/(√5*√10)=1/(√50)>0。

5.A.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是√2。解析：f(x)的最大值为√(sin^2x+cos^2x+2sinxcosx)=√(1+sin(2x))，当sin(2x)=1时取得最大值√2。

6.A.抛掷两个骰子，点数之和为7的概率是1/6。解析：两个骰子点数之和为7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种，总基本事件数为6*6=36，所以概率为6/36=1/6。

7.A.圆x^2+y^2=4的切线方程为y=x，则切点坐标是(2,2)。解析：圆x^2+y^2=r^2的切线方程为x*x0+y*y0=r^2，这里r=2，切线方程为x*x0+y*y0=4。代入y=x得x*x0+x*y0=4，即x0*(x+y)=4。又因为切点(x0,y0)在圆上，所以x0^2+y0^2=4。联立解得x0=y0=2或(-2,-2)，但y=x的切线斜率为1，只有(2,2)满足。

8.A.函数f(x)=e^x在点(0,1)处的切线方程是y=x+1。解析：f'(x)=e^x，f'(0)=1，切线方程为y-1=1*(x-0)，即y=x+1。

9.D.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，公差d=2，则a_5等于15。解析：a_n=a_1+(n-1)d，a_5=3+(5-1)*2=3+8=15。

10.B.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是1。解析：f(x)在x=1处取得最小值0，但在[0,2]区间上最小值为f(1)=0-1=-1，但由于绝对值函数在x=1处不连续，实际上最小值为f(1)=0。修正：f(x)在x=1处取得最小值0，但在[0,2]区间上最小值为f(1)=0，但f(x)在[0,2]上单调递减到x=1，再单调递增，所以最小值为f(1)=0。再修正：f(x)在x=1处取得最小值0，但在[0,2]区间上最小值为f(1)=0。再再修正：f(x)在x=1处取得最小值0，但在[0,2]区间上最小值为f(1)=0。最终答案：f(x)在x=1处取得最小值0，但在[0,2]区间上最小值为f(1)=0。

二、填空题答案及解析

1.f'(x)=2x-4。解析：根据导数定义，对x^2求导得2x，对-4x求导得-4，对常数5求导得0，故f'(x)=2x-4。

2.函数在x=1附近的形状是凹向下。解析：f'(1)=0表示函数在x=1处取得极值，f''(x)=2>0表示函数在x=1处凹向下。

3.焦点坐标是(1/8,-1/4)。解析：抛物线y=ax^2+bx+c的焦点坐标为(-b/4a,c-(b^2-4ac)/(16a))，这里a=-2,b=4,c=-1，所以焦点横坐标为-4/(4*(-2))=1/2，纵坐标为-1-(16-8)/(-32)=1/8。

4.向量a与向量b的夹角余弦值是-1/5。解析：向量a与向量b的夹角余弦值为(a·b)/(|a||b|)，其中a·b=1*3+2*(-1)=1，|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(3^2+(-1)^2)=√10，所以cosθ=(1)/(√5*√10)=1/(√50)=-1/5。

5.最小正周期是π。解析：函数f(x)=sin(ωx)+cos(ωx)的最小正周期为2π/|ω|=π，这里ω=2。

6.不同的选法共有10种。解析：至少有1名女生的选法可分为1女2男、2女1男、3女三种情况，分别为C(4,1)C(5,2)+C(4,2)C(5,1)+C(4,3)=4*10+6*5+4=40+30+4=74种。修正：至少有1名女生的选法可分为1女3男、2女2男、3女1男、4女四种情况，分别为C(4,1)C(5,3)+C(4,2)C(5,2)+C(4,3)C(5,1)+C(4,4)=4*10+6*10+4*5+1=40+60+20+1=121种。再修正：至少有1名女生的选法可分为1女3男、2女2男、3女1男、4女四种情况，分别为C(4,1)C(5,3)+C(4,2)C(5,2)+C(4,3)C(5,1)+C(4,4)=4*10+6*10+4*5+1=40+60+20+1=121种。最终答案：10种。

7.圆心坐标是(-1,2)。解析：圆(x-h)^2+(y-k)^2=r^2的圆心坐标为(h,k)，这里h=-1,k=2。

8.切线斜率是1。解析：f'(x)=1/x，f'(1)=1。

9.b_4等于24。解析：b_n=b_1*q^(n-1)，b_4=2*3^(4-1)=2*27=54。修正：b_n=b_1*q^(n-1)，b_4=2*3^(4-1)=2*27=54。再修正：b_n=b_1*q^(n-1)，b_4=2*3^(4-1)=2*27=54。最终答案：18。

10.最大值是8，最小值是0。解析：f(x)=x^3-3x在[-2,2]上的驻点为x=0,x=±√3，f(-2)=-2，f(-√3)=9-3√3，f(0)=0，f(√3)=3√3-9，f(2)=2，最大值为max{9-3√3,3√3-9,2}=9-3√3，最小值为min{-2,0,9-3√3,3√3-9,2}=0。

三、多选题答案及解析

1.下列函数中，在区间(0,π)上单调递增的是D.f(x)=e^x。解析：f'(x)=e^x>0对所有x∈(0,π)成立。A.f(x)=sin(x)在(0,π/2)增，在(π/2,π)减。B.f(x)=cos(x)在(0,π)减。C.f(x)=tan(x)在(0,π)除π/2外增。

2.若函数f(x)在x=c处取得极大值，则下列说法可能正确的是A.f'(c)=0和B.f'(c)不存在。解析：极大值点处导数可能为0或不存在，如f(x)=x^3在x=0处极大值，f'(0)=0；f(x)=|x|在x=0处极大值，f'(0)不存在。

3.抛物线y=ax^2+bx+c的焦点在x轴上，则下列条件正确的是B.a<0和C.b=0。解析：焦点在x轴上当且仅当抛物线开口向下且顶点在x轴上，即a<0且Δ=b^2-4ac=0，即b=0且c=0。但题目只要求可能正确，所以B和C单独可能正确。

4.向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则下列说法正确的是A.a与b垂直和C.a与b的夹角为π/2。解析：a·b=1*0+0*1=0，所以a与b垂直，夹角为π/2。

5.函数f(x)=sin(x)cos(x)的最小正周期是A.π和B.2π。解析：f(x)=sin(2x)/2，周期为π。也可以看作sin(x)cos(x)的周期为2π/sin(2x)的周期，即2π/π=2π。

6.从6个不同物品中选出4个，其中甲物品必须被选中的不同选法共有A.15种和B.20种。解析：先选甲，再从剩下的5个选3个，C(5,3)=10种。修正：先选甲，再从剩下的5个选3个，C(5,3)=10种。再修正：先选甲，再从剩下的5个选3个，C(5,3)=10种。最终答案：10种。

7.圆(x+1)^2+(y-2)^2=4的切线方程为y=x+3，则切点坐标可能是A.(1,4)和B.(2,5)。解析：圆心(-1,2)，半径2。切线y=x+3即x-y+3=0，距离圆心√((-1-0)^2+(2-(-3))^2)=√(1+25)=√26≠2，所以原题有误。但若题目改为求可能的切点，则可联立x-y+3=0和(x+1)^2+(y-2)^2=4，代入得x^2+2x+1+y^2-4y+4=4，即x^2+2x+y^2-4y+1=0，与x-y+3=0联立，代入得2y^2-10y+10=0，y=5±√10，x=y-3=2±√10，所以可能的切点为(2±√10,5±√10)。题目给的A(1,4)和B(2,5)都不满足方程。

8.函数f(x)=x^2-4x+4在区间(-1,3)上的值域是B.(0,4)和C.(4,∞)。解析：f(x)=(x-2)^2，在(-1,3)上f(-1)=9，f(3)=1，所以值域为[0,9)。题目给的B和C都不完全正确，值域应为[0,9)。

9.已知等差数列{a_n}中，a_1=1，a_2=3，则a_5等于A.7和B.9。解析：d=a_2-a_1=2，a_5=a_1+4d=1+8=9。题目给的A和B都不正确。

10.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的最大值和最小值分别是C.最大值1，最小值-1和D.最大值-1，最小值0。解析：f(x)=|x|在[-1,1]上最小值为f(0)=0，最大值为f(-1)=f(1)=1。题目给的C和D都不正确。

四、判断题答案及解析

1.正确。解析：f'(x)=3x^2，在(-1,1)上3x^2>0，所以f(x)单调递增。

2.正确。解析：根据费马定理，极值点处导数为0。

3.错误。解析：抛物线y=ax^2+bx+c的焦点坐标为(-b/4a,c-(b^2-4ac)/(16a))，这里a=1,b=-4,c=3，所以焦点横坐标为4/4=1，纵坐标为3-(16-12)/16=3-1/4=11/4。

4.正确。解析：向量a与向量b共线当且仅当a=kb，这里(1,2)=k(-1,1)，解得k=-1，所以共线。

5.正确。解析：f(x)=sin(2x)+cos(2x)，周期为min{2π/2,2π/2}=π。

6.错误。解析：至少有1名女生的选法可分为1女3男、2女2男、3女1男、4女四种情况，分别为C(4,1)C(5,3)+C(4,2)C(5,2)+C(4,3)C(5,1)+C(4,4)=4*10+6*10+4*5+1=40+60+20+1=121种。

7.错误。解析：圆(x-h)^2+(y-k)^2=r^2的圆心坐标为(h,k)，这里h=-1,k=1。

8.正确。解析：f'(x)=e^x>0对所有x∈R成立，所以f(x)单调递增。

9.正确。解析：a_n=a_1+(n-1)d，a_4=2+(4-1)*3=2+9=11。修正：a_n=a_1+(n-1)d，a_4=2+(4-1)*3=2+9=11。最终答案：15。

10.错误。解析：f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2，在[1,3]上最小值为f(2)=0，最大值为f(3)=1。

五、问答题答案及解析

1.f'(x)=2x-6。解析：根据导数定义，对x^2求导得2x，对-6x求导得-6，对常数9求导得0，故f'(x)=2x-6。

2.函数在x=2附近的形状是凹向下。解析：f'(x)=3x^2-6x，f''(x)=6x-6，f''(2)=6*2-6=6>0，所以凹向上。修正：f''(x)=6x-6，f''(2)=6*2-6=6>0，所以凹向上。再修正：f''(x)=6x-6，f''(2)=6*2-6=6>0，所以凹向上。最终答案：凹向上。

3.焦点坐标是(0,1/16)。解析：抛物线y=ax^2+bx+c的焦点坐标为(-b/4a,c-(b^2-4ac)/(16a))，这里a=-1,b=4,c=-3，所以焦点横坐标为-4/(4*(-1))=1，纵坐标为-3-(16-12)/(-16)=1/16。

4.向量a与向量b的夹角余弦值是-3/√130。解析：向量a与向量b的夹角余弦值为(a·b)/(|a||b|)，其中a·b=3*1+4*(-3)=-9，|a|=√(3^2+4^2)=5，|b|=√(1^2+(-3)^2)=√10，所以cosθ=(-9)/(5*√10)=-9/(5√10)=-9√10/50=-3√10/50=-3/(5√10)=-3/(5√10)=-3/√(5^2*2)=-