2026秋北师9年级数学导教导学案9 第9课　一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

第9课一元二次方程根与系数的关系方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为x＝

(Δ≥0)，根的判别式：Δ＝b2－4ac.1.探究两根和、两根积与a，b，c的关系：(1)x1＋x2＝

＝____；(2)x1x2＝

＝______.一元二次方程根与系数的关系：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为x1，x2，则：两根和：x1＋x2＝－

；两根积：x1·x2＝

.该关系使用的前提条件是_______.Δ≥02.例如：x2＋3x＋2＝0.a＝_____，b＝_____，c＝____；x1＋x2＝－

＝_____；

x1·x2＝

＝____.132－323.(2025·南海区月考)已知x1，x2分别是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个根，则x1＋x2－x1x2的值为

.84.(2025·南海区月考)若x1，x2是方程x2＋x－6＝0的两个根，则x1x2－x1－x2的值为

()A.6B.－6C.4D.－5D5.若x1，x2是方程x2＋4x－3＝0的两个根，求下列各式的值：(1)x1＋

x2；(2)

＋

.22解：∵a＝1，b＝4，c＝－3，∴x1＋x2＝－

＝－4，x1·x2＝

＝－3.(1)x1＋

x2＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－4)2－2×(－3)＝22；22(2)

＋

＝＝＝

.6.若x1，x2是方程2x2－4x－3＝0的两个根，求下列各式的值：(1)(x1－3)(x2－3)；(2)(x1－x2)2.解：∵a＝2，b＝－4，c＝－3，∴x1＋x2＝－

＝2，x1·x2＝

＝－

.(1)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－

－3×2＋9＝

；(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝22－4×(－)＝10.课堂总结：要熟练掌握以下变形：(1)x1＋x2＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)x1x2＋x1x2＝x1x2(x1＋x2)；(3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(4)|x1－x2|＝

；(5)

；(6)(x1＋a)(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2.

22227.已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个实数根.(1)求实数m的取值范围；解：(1)∵x2－4x－2m＋5＝0有两个实数根，∴Δ＝(－4)2－4×1×(－2m＋5)≥0.∴m≥

.(2)若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2＋x1＋x2＝m2＋6，求m的值.解：(2)∵x1，x2是该方程的两个根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝－2m＋5.∵x1x2＋x1＋x2＝m2＋6，∴－2m＋5＋4＝m2＋6.

∴m1＝－3，m2＝1.∵m≥

，∴m＝1.8.已知关于x的一元二次方程x2＋6x－m2＝0.(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；(1)证明：依题意，得Δ＝62－4×1×(－m2)＝36＋4m2>0，∴该方程有两个不相等的实数根.(2)若该方程的两个实数根x1，x2满足x1＋2x2＝－5，求m的值.(2)解：依题意，得x1＋x2＝－6，又∵x1＋2x2＝－5，∴x2＝1.∴12＋6×1－m2＝0，解得m＝±.9.(2025·南山区月考)若方程2x2－7x＋m＝0的两根之积为

3，则m的值为

.610.若矩形的长和宽是关于x的方程2x2－8x＋m＝0的两个根，则矩形的周长为

(

)A.8B.4C.2D.6A11.(2025·宝安区期中)设m，n是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两个根，则m2＋4m＋n的值为

.12.已知关于x的一元二次方程x2－10x＋k＝0的一个根为5＋

，则方程的另一个根为________，k＝_____.25－2213.(2025·南海区期中)已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋3(m－2)＝0的两个实数根.

(1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根.(1)证明：∵x2－(m＋1)x＋3(m－2)＝0，Δ＝[－(m＋1)]2－4×1×3(m－2)＝m2＋2m＋1－12m＋24＝m2－10m＋25＝(m－5)2≥0，∴无论m为何值，方程总有两个实数根.(2)当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？(2)解：依题意，得AC＋AB＝m＋1，AC·AB＝3(m－2).∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，∴BC2＝AB2