吉林省延边市2026年上学期九年级数学期中试卷附答案

上学期九年级数学期中试卷一、选择题1．已知，下列比例式中，正确的是（）A． B． C． D．2．方程的根是（）A． B．C．， D．，3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．菱形4．二次函数的顶点坐标是（）A． B． C． D．5．已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（）A． B． C． D．6．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=157．甲、乙两家公司年的利润统计图如下，比较这两家公司的利润增长情况（）A．甲始终比乙快 B．甲先比乙慢，后比乙快C．甲始终比乙慢 D．甲先比乙快，后比乙慢8．关于的方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根9．用配方法解方程时，原方程变形为（）A． B．C． D．10．抛物线的部分图像如图所示，其对称轴为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数），其中结论正确的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题11．若、、是二次函数图象上的三点，则、、的大小关系是用“”表示．12．一个不透明的口袋中装有若干个红球和个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则通过计算可以估计出口袋中红球约个．13．已知，其相似比为2：3，则他们面积的比为．14．将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是．15．点关于原点对称的点的坐标为．16．ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．A(－2，3)，B(－1，1)，C(0，2)（1）将ABC向右平移2个单位，作出平移后的A1B1C1；（2）作出A1B1C1关于点C1成中心对称的图形A2B2C2；（3）连接A2B1，则A2B2B1的面积为_________．三、解答题17．计算：（1）（2）18．如图，已知等腰直角，，，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为．19．解方程：（1）（2）20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上．（1）画出向左平移4个单位长度的；（2）以点O为位似中心，在第一象限画出位似图形，使与的相似比为．21．如图，在中，，点D为边上一点，且满足．（1）求证：．（2）若，，求的值．22．根据以下素材，探索完成任务：，结果精确到0.1cm）素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为．素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：）问题解决任务1确定宽度求闸机通道的宽度，即与之间的距离．任务2确定高度若点B、E到地面的距离均为，求点A到地面的距离．任务3能否通过小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由．23．如图，是的内接三角形，点为上一点，点、点分别在线段的两侧，，．（1）求的半径长；（2）如图1，若，求的长；（3）如图2，若，求的度数．24．根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决：任务1：确定桥拱形状是抛物线：在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上，给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，有一艘货船它漏出水面高米，船体宽9米需要从拱桥下通过，给出船航行线路，并判断是否能顺利通行．25．如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F．（1）求证：；（2）连接，若，且F为中点，求的值；（3）若，移动点P，使与相似，直接写出的值．26．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动；（1）当移动几秒时，的面积为．（2）设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由．27．如图，已知平面直角坐标系，直线的经过点和点．（1）求m、n的值；（2）设点P在平面直角坐标系内，过点P作，垂足为A，且，求点P的坐标．（3）设点Q在直线上，且在第一象限内，直线与y轴的交点为点D，如果，求点Q的坐标．28．【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm（观察值）302928.12725.8任务1分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．任务2利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．任务3（1）计算任务2得到的函数解析式的w值．（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4请你简要写出时间刻度的设计方案．

答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】12．【答案】1013．【答案】4：9．14．【答案】15．【答案】16．【答案】解：（1）如图所示：△，即为所求；（2）如图所示：△，即为所求；（3）3．17．【答案】（1）解：；（2）解：．18．【答案】19．【答案】（1）解：方程两边同乘以，得，解得，经检验：是原方程的解；​​​​​​​（2）解：，，，，∴，解得，．20．【答案】（1）解：如图所示：（2）解：如图所示：21．【答案】（1）解：∵，∴，

∴，

∴（2）解：作于H，

∵，，，

∴

∴，

∴

∴，即

∴

∴，即

∴

∴

∴．

答：的值为22．【答案】任务1：如图，连接，并向两边延长，分别交，于点，

，

由题意得

∴的长度就是与之间的距离，

由两圆弧翼成轴对称可得，

在中，

，

，

∴与之间的距离约为；

任务2：如图，过点作垂直于地面于点，过点作交于点，

可得，

在中，，

∴

∵点，到地面的距离均为，

∴，

∴，

答：点到地面的距离约为；

任务3：∵与之间的距离约为，

∴当小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机．23．【答案】（1）解∶∵，，，

∴，

∵，

∴是是直径，

∴的半径为.（2）解：设与相交于点E，

∵，，，，

∴，即，

∴，

∵，是是直径，

∴.（3）解：∵，

∴是等边三角形，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．24．【答案】解：任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示：根据题意可得：，

设该抛物线的表达式为，

把代入得：，

解得：，

∴该抛物线的函数表达式为；

任务2：∵该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，

∴悬挂点的纵坐标，

即悬挂点的纵坐标最小为，

把代入得：

，

解得：，

∴悬挂点的横坐标取值范围为；

方案一：从顶点处开始悬挂，

∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，，

∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼，

最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为；

方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为，

，

∴可以挂（盏），

最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为；

任务3：设圆的圆心为点C，相交于点D，

由题意可得：，

∴，

设该圆的半径为r，则，

根据勾股定理可得：，

则，

解得：；

任务4：由任务3可知，，

当河段水位涨达到最高时，，

∵货船漏出水面高米，

∴该货船顶端与圆心距离，

根据勾股定理可得：，

∴，

∴船体在圆弧的拱顶正下方可以通过．

25．【答案】（1）证明：四边形是矩形，，，，，，，；（2），，，，，设交于点G，四边形是矩形，，，，，，，，，，；（3）或或．理由如下：四边形是矩形，，，，①当时，，P是的中点，，，，即，设，则，，，，，；②当时，，，设，，则，，，，解得，，由①知，，，，或或．26．【答案】（1）解：运动时间为t秒时（），，，∴，解得：，．答：当移动2秒或4秒时，的面积为；（2）解：，解得：．答：当移动3秒时，四边形的面积为．27．【答案】（1）解：把点A、B的坐标分别代入中，得：，解得：，即，；（2）解：过点P作轴于点C，过点B作轴于点D，连接，如图，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，由A、B的坐标知，，，，∴，即，∴，当点C在点A的左侧时，，点P在x轴上方，则点P的坐标为；当点C在点A的右侧时，，点P在x轴下方，则点P的坐标为；综上，点P的坐标为或；（3）解：由（1）知，直线解析式为：，上式中，令，得，则，；因点Q在直线上，故设点，∵，，∴，∴，即，∵，，∴