2026-2027学年宁夏青铜峡市宁朔中学高三上学期第一次月考数学试卷（含解析）

/数学一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.3.已知，则“”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.4.已知关于的不等式的解集为，则的解集为（）A. B.C. D.5.若命题：“，”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.6.若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（）A. B. C. D.7.已知，，，其中为自然常数（），则的大小关系是（）A. B. C. D.8.定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（）A. B.在区间上单调递减C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.的虚部为B.复数在复平面内对应的点位于第四象限C.的共轭复数D.10.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若与的夹角为锐角，则 D.若|+|=，则或11.下列有关函数的命题正确的是（）A.偶函数的定义域为，则B.已知，则“”的必要不充分条件是“为奇函数”C.满足对任意的都有成立，则D.若的定义域是，则的定义域为三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，，则与夹角的余弦值为________．13.已知正实数，满足，则的最大值是__________．14.已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知数列中，，（1）证明数列是等比数列；（2）若数列的通项公式为,求数列的前n项和.16.2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列．（3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的期望和方差．17.如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.18.设的内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，且，求的面积．19.已知函数，.（1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程；（2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：函数有两个零点，（），且满足.

数学一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：可知，则.2.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：在上单调递减，选项A错误；开口向下，对称轴是轴，在区间上单调递减，选项B错误；是指数函数，底数，在上单调递减，选项C错误；是对数函数，底数，在区间上单调递增，选项D正确.3.已知，则“”的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：选项A：若，由，可得；若，由，可得，不满足充分性，故A错误；选项B：根据函数的单调性知，“”是“”的充要条件，故B错误；选项C：由，可得；不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；选项D：“”不能得出，也不能推出，故是的既不充分也不必要条件，故D错误．4.已知关于的不等式的解集为，则的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为的解集为，所以，方程的两个根分别为，所以，，即，，所以不等式为，因为，得，解得．5.若命题：“，”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用全称量词为真命题求出的范围，再取其补集即可得解.解答过程：由，，得当时，对任意实数不恒成立，因此，则，解得，当命题：“，”是假命题时，，所以实数的取值范围是.故选：A6.若正数满足，且恒成立，则实数的范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由已知利用基本不等式“1”的巧用，可求的最小值，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化可求．解答过程：因为正数满足，即，所以，当且仅当，即，时取等号，若不等式恒成立，则，解得，所以实数的范围是.故选：C．7.已知，，，其中为自然常数（），则的大小关系是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据所给的值有相同的形式，进而构造函数，并用函数的导数判断函数的单调性，再利用单调性判断函数值的大小可得.解答过程：因为，，，令，则.又因为，令，得.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；因为，所以，因此.8.定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（）A. B.在区间上单调递减C. D.答案：C解析：思路：由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D.解答过程：由为奇函数有：，即，又，所以，所以，即，所以，所以，故A正确；由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称，当时，，作出函数的图像：由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以，所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确；由，又，在单调递减，所以，故C错误；由于，，，，所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确，故选：C.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.的虚部为B.复数在复平面内对应的点位于第四象限C.的共轭复数D.答案：AD解析：解答过程：对于A，，虚部为，故A正确；对于B，在复平面内对应的点坐标为，位于第三象限，故B错误；对于C，的共轭复数，故C错误；对于D，，故D正确.10.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若与的夹角为锐角，则 D.若|+|=，则或答案：ABD解析：思路：由向量平行的坐标表示判断A，根据向量数量积的坐标运算判断BCD.解答过程：对于选项A，，则，，A正确；对于选项B，，则，，B正确；对于选项C，与的夹角为锐角，则，，但当时，与同向，夹角为，C错；对于选项D，，解得或，D正确.11.下列有关函数的命题正确的是（）A.偶函数的定义域为，则B.已知，则“”的必要不充分条件是“为奇函数”C.满足对任意的都有成立，则D.若的定义域是，则的定义域为答案：AD解析：解答过程：选项A，偶函数的定义域关于原点对称，故区间端点满足，A正确.选项B，若为奇函数，则对任意恒成立：得到，得，可推出；但时，，时，为偶函数，不是奇函数.因此“为奇函数”是“”的充分不必要条件，B错误.选项C，由，得的图象关于点中心对称，即.对配对：，令得，即，总和为，C错误.选项D，的定义域为，即，故，即的定义域为.对，令，解得，即定义域为，D正确.三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，，则与夹角的余弦值为________．答案：解析：思路：不妨设，，利用向量夹角余弦的坐标公式求解即可.解答过程：不妨设，，则，，所以，，设与夹角为，则.13.已知正实数，满足，则的最大值是__________．答案：4解析：解答过程：因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立；正实数满足，得，代入上述不等式可得：，令，由得，不等式转化为：，整理得，即，因为，所以，因此，即，故，得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4.14.已知函数有且仅有三个零点，则a的取值范围是__________．答案：解析：思路：令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解.解答过程：因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根，令，则，由得；得；则在单调递增，在上单调递减，则，因为时；时，且时，所以的函数图象如图：因为不是的根，所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是，但方程的两根的乘积为，所以一个根位于，另一根位于，则，得，故的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知数列中，，（1）证明数列是等比数列；（2）若数列的通项公式为,求数列的前n项和.答案：（1）证明：因为，所以，即，为常数，故数列是等比数列．（2）解析：思路：（1）根据等比数列的概念，计算证明为常数，即可；（2）由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，从而知，进而得，再采用错位相减法，即可得解；（1）略（2）由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，所以，即，所以，故，所以，两式相减得，，所以．16.2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值；（2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列．（3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的期望和方差．答案：（1）．（2）（3），解析：012思路：（1）根据频率分布直方图各柱状频率之和为1计算即可.（2）利用分层抽样方法，先确定的所有可能取值为0，1，2，然后计算对应的概率，进而得到分布列.（3）根据二项分布计算期望和方差即可.（1）依题意，得，解得．（2）依题意，成绩在的人有（人），成绩在的人有（人），用分层随机抽样的方法抽取5人，则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人．所以的所有可能取值为0，1，2，则，，所以的分布列为012（3）因为成绩在的频率为，用频率估计概率，所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为．又全公司中成绩在范围的人有（人），所以的可能取值为0，1，2，3，且．方法一：方法二：，，，．所以的分布列为0123所以，所以.17.如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.答案：（1）取的中点，连接，.因为分别为的中点，所以，且.又，所以，，所以四边形是平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.（1）略（2）连接，因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形.因为是的中点，所以，即,又平面，则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则由题意知，，，所以，.设平面的法向量为，则令，则.因为直线与平面所成角的正弦值为，设直线与平面所成的角为，则，解得，所以.18.设的内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角；（2）若，，且，求的面积．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形的内角和公式，可求得角；（2）首先明确点的位置，求出中线的长，利用向量法表示的长，结合余弦定理，可求得的值，再利用三角形的面积公式求面积即可.（1）由正弦定理：，可得，又，所以，即，所以，所以，得，因为为三角形内角，所以，所以，得．又，所以．（2）如图：因为，所以为的重心．延长交于点，则为中点．因为，所以．因为，所以，所以，即，①在中，由余弦定理得：，又，，所以，②由①②得：．所以．19.已知函数，.（1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程；（2）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：函数有两个零点，（），且满足.答案：（1）（2）（3），令，解得，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增