2026-2027学年山西省部分校高三上学期开学联考数学试卷（含解析）

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据的极差为（）A. B. C. D.2.在等差数列中，若，，则的公差为（）A.3 B.-3 C.5 D.-53.已知集合，，则（）A. B. C. D.4.若直线与曲线相切，则实数（）A. B. C.1 D.25.函数的图象大致为（）A. B.C. D.6.已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（）A. B. C. D.8.在（）的展开式中，含项的系数为，记数列的前项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则（）A. B.的虚部为C.是纯虚数 D.10.已知直线的方程为（），点，曲线上任意一点均满足（其中为坐标原点），则（）A.直线过定点B.存在实数，使直线与曲线无公共点C.直线被曲线截得的弦长的最小值为D.当时，直线被曲线截得的弦长最大11.在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（）A.B.点到平面的距离为C.直线与平面所成角的正弦值为D.点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知椭圆的右焦点，则C的离心率为__________．13.已知函数是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________．14.甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下列联表：白内障患者非白内障患者合计老年人44100非老年人64合计60180（1）请完善上述列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，分析患白内障与年龄是否有关．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.在中，，点在边上，的面积为，，．（1）求；（2）求的面积．17.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在棱上，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）讨论的单调性；（3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点．19.已知双曲线：的右焦点为，一条渐近线方程为．（1）求的方程．（2）设为坐标原点，过点的直线与的右支交于，两点，其中点在第四象限，直线与的另一个交点为．（ⅰ）若，求的方程；（ⅱ）求面积的取值范围．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据的极差为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由极差的定义求解．解答过程：该组样本数据中最小数为：，最大数为：，则该组数据的极差为：．2.在等差数列中，若，，则的公差为（）A.3 B.-3 C.5 D.-5答案：A解析：解答过程：在等差数列中，由性质：，则，解得，已知，则公差.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，，，所以，已知，所以.4.若直线与曲线相切，则实数（）A. B. C.1 D.2答案：D解析：思路：根据导数的几何意义，结合题意求出切点坐标，进而求解值.解答过程：对，求导得.由题意知，解得，即切点的横坐标为，故切点坐标为.代入曲线方程得，所以.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：，，，故是奇函数，所以函数的图象关于原点中心对称，当时，，，令，解得，所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减；A选项中图像关于原点中心对称且在先增后减，符合要求，A正确；B选项中图像关于原点中心对称，但是在先单调递减后单调递增，不符合要求，B错误；C选项中图像在先单调递增再单调递减，但是关于轴对称，不符合要求，C错误；D选项中图像关于原点中心对称，但是在单调递增，不符合要求，D错误；6.已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由垂直条件列出内积方程，再由投影向量定义列出第二个内积方程，联立得到两向量模长的比例关系，最后代入夹角余弦公式直接求出，结合夹角范围得到具体角度.解答过程：由，得，所以，所以在上的投影向量为：，所以由①②得，所以，即，所以，因为，所以.7.在平面直角坐标系中，抛物线：（）的焦点为，过点且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，与轴的交点为，若，则的准线方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，得到直线方程，从而得到点坐标，再结合求出，最后由抛物线准线方程的公式即可求解.解答过程：如图所示，抛物线：（），焦点的坐标为，准线方程为，过点且倾斜角为的直线，其斜率为，因此直线方程为，由于直线与轴的交点为，令，得，所以点的坐标为，将直线方程代入抛物线方程中，得，整理得，解得或，由于交点在第一象限，所以，代入直线方程，得，所以点的坐标为，又因为，所以，解得，所以抛物线的准线方程为.8.在（）的展开式中，含项的系数为，记数列的前项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先由排列组合的知识求含项的系数为，再由裂项相消法求数列的前项和为，再由不等式恒成立求解.解答过程：先取一个，有种取法，再取一个，有种取法，再取，有种取法，剩下的全是1，所以，前项和，由裂项相消求和：，随着的增加而增加，且当趋于正无穷时，趋于，由不等式恒成立得：的最小值为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则（）A. B.的虚部为C.是纯虚数 D.答案：AD解析：解答过程：，故，故A正确，而的虚部为，故B错误，，该复数不是纯虚数，故C错误；，故D正确.10.已知直线的方程为（），点，曲线上任意一点均满足（其中为坐标原点），则（）A.直线过定点B.存在实数，使直线与曲线无公共点C.直线被曲线截得的弦长的最小值为D.当时，直线被曲线截得的弦长最大答案：ACD解析：思路：根据题意，先求得曲线的轨迹方程，结合直线的点斜式方程，直线与圆的位置关系和圆的弦长公式，逐项求解，即可得到答案.解答过程：设曲线上任意一点，则，，因为，可得，整理得，即曲线是以为圆心，半径为的圆，对于A，将直线方程，变形为，因为该式对任意恒成立，则满足，解得，即直线恒过定点，所以A正确；对于B，由定点到圆心的距离为，即点在圆的内部，所以不存在实数，使直线与曲线无公共点，所以B错误；对于C，因为直线过定点，且，即圆心到直线的最大距离为，结合圆的性质，可得弦长的最小值为，所以C正确；对于D，当时，直线的方程为，即，此时圆心在直线上，即直线过圆心，此时直线被曲线截得的弦长为圆的直径，此时为最大弦长，所以D正确.11.在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（）A.B.点到平面的距离为C.直线与平面所成角的正弦值为D.点的轨迹长度为答案：ABD解析：思路：利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长.解答过程：以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，由题得各点坐标：

，是的中点，故.对于选项，向量，，故

.因此，即，正确.对于选项，，设平面的一个法向量，则解得，令，则.因为，所以点到平面的距离为，正确.对于选项，向量，设直线与平面所成角为，则，错误.对于选项，侧面​内的点满足.设，由得：

，化简得.该圆半径为，在矩形​（）内的部分是圆心角为的圆弧，所以轨迹长度为，正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知椭圆的右焦点，则C的离心率为__________．答案：##解析：解答过程：由题设且，而，所以离心率.13.已知函数是奇函数，函数的图象在区间上恰有条对称轴，则的取值范围为________．答案：解析：思路：根据题意，由是奇函数求出，再根据对称轴的性质即可求解.解答过程：已知函数，其中，，由于是奇函数，所以满足，即，得，又因为，当时，，符合题意，所以，因此函数，函数的对称轴满足，即，由于函数的图象在区间上恰有条对称轴，所以不等式恰有两个解，又因为，所以不等式等价于不等式，即，在区间要恰有两个整数，这两个整数只能是和，所以，解得，所以的取值范围为.14.甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________．答案：解析：思路：根据二项分布可求，再根据导数可求何时概率取最大值.解答过程：甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的情况有：甲胜局乙胜1局；甲胜局乙胜2局，故，故，当时，；当时，，故在上单调递增，在单调递减，故时，取最大值.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某眼科研究机构为研究患白内障与年龄是否有关，将年龄在60岁以上（含60岁）的人群定义为老年人，现随机抽取了180名居民，检查其是否患有白内障，得到如下列联表：白内障患者非白内障患者合计老年人44100非老年人64合计60180（1）请完善上述列联表，并分别估计老年人与非老年人患白内障的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，分析患白内障与年龄是否有关．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）白内障患者非白内障患者合计老年人4456100非老年人166480合计60120180老年人患白内障的概率为，非老年人患白内障的概率为.（2）认为患白内障与年龄有关.解析：思路：（1）根据题意补全列联表，进而求概率即可.（2）提出零假设，根据公式求出卡方，进一步比较判断即可.（1）列联表为白内障患者非白内障患者合计老年人4456100非老年人166480合计60120180估计老年人患白内障的概率为，非老年人患白内障的概率为.（2）零假设为：患白内障与年龄无关.，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为患白内障与年龄有关.16.在中，，点在边上，的面积为，，．（1）求；（2）求的面积．答案：（1）（2）33解析：思路：（1）利用三角形面积公式和余弦定理求解；（2）先由正弦定理求得，再由三角形面积公式求得，利用割补法求面积即可.（1）∵，∴.∵，∴为锐角，∴.∴在中，由余弦定理得，∴.（2）由题可得，∴在中，由正弦定理得，∴.∴，∴.17.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在棱上，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）如图，取的中点为，连接，.因为为的中点，所以，.又，所以.因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，故.因为平面，平面，所以平面.（2）.解析：思路：（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可.（1）略（2）连接.因为，，所以，均为等边三角形.取线段的中点，连接，，则，，且.因为平面平面，平面平面，且平面，平面，所以，，两两互相垂直.以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以平面的一个法向量为.设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）讨论的单调性；（3）已知函数（），证明：在上有且只有一个极小值点．答案：（1）（2）在上单调递减.（3）证明：由函数，可得，则，其中，当时，，，此时，单调递减，所以函数在区间上无极值点；设，可得，所以在上单调递增，又因为在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，由零点存在定理可知，存在唯一的使得，当时，；当时，，综上可得，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以在上有且只有一个极小值点.解析：思路：（1）根据题意，把不等式转化为，求得，进而得到不等式的解集；（2）求得，令，得到，求得的单调性与极值，得到，即，即可求