2026年中国精算师协会会员水平测试（准精算师精算模型）复习题及答案

2026年中国精算师协会会员水平测试（准精算师精算模型）复习题及答案一、单项选择题（每题2分，共20题，40分）1.已知生存函数S(x)=1A.0.75B.0.80C.0.875D.0.902.设理赔额X的分布函数为F(x)=1A.500B.1000C.2000D.30003.下列关于死亡力μxA.μx一定是xB.SC.μD.μx表示x4.设N(t)(3)-N(1)$服从的分布为：A.PoissonB.PoissonC.PoissonD.Poisson5.在集体风险模型中，设理赔次数$N\sim\text{Poisson}(50)$，单次理赔额$X$满足$E[X]=2000$，$E[X^2]=6\times10^6$，则总理赔额$S$的方差为：A.1B.2C.3D.46.下列分布中，最适合用于刻画高额低频损失（厚尾损失）的是：A.均匀分布B.正态分布C.Pareto分布D.二项分布7.设理赔次数N与单次理赔额Xi（i=1,2,…）相互独立，N∼Binomial(nA.nB.nC.nD.n8.设{Xn}为状态空间{A.(B.(C.(D.(9.关于强度为λ的Poisson过程N(A.NB.N(C.N(D.相邻事件到达间隔服从Exp10.在Bühlmann信度模型中，设E[Var(X|A.2B.5C.10D.1211.设S=i=1NXiA.MB.MC.MD.M12.Nelson-Aalen估计量主要用于估计：A.生存函数B.累积风险函数C.死亡力的逐点值D.转移概率密度13.用逆变换法生成指数分布Exp(λ)的随机数。若UA.−B.−C.−D.λ14.在经典破产理论中，设理赔到达强度为λ、单次理赔额矩母函数为MX(t)、保费率为A.EB.λC.ED.λ15.设死亡力为常数μx=0.02（即SA.eB.eC.eD.0.416.在有限波动信度理论中，设单次理赔额X的期望为1、方差为4，要求在95%置信水平（z0.975A.1921B.385C.1537D.38417.设损失分布为F(x)=1−eA.Pareto分布B.Weibull分布C.Gamma分布D.Lognormal分布18.个体风险模型中，某保单组合有n张独立保单，第i张保单的理赔概率为qi、理赔额为确定常数bi，则总理赔额A.iB.iC.iD.n19.设{Xn}是离散时间Markov链，其nA.PB.PC.PD.P20.关于破产概率ψ(A.随着初始盈余u增加，ψ(B.当相对安全负荷θ>0C.当相对安全负荷θ>0D.破产概率与初始盈余u无关二、多项选择题（每题2分，共10题，20分；每题至少有2个正确答案，多选、少选、错选均不得分）1.下列关于生存模型的说法，正确的有：A.SB.S(x)C.​D.fE.limx2.下列分布中，适合作为厚尾损失模型的有：A.Pareto分布B.正态分布C.Lognormal分布D.Weibull分布（形状参数c<E.均匀分布3.设N(t)A.NB.N(C.相邻事件到达间隔服从ExpD.EE.在长度为h的任意区间内恰发生一次事件的概率恒等于λh，与h4.关于个体风险模型与集体风险模型，下列说法正确的有：A.个体风险模型中保单数n通常被看作固定常数B.集体风险模型中的理赔次数N是随机变量C.在集体风险模型中，若N以概率1等于常数n且Xi独立同分布，则S的矩母函数为D.个体风险模型的总理赔额一定服从正态分布E.集体风险模型无法刻画理赔次数的不确定性5.关于Markov链，下列说法正确的有：A.有限状态Markov链至少存在一个平稳分布B.若有限Markov链不可约且非周期，则对任意状态i,jC.平稳分布π满足πD.若状态i可到达状态j，则状态j也可到达状态iE.若状态i为吸收态，则一旦进入状态i，之后永远停留6.设S=i=1NXi为复合Poisson分布，NA.EB.VarC.VarD.ME.S一定服从普通Poisson分布7.在经典Cramér-Lundberg破产模型中，下列说法正确的有：A.相对安全负荷θB.当θ>C.当θ≤D.调节系数R越大，Lundberg上界e−E.初始盈余u越大，Lundberg上界越大8.关于Bühlmann信度模型，下列说法正确的有：A.结构参数kB.E[C.Var(D.信度因子Zn=nE.当n→9.关于随机模拟，下列说法正确的有：A.逆变换法的基本思想是令X=FB.对于离散损失分布，逆变换法同样可以使用C.蒙特卡洛模拟的估计方差随模拟次数n增大以1/D.对偶变量法、控制变量法等方差缩减技术可以提高模拟效率E.随机数发生器产生的序列必然完全随机，无需检验10.关于损失分布的统计推断，下列说法正确的有：A.矩估计法以样本矩等于总体矩为原理B.极大似然估计具有渐近无偏性与渐近正态性C.经验分布函数是总体分布函数的非参数估计D.QQ图常用来直观检验损失分布拟合的好坏E.只要样本量足够大，任何分布都能精确拟合所有数据点三、计算题（每题10分，共4题，40分）1.已知新生儿的生存函数为S0(x(1)求f0(x(2)求​10p30(3)求30岁人的完全期望余命e302.设某险种在一年内的理赔次数$N\sim\text{Poisson}(100)$，单次理赔额$X$服从参数为$\lambda=0.01$的指数分布，即$f_X(x)=0.01e^{-0.01x}$（$x>0$）。记一年内总理赔额$S=\sum{i=1}^NXi$。(1)求E[S](2)利用正态近似计算P((3)若保险公司收取保费P，要使P(S≤P)3.设某保险账户每月的状态服从两状态Markov链，状态空间{0,(1)求$P^{(2)}=P^2$，并求$P(X2=0\midX0=1)$；(2)求该链的平稳分布π；(3)若初始分布为P(X04.设某险种的理赔次数N(t)为强度λ=1的Poisson过程，单次理赔额X服从参数μ=0.5(1)求相对安全负荷θ，并判断是否θ>(2)求调节系数R；(3)写出Lundberg破产概率上界，并求当u=10时上界的具体数值（参考答案与解析一、单项选择题1.答案：C解析：${10}p{20}=\dfrac{S(30)}{S(20)}=\dfrac{1-30/100}{1-20/100}=\dfrac{0.7}{0.8}=0.875$。2.答案：B解析：该分布为Pareto分布，形状参数α=3，尺度参数θ=2000。当3.答案：B解析：由μx=−dd4.答案：B解析：Poisson过程具有平稳独立增量性，$N(3)-N(1)\sim\text{Poisson}\left(2\times(3-1)\right)=\text{Poisson}(4)$。5.答案：C解析：复合Poisson分布下Var(6.答案：C解析：Pareto分布具有幂律尾部，属典型厚尾分布；正态分布尾部按指数平方级衰减，不适合拟合极端损失。7.答案：B解析：Var(8.答案：A解析：设π=(π1,π2)，由πP9.答案：C解析：Poisson过程是计数跳跃过程，样本轨道为右连续的阶梯函数，在事件发生时刻跳跃，并非连续函数。10.答案：B解析：k=102=511.答案：A解析：MS12.答案：B解析：Nelson-Aalen估计量Λ(t)13.答案：A解析：由F(x)=1−e−λ14.答案：B解析：调节系数R是方程λM15.答案：A解析：​2016.答案：A解析：E[X217.答案：B解析：该式是Weibull分布的标准形式，η为尺度参数，τ为形状参数。18.答案：B解析：第i张保单的期望理赔额为qibi19.答案：A解析：C-K方程把多步转移概率分解为"先走m步到中间状态k，再走n步到j"的全概率求和。20.答案：C解析：当θ>0（即c>λE[X]）时，二、多项选择题1.答案：A、B、C、D解析：E不恒成立。例如Pareto分布S(x)=(x/2.答案：A、C、D解析：正态分布和均匀分布的尾部衰减过快（指数级或截断），不能反映巨灾等极端损失风险。Pareto、Lognormal与Weibull（c<3.答案：A、B、C、D解析：E错误。恰发生一次的概率为e−λhλh4.答案：A、B、C解析：D错误，仅在保单数很大时可作正态近似，并非精确服从正态分布；E错误，集体风险模型正是通过随机变量N来刻画次数不确定性。5.答案：A、B、C、E解析：D错误。"可到达"不具有对称性；只有i可到达j且j可到达i时才称两状态互通。6.答案：A、C、D解析：B错误：Var(S)=λ7.答案：A、B、C、D解析：E错误：u越大，e−8.答案：A、B、C、D解析：E错误：n→∞时9.答案：A、B、C、D解析：E错误。实际中通常使用伪随机数发生器，其输出必须通过均匀性、独立性等统计检验方可使用。10.答案：A、B、C、D解析：E错误。样本量再大，拟合优度检验仍可能拒绝原假设；拟合本质是对真实分布的一种近似，而非"精确拟合所有数据点"。三、计算题1.答案：(1)f0(x)=(2)${10}p{30}=\dfrac{S_0(40)}{S_0(30)}=\dfrac{1-0.16}{1-0.09}=\dfrac{0.84}{0.91}=\dfrac{84}{91}\approx0.9231$。${20}q{40}=1-{20}p{40}=1-\dfrac{S_0(60)}{S_0(40)}=1-\dfrac{1-0.36}{1-0.16}=1-\dfrac{0.64}{0.84}=\dfrac{5}{21}\approx0.2381$。(3)令y=30+t，则$\mathring{e}(30)}\int{30}^{100}S0(y)\,dy=\dfrac{1}{0.91}\int_{30}^{100}\left(1-\dfrac{y^2}{10000}\right)dy$$=\dfrac{1}{0.91}\left[y-\dfrac{y^3}{30000}\right]_{30}^{100}=\dfrac{1}{0.91}\left[\left(100-\dfrac{100}{3}\right)-\left(30-\dfrac{9}{10}\right)\right]$$=\dfrac{1}{0.91}\times\dfrac{1127}{30}=\dfrac{11270}{273}\approx41.28$。即$\mathring{e}_{30}\approx41.28$年。解析：本题综合考查生存函数、死亡力与期望余命的计算。注意​20(60)}{S_0(40)}$，切勿与${20}q{40}$的不同定义混淆。期望余命对上限取70，因为$S_0(100)=0$时30岁者最多再活70年。2.答案：(1)指数分布Exp(0.01)的E[X]=10.01(2)由正态近似，S≈N10000(3)欲使P(S≤P)解析：复合Poisson分布的二阶矩公式Var(S)=λE[(3)问本质是求总理赔额的95%分位数。3.答案：(1)P2=0.6(2)}=0.39$。(2)设π=(π0,π1)，由πP=π(3)由全概率公式：$P(X2=0)=P(X0=0)P_{00}^{(2)}+P(X0=1)P{10}^{(2)}=0.5\times0.48+0.5\times0.39=0.435$。解析：计算P2时注意矩阵乘法按"行乘列"进行。平稳分布应同时满足