第36讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 2026-2027学年高中数学一轮复习讲义（人教版2019）

第36讲直线与圆、圆与圆的位置关系内内容导航知识点1直线与圆的位置关系知识点2圆的切线方程知识点3直线被圆截得的弦长知识点4圆与圆的位置关系知识点5直线与圆的位置关系知识点6圆的切线方程知识点7圆的弦长和弦心距知识点8圆与圆的位置关系知识点9最值问题题型1过圆上一点的圆的切线方程题型2过圆外一点的圆的切线方程题型3切线段及切点弦的长度题型4切点弦及所在直线的方程题型5直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长题型6过圆内一点的弦及弦长的最值题型7根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系题型8根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系题型9圆上的点到定点的距离及其最值题型10圆上的点到直线的距离及其最值题型11根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系题型12根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系题型13由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数题型14两圆的公切线条数及方程的确定题型15圆系方程题型16相交弦所在直线的方程题型17直线和圆的方程的应用知知识点通关知识点1直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离．（2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离．知识点2圆的切线方程1、点在圆上，如图．法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．必记结论关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过圆上一点的圆的切线方程为（3）过圆上一点的圆的切线方程为（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．知识点3直线被圆截得的弦长1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．知识点4圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含．必记结论圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．知识点5直线与圆的位置关系方法技巧直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．知识点6圆的切线方程方法技巧圆的切线问题求解策略(1)点(x0，y0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0)在圆外．①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．知识点7圆的弦长和弦心距方法技巧直线与圆相交时的弦长求法几何法利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2解题代数法若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长弦长公式法设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])知识点8圆与圆的位置关系方法技巧判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．知识点9最值问题方法技巧最值问题的类型及求解技巧与圆相关的最值问题是解析几何中的经典题型，主要可分为以下三大类型及对应求解技巧：1.代数型最值问题类型：求形如ax+by、x2+y2等代数式的最值。技巧：换元法：利用圆的参数方程（x=a+rcosθ,y=b+rsinθ）将问题转化为三角函数的最值问题。几何意义法：转化为截距、斜率或距离问题2.距离型最值问题类型：求圆上动点到定点、定直线或其他圆上动点的距离最值。技巧：充分利用圆的对称性，将动点问题转化为“圆心到定点/定直线的距离”加上或减去半径。例如，圆上点到直线距离的最大值为d+r，最小值为∣d−r∣（d为圆心到直线距离）。3.面积与向量最值问题类型：求与圆相关的三角形面积、向量数量积的最值。技巧：将面积或向量表达式转化为关于圆心角或坐标的函数，结合基本不等式、二次函数性质或三角函数的有界性进行求解。核心思想：遇到此类问题，应优先挖掘代数式的几何意义，坚持“数形结合”，将代数最值转化为直观的几何位置关系来求解。考考点演练题型1过圆上一点的圆的切线方程【典例1】过椭圆x220+A．x2+y2＝15 B．x2+y2＝16 C．x2+y2＝17 D．x2+y2＝20【变式1】已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y−3）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPBA．2 B．22 C．4 D．题型2过圆外一点的圆的切线方程【典例1】过P（m，n）作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，当△PAB为正三角形时，n+2m−4A．[−43，0] B．（﹣2，1] C．[−【变式1】过点P（3，2）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在直线的方程为（）A．2x+y﹣6＝0 B．x+2y﹣7＝0 C．x﹣y+1＝0 D．3x+y﹣9＝0题型3切线段及切点弦的长度【典例1】已知圆心为C的圆经过A（1，1），B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1＝0上，过点P（3，6）作圆C的一条切线，则切线长为．【变式1】已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A、B，当|PM|•|AB|最小时，点P坐标为．题型4切点弦及所在直线的方程【典例1】在平面直角坐标系中，过点P（3，0）作圆O：(x−1)2+(y−23)2=A．x−3y+3=0 B．x+3y+3=0 C．【变式1】已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：x+2y+2＝0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为．题型5直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长【典例1】已知圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝25，直线l：（m+2）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）A．21 B．221 C．223【变式1】抛物线C：y＝2px2（p＞0）的准线被圆x2+y2＝5所截得的弦长为4，则p＝（）A．8 B．18 C．4 D．题型6过圆内一点的弦及弦长的最值【典例1】平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣3，m∈R与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在y轴上截得的弦长为（）A．23 B．4 C．32【变式1】若倾斜角为锐角且过点（1，0）的直线l截圆（x+2）2+y2＝4所得弦长为2，则l的斜率为（）A．22 B．33 C．1题型7根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系【典例1】已知圆C1与x轴和y轴都相切，且半径为1；圆C2也与x轴和y轴都相切，并且与圆C1外切．若圆C2的半径小于1，则圆C2的半径为（）A．2−2 B．2+2 C．3−22【变式1】若直线3x﹣4y+18＝0与圆心为C（1，﹣1）的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（）A．（0，5） B．（0，6） C．（5，+∞） D．（6，+∞）题型8根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系【典例1】M（x0，y0）为圆x2+y2＝a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y＝a2与该圆的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交【变式1】在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），则下列曲线中存在两个不同的点M，N使得|MA|＝|MB|且|NA|＝|NB|的有（）A．(x−1)2+yC．x2﹣y2＝1 D．y2＝2x题型9圆上的点到定点的距离及其最值【典例1】已知A（﹣5，1），B（1，1），C（1，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝1上运动，则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为（）A．96 B．98 C．100 D．102【变式1】若圆x2+y2＝4上总存在两个点到点（a，1）的距离为3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．(−26C．（﹣1，0）∪（0，1） D．(−2题型10圆上的点到直线的距离及其最值【典例1】已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆x2+y2＝9上的两点，且x1x2+y1y2=−94，设P（x0，y0）为弦AB上一点，且AP【变式1】已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，若直线l：kx﹣y+3k＝0上至少存在一点P，使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2，则实数k的取值范围是．题型11根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系【典例1】已知圆C1：（x﹣7）2+（y﹣12）2＝r2与圆C2：x2+y2﹣4x+3＝0有两个不同的公共点，则半径r的取值范围是（）A．[12，14] B．（12，14） C．[11，15] D．（11，15）【变式1】若圆C1：(x+1)2+(y−1)2=4与C2：(x−2A．46 B．86 C．26题型12根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系【典例1】圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（）A．2 B．22 C．3 D．【变式1】已知圆M：（x﹣t）2+（y+t）2＝3与圆N：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝9（t，m，n∈R）相交于P、Q两点（点M与点N在直线PQ两侧），且|PQ|＝3，则（m﹣t）（n+t）的最大值是（）A．23 B．32 C．2题型13由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数【典例1】已知圆C1：x2+y2=4和圆C2A．2 B．32 C．94 【变式1】画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的蒙日圆是x2+y2＝a2+b2，若圆（x+3）2A．7或47 B．7或47 C．47 D．47题型14两圆的公切线条数及方程的确定【典例1】已知圆O1：(x−a)2+y2A．2 B．3 C．5 D．2【变式1】已知圆C1：x2+A．（﹣∞，﹣5]∪[3，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（3，+∞） C．[﹣5，3] D．（﹣5，3）题型15圆系方程【典例1】圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0 C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【变式1】过直线2x﹣y+1＝0和圆x2+y2﹣2x﹣15＝0的交点且过原点的圆的方程是．题型16相交弦所在直线的方程【典例1】圆：x2+y2﹣4x+6y＝0和圆：x2+y2﹣6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3＝0 B．2x﹣y﹣5＝0 C．3x﹣y﹣9＝0 D．4x﹣3y+7＝0【变式1】圆O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28与O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦长为（）A．23 B．26 C．32题型17直线和圆的方程的应用【典例1】已知点P为圆O：x2+y2＝1上一个动点，O为坐标原点，过P点作圆O的切线与圆O1：x2+y2﹣2x﹣8y＝19相交于两点A，B，则PAPBA．3+22 B．5 C．3+7 【变式1】平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值λ（λ≠1）的点P的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点A（1，0），B（4，0），O（0，0），动点P满足|PA||PB|=12，记点A．点P的轨迹r的方程是x2+y2＝4 B．过点N（1，1）的直线被点P的轨迹r所截得的弦的长度的最小值是23 C．直线x﹣y+4＝0与点P的轨迹r相离 D．已知点M是直线L：x﹣y+4＝0上的动点，过点M作点P的轨迹r的两条切线，切点为C，D，则四边形OCMD面积的最小值是4过过关验收1．已知直线系L：（x﹣4）cosα+ysinα＝4（0≤α≤2π），则（）A．L中所有直线均经过一个定点 B．L中所有直线均与定圆C：（x﹣4）2+y2＝16相切 C．L中所有直线的斜率均存在 D．L中不存在斜率为0的直线2．过点A(−1，3)与圆O：x2+y2＝4相切的直线方程为3．过点（0，﹣2）与圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（）A．64 B．74 C．344．已知圆O：x2+y2＝4，过点P（0，﹣4）作圆O的两条切线，则这两条切线的夹角为（）A．2π3 B．π6 C．π45．过点（1，2）与圆x2+y2＝1相切的直线方程是（）A．x＝1 B．3x﹣4y+5＝0 C．3x﹣4y+5＝0或x＝1 D．5x﹣4y+3＝0或x＝16．过圆O：x2+y2＝4外一点P（3，4）作圆O的切线，切点分别为A，B，则|AB|＝（）A．4215 B．2215 C．7．已知圆C：x2﹣mx+y2+2（2﹣m）y+m﹣1＝0，m∈R．（1）证明：圆C过定点；（2）当m＝0时，点P为直线l：x6+y3=1上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，8．设直线l：y＝2x+4与圆C：x2+y2﹣4y＝0交于A，B两点，则|AB|＝（）A．855 B．455 9．若P（1，2）为圆O：x2+y2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x﹣2y+5＝0 B．2x﹣y+4＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．2x+y﹣4＝010．若直线3x−y=0被圆x2+y2+4my+2m＝0（m∈R）截得的弦长为2，则mA．1 B．﹣1 C．﹣1或13 D．1或11．已知实数x，y满足（|x|﹣1）2+（|y|﹣1）2＝1，则12(x2+y2)−(5x+7y)的最大值为12．已知圆O：x2+y2＝9，直线l：y＝﹣1，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线x﹣y+m＝0与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（）A．32 B．2 C．5213．已知圆x2+（y﹣3）2＝r2（r＞0）上到直线3x+y+3=0的距离为1的点有且仅有2个，则rA．（2，4] B．（4，+∞） C．[2，4] D．（2，4）14．若圆C1：x2+y2=1和C215．已知圆C1：(x−1)2+A．4 B．6 C．4或6 D．16或3616．若圆C：x2+（y+2）2＝4与圆D：（x+4）2+（y﹣1）2＝9的公切线条数为（）A．1 B．2 C．3 D．417．已知圆C1：x2+A．2 B．3 C．4 D．518．已知圆x2+y2﹣2x+2y﹣6＝0与圆x2+y2﹣6x+4y﹣4＝0交于A，B两点，则直线AB的方程为（）A．x﹣y+3＝0 B．2x+y﹣2＝0 C．x﹣2y+1＝0 D．2x﹣y﹣1＝019．已知点M（﹣2，0），⊙O：x2+y2＝1（如图）；若过点M的直线l1交圆于P、Q两点，且圆弧PQ恰为圆周的14，求直线l120．已知圆C经过（﹣2，3），（4，3），（1，0）三点．（1）求圆C的方程；（2）设点A在圆C上运动，点B（7，6），且点M满足AM→=2MB→①求Γ的方程；②试探究：在直线l：y＝x上是否存在定点T（异于原点O），使得对于Γ上任意一点P，都有|PO||PT|为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T第36讲直线与圆、圆与圆的位置关系内内容导航知识点1直线与圆的位置关系知识点2圆的切线方程知识点3直线被圆截得的弦长知识点4圆与圆的位置关系知识点5直线与圆的位置关系知识点6圆的切线方程知识点7圆的弦长和弦心距知识点8圆与圆的位置关系知识点9最值问题题型1过圆上一点的圆的切线方程题型2过圆外一点的圆的切线方程题型3切线段及切点弦的长度题型4切点弦及所在直线的方程题型5直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长题型6过圆内一点的弦及弦长的最值题型7根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系题型8根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系题型9圆上的点到定点的距离及其最值题型10圆上的点到直线的距离及其最值题型11根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系题型12根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系题型13由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数题型14两圆的公切线条数及方程的确定题型15圆系方程题型16相交弦所在直线的方程题型17直线和圆的方程的应用知知识点通关知识点1直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切；无实数解时，直线与圆C相离．（2）几何法：由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交；当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离．知识点2圆的切线方程1、点在圆上，如图．法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即．法二：圆心到直线的距离等于半径．2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．必记结论关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆上一点的圆的切线方程为．（2）过圆上一点的圆的切线方程为（3）过圆上一点的圆的切线方程为（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．知识点3直线被圆截得的弦长1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．知识点4圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离；当时，两圆内切；当时，两圆内含．必记结论圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．知识点5直线与圆的位置关系方法技巧直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．知识点6圆的切线方程方法技巧圆的切线问题求解策略(1)点(x0，y0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0)在圆外．①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．知识点7圆的弦长和弦心距方法技巧直线与圆相交时的弦长求法几何法利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2解题代数法若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长弦长公式法设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])知识点8圆与圆的位置关系方法技巧判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．知识点9最值问题方法技巧最值问题的类型及求解技巧与圆相关的最值问题是解析几何中的经典题型，主要可分为以下三大类型及对应求解技巧：1.代数型最值问题类型：求形如ax+by、x2+y2等代数式的最值。技巧：换元法：利用圆的参数方程（x=a+rcosθ,y=b+rsinθ）将问题转化为三角函数的最值问题。几何意义法：转化为截距、斜率或距离问题2.距离型最值问题类型：求圆上动点到定点、定直线或其他圆上动点的距离最值。技巧：充分利用圆的对称性，将动点问题转化为“圆心到定点/定直线的距离”加上或减去半径。例如，圆上点到直线距离的最大值为d+r，最小值为∣d−r∣（d为圆心到直线距离）。3.面积与向量最值问题类型：求与圆相关的三角形面积、向量数量积的最值。技巧：将面积或向量表达式转化为关于圆心角或坐标的函数，结合基本不等式、二次函数性质或三角函数的有界性进行求解。核心思想：遇到此类问题，应优先挖掘代数式的几何意义，坚持“数形结合”，将代数最值转化为直观的几何位置关系来求解。考考点演练题型1过圆上一点的圆的切线方程【典例1】过椭圆x220+A．x2+y2＝15 B．x2+y2＝16 C．x2+y2＝17 D．x2+y2＝20【答案】C【解答】解：椭圆x220+联立方程x220+y25=1x212−则交点坐标为（﹣4，1），（﹣4，﹣1），（4，1），（4，﹣1），不妨设圆的标准方程为：x2+y2＝r2，代入（4，1）得：r2＝42+12＝17，所以圆的标准方程为：x2+y2＝17．故选：C．【变式1】已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y−3）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPBA．2 B．22 C．4 D．【答案】B【解答】解：已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y−3）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B如图，SOAPB因为当M，O，P三点共线时，|OM|=(此时|OP|min＝|MP|﹣|OM|＝5﹣2＝3，所以四边形OAPB面积的最小值为22故选：B．题型2过圆外一点的圆的切线方程【典例1】过P（m，n）作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A、B，当△PAB为正三角形时，n+2m−4A．[−43，0] B．（﹣2，1] C．[−【答案】A【解答】解：如图所示，因为PA是圆的切线，A为切点，所以根据圆的切线的性质，可得OA⊥PA，因为△PAB为正三角形，所以∠OPA＝30°，所以|OP|=|OA|所以点P到原点的距离为2，所以点P（m，n）的轨迹方程为m2+n2＝4．令k=n+2m−4，可得km﹣n﹣4则圆心O（0，0）到直线km﹣n﹣4k﹣2＝0的距离为d=|−4k−2|令d≤2，即|4k+2|k2+1≤2，整理得12k2+16k≤0，即解得−43≤k≤0，即n+2故选：A．【变式1】过点P（3，2）作圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3的两条切线，切点分别为A和B，则切点弦AB所在直线的方程为（）A．2x+y﹣6＝0 B．x+2y﹣7＝0 C．x﹣y+1＝0 D．3x+y﹣9＝0【答案】A【解答】解：连接CA、CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，点P、A、C、B共圆，根据∠PAC＝∠PBC＝90°，可知CP是四边形PACB外接圆的直径，由P（3，2），C（1，1），可得PC中点为(2，3半径等于12所以四边形PACB的外接圆的方程为(x−2)2+(y−32)2=54，即x2将圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3化成一般形式，可得x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0…②，因为直线AB为是圆C与四边形PACB的外接圆的公共弦所在直线，所以①、②两式相减，化简得AB的方程为2x+y﹣6＝0．故选：A．题型3切线段及切点弦的长度【典例1】已知圆心为C的圆经过A（1，1），B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1＝0上，过点P（3，6）作圆C的一条切线，则切线长为．【答案】53【解答】解：因为圆心为C的圆经过A（1，1），B（2，﹣2），且圆心C在直线l：x﹣y+1＝0上，所以设圆心坐标为：C（a，b），圆的半径为r，则(1−a)2+(1−b)所以圆的方程为：（x+3）2+（y+2）2＝25，则|PC|=(3+3所以切线长为|PC|2故答案为：53【变式1】已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x+y+2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A、B，当|PM|•|AB|最小时，点P坐标为．【答案】（﹣1，0）．【解答】解：将⊙M的方程整理成标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，所以圆心M（1，1），半径r＝2．∵S四边形PAMB∴要使|PM|•|AB|最小，只需|PM|最小，显然当PM与直线l垂直时，|PM|有最小值，此时直线PM的方程为y−1=12(x−1)联立y=12x+12即P（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．题型4切点弦及所在直线的方程【典例1】在平面直角坐标系中，过点P（3，0）作圆O：(x−1)2+(y−23)2=A．x−3y+3=0 B．x+3y+3=0 C．【答案】A【解答】解：圆O：(x−1)2+(y−2以P（3，0）、O(1，23)为直径，则PO的中点坐标为N(2，3∴以N为圆心，PO为直径的圆的方程为(x−2)因为过点P（3，0）圆O：(x−1)2+(y−23)∴AB是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程为：x−3故选：A．【变式1】已知⊙C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：x+2y+2＝0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为．【答案】x+2y+1＝0．【解答】解：⊙C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，则圆心C（1，1），半径r＝2．因为四边形MACB的面积S＝2S△CAM＝|CA|•|AM|＝2|AM|＝2|CM|要使四边形MACB面积最小，则需|CM|最小，此时CM与直线l垂直，直线CM的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，联立y=2x−1x+2y+2=0，解得M（0，﹣1）．则|CM|=则以CM为直径的圆的方程为（x−12）2+y2与⊙C的方程作差可得直线AB的方程为x+2y+1＝0．故答案为：x+2y+1＝0．题型5直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长【典例1】已知圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝25，直线l：（m+2）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）A．21 B．221 C．223【答案】B【解答】解：将（m+2）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1＝0整理可得m（x+2y﹣3）+（2x﹣y﹣1）＝0，令x+2y−3=02x−y−1=0，解得x＝1，y即直线l恒过定点P（1，1），因为圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝25的圆心C（1，﹣1），半径r＝5，所以圆心到定点P的距离为|CP|=(1−1所以点P在圆C内，直线l与圆C始终相交，当CP⊥l时，直线l被圆C截得的弦长取得最小值，为2r故选：B．【变式1】抛物线C：y＝2px2（p＞0）的准线被圆x2+y2＝5所截得的弦长为4，则p＝（）A．8 B．18 C．4 D．【答案】B【解答】解：抛物线y＝2px2化为标准方程是x2=12py，其中所以抛物线的准线方程为y=−1圆x2+y2＝5的圆心为O（0，0），半径为r=5，则圆心O到准线y=−18p的距离为所以直线y=−18p被圆x2+y2＝5所截得的弦长为2r2−d2=故选：B．题型6过圆内一点的弦及弦长的最值【典例1】平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2+mx﹣3，m∈R与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆在y轴上截得的弦长为（）A．23 B．4 C．32【答案】B【解答】解：y＝x2+mx﹣3与y轴交点：令x＝0，得y＝﹣3，设交点为A（0，﹣3）；与x轴交点：令y＝0，得x2+mx﹣3＝0，设方程的两个不同实根x1，x2，判别式Δ＝m2+12＞0，设交点B（x1，0），C（x2，0），共三个不同交点，设过三点的圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将A（0，﹣3）代入得：9﹣3E+F＝0，将B（x1，0），C（x2，0）代入，x1且x1相减得：（D﹣m）x1+（3+F）＝0，（D﹣m）x2+（3+F）＝0，因为x1≠x2，故系数必为0，得D＝m，F＝﹣3，代入9﹣3E+F＝0，解得E＝2，令x＝0代入圆方程得：y2+2y﹣3＝0，设两根为y1，y2，由韦达定理：y1+y2＝﹣2，y1y2＝﹣3，弦长为：|y因此弦长为4．故选：B．【变式1】若倾斜角为锐角且过点（1，0）的直线l截圆（x+2）2+y2＝4所得弦长为2，则l的斜率为（）A．22 B．33 C．1【答案】A【解答】解：根据题意，直线l的斜率存在且为正数，设直线l：y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0，圆C：（x+2）2+y2＝4的圆心为C（﹣2，0），半径r＝2，圆心C到直线l的距离为d=|−2×k−0−k|根据直线l被圆C截得的弦长为2(r2−d2)所以4−9k2k2+1=1⇒9k2k2+1=3故选：A．题型7根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系【典例1】已知圆C1与x轴和y轴都相切，且半径为1；圆C2也与x轴和y轴都相切，并且与圆C1外切．若圆C2的半径小于1，则圆C2的半径为（）A．2−2 B．2+2 C．3−22【答案】C【解答】解：根据对称性，不妨设此时C1的圆心位于第一象限，因为圆C2的半径小于1，且与C1外切，所以圆C2的圆心也位于第一象限，因为圆C1的半径为1，所以C1（1，1），C2（a，a），且C2的半径为a，且0＜a＜1，根据两圆外切，则|C解得a=3−22故选：C．【变式1】若直线3x﹣4y+18＝0与圆心为C（1，﹣1）的圆相离，则该圆的半径的取值范围是（）A．（0，5） B．（0，6） C．（5，+∞） D．（6，+∞）【答案】A【解答】解：由题意，圆心C（1，﹣1）到直线3x﹣4y+18＝0的距离d=|3+4+18|因为直线3x﹣4y+18＝0与圆心为C（1，﹣1）的圆相离，所以该圆的半径的取值范围是（0，5）．故选：A．题型8根据联立直线和圆的方程解的情况求解直线与圆的位置关系【典例1】M（x0，y0）为圆x2+y2＝a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y＝a2与该圆的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交【答案】C【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r＝a，由M为圆内一点得到：x02则圆心到已知直线的距离d=|−a2|所以直线与圆的位置关系为：相离．故选：C．【变式1】在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），则下列曲线中存在两个不同的点M，N使得|MA|＝|MB|且|NA|＝|NB|的有（）A．(x−1)2+yC．x2﹣y2＝1 D．y2＝2x【答案】BD【解答】解：由题，线段AB的垂直平分线为：x﹣y＝0，与曲线有两个不同的交点，对于A，圆心(1，0)，r=22，圆心到直线的距离为22对于B，联立y=xx22对于C，y=xx2−对于D，y=xy2=2x故选：BD．题型9圆上的点到定点的距离及其最值【典例1】已知A（﹣5，1），B（1，1），C（1，﹣2）三点，点P在圆x2+y2＝1上运动，则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为（）A．96 B．98 C．100 D．102【答案】D【解答】解：由题意设P（cosθ，sinθ），则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2＝（cosθ+5）2+（sinθ﹣1）2+2（cosθ﹣1）2+2（sinθ﹣1）2+3（cosθ﹣1）2+3（sinθ+2）2＝＝6cos2θ+6sin2θ+6sinθ+45＝51+6sinθ，因为﹣6≤6sinθ≤6，所以原式的最大值为57，最小值为45，所以最大值与最小值的和为102．故选：D．【变式1】若圆x2+y2＝4上总存在两个点到点（a，1）的距离为3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．(−26C．（﹣1，0）∪（0，1） D．(−2【答案】D【解答】解：若圆x2+y2＝4上总存在两个点到点（a，1）的距离为3，圆x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径为r＝2，设圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝9，由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以3−2＜a解得0＜a2＜24，即−26＜a＜0或所以实数a的取值范围是(−26故选：D．题型10圆上的点到直线的距离及其最值【典例1】已知A（x1，y1），B（x2，y2）为圆x2+y2＝9上的两点，且x1x2+y1y2=−94，设P（x0，y0）为弦AB上一点，且AP【答案】5+25【解答】解：因为AP→所以（x0﹣x1，y0﹣y1）＝2（x2﹣x0，y2﹣y0），即3x两式平方相加得，9(x即x0所以点P的轨迹是以（0，0）为圆心，半径r＝2的圆，而|x所以|x0+2y0﹣5|的几何意义为P（x0，y0）到直线x+2y﹣5＝0的距离的5倍，因为圆心（0，0）到直线x+2y﹣5＝0的距离为d=|0+2×0−5|所以圆上的点到直线x+2y﹣5＝0距离的最大值为r+d＝2+5所以|x0+2y0﹣5|的最大值是5(2+故答案为：5+25【变式1】已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0，若直线l：kx﹣y+3k＝0上至少存在一点P，使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2，则实数k的取值范围是．【答案】(−5【解答】解：圆C：x2+（y﹣2）2＝1的圆心C（0，2），半径r＝1，由圆C上恰有两个点与点P的距离都为2，得以点P为圆心，2为半径的圆与圆C相交，则|2﹣r|＜|PC|＜|2+r|，即1＜|PC|＜3，令圆心C到直线l的距离为d，直线l：kx﹣y+3k＝0上任意点到圆心距离都不小于d，又直线l上至少存在一点P，使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为2，因此d＜3，而d=|−2+3k|k2解得k＞−5所以实数k的取值范围是(−5故答案为：(−5题型11根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系【典例1】已知圆C1：（x﹣7）2+（y﹣12）2＝r2与圆C2：x2+y2﹣4x+3＝0有两个不同的公共点，则半径r的取值范围是（）A．[12，14] B．（12，14） C．[11，15] D．（11，15）【答案】B【解答】解：圆C2：x2+y2﹣4x+3＝0化为标准式为（x﹣2）2+y2＝1，则C1（7，12），C2（2，0），r1＝r，r2＝1，又两圆有两个不同的公共点，则|r﹣1|＜|C1C2|＜r+1，即|r﹣1|＜13＜r+1，即12＜r＜14．故选：B．【变式1】若圆C1：(x+1)2+(y−1)2=4与C2：(x−2A．46 B．86 C．26【答案】A【解答】解：由题意，圆C1：(x+1)2+(y−1)2圆C2：(x−2)2连接C1C2，交MN于点A，则C1C2⊥MN，联立(x+1)2+(y−1)2=4(x−2)2|AC|MN|=2r|C所以四边形MC1NC2的面积S=1故选：A．题型12根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系【典例1】圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（）A．2 B．22 C．3 D．【答案】B【解答】解：联立方程：x2两式相减可得公共弦方程x﹣y+2＝0，方法一：联立方程：x2得x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2，即公共弦的端点坐标为（0，2），（﹣2，0），根据两点间的距离公式可得公共弦长为d=2方法二：圆x2+y2﹣4＝0的圆心坐标为（0，0），半径为r＝2，圆心到公共弦的距离为d1公共弦长为d=2r故选：B．【变式1】已知圆M：（x﹣t）2+（y+t）2＝3与圆N：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝9（t，m，n∈R）相交于P、Q两点（点M与点N在直线PQ两侧），且|PQ|＝3，则（m﹣t）（n+t）的最大值是（）A．23 B．32 C．2【答案】D【解答】解：由题意，得圆M的圆心为M（t，﹣t）、半径为3，圆N的圆心为N（m，n）、半径为3，连接PM、PN、MN，则|PM|=3，|PN|＝3，．MN⊥PQ因为|PQ|＝3，所以|PH|=3则|MN|＝|MH|＝|NH|=3−94所以(m−t)2+(n−t即关于t的方程2t2﹣2（m﹣n）t+m2+n2﹣12＝0有实根，则Δ＝4（m﹣n）2﹣8（m2+n2﹣12）≥0，即（m+m）2≤24，而（m﹣t）（n+t）≤(m−t+n+t当且仅当m﹣t＝n+t时取等，所以（m﹣t）（n+t）的最大值为6．故选：D．题型13由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数【典例1】已知圆C1：x2+y2=4和圆C2A．2 B．32 C．94 【答案】C【解答】解：由题意可得圆C1圆心为C1（0，0），半径r1＝2，圆C2圆心为C2（2，2），半径r2＝2，则|C则r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，故两圆相交，则其公共弦的方程为x2+y2﹣4﹣[（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣4]＝4x+4y﹣8＝0，即为x+y﹣2＝0，若位于第一象限的点P（a，b）在两圆的公共弦上，则P（a，b）（a＞0，b＞0）在x+y﹣2＝0上，即有a+b＝2，则2a+12b=12（a+b）（2a+12b）=当且仅当a2b=2ba，即a=则2a+1故选：C．【变式1】画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的蒙日圆是x2+y2＝a2+b2，若圆（x+3）2A．7或47 B．7或47 C．47 D．47【答案】B【解答】解：由椭圆的方程x2可得m＞0且m≠2，且蒙日圆方程为x2+y2＝m+2，可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为r=m+2又由圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为A（﹣3，4），半径为2，因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，可得|OA|=2+m+2或OA|=|2−又因为|OA|=(−3所以2+m+2=5或解得m＝7或m＝47．故选：B．题型14两圆的公切线条数及方程的确定【典例1】已知圆O1：(x−a)2+y2A．2 B．3 C．5 D．2【答案】C【解答】解：依题意，圆心分别为O1：x2−2ax+y2+a2−1=0，因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以|O1O2|＝|r1﹣r2|，即a2+4b令a＝2cosα，b＝sinα，（其中α为参数），则a+b=2cosα+sinα=5sin(α+φ)≤5即最大值为：5．故选：C．【变式1】已知圆C1：x2+A．（﹣∞，﹣5]∪[3，+∞） B．（﹣∞，﹣5）∪（3，+∞） C．[﹣5，3] D．（﹣5，3）【答案】A【解答】解：由圆C1：x2+y2圆C2：x2+y2−2mx+m因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离，故d≥r1+r2，即d=(m+1)即（m+1）2+9≥25，解得m∈（﹣∞，﹣5]∪[3，+∞），则m的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[3，+∞）．故选：A．题型15圆系方程【典例1】圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（）A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0 C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0【答案】A【解答】解：x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0解得两圆交点为M（2+102，2+102）与N（因为所求圆经过此两点，连接MN，MN即是所求圆的一段弦．因为MN的斜率K1＝1所以其垂直平分线斜率k2＝﹣1；MN中点P坐标为（1，1）所以垂直平分线为y＝﹣x+2垂直平分线与直线x﹣y﹣4＝0上的交点即圆圆心，联立两方程y＝﹣x+2x﹣y﹣4＝0解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1）连接OM即为圆半径r=(3−2+102)2+(−1−2+102)2=13所以所求圆的方程为（x﹣3）2故选：A．【变式1】过直线2x﹣y+1＝0和圆x2+y2﹣2x﹣15＝0的交点且过原点的圆的方程是．【答案】x2+y2+28x﹣15y＝0【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2﹣2x﹣15+λ（2x﹣y+1）＝0，因为过直线2x﹣y+1＝0和圆x2+y2﹣2x﹣15＝0的交点的圆过原点，所以可得﹣15+λ＝0，解得λ＝15．将λ＝15代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：x2+y2+28x﹣15y＝0．故答案为：x2+y2+28x﹣15y＝0．题型16相交弦所在直线的方程【典例1】圆：x2+y2﹣4x+6y＝0和圆：x2+y2﹣6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3＝0 B．2x﹣y﹣5＝0 C．3x﹣y﹣9＝0 D．4x﹣3y+7＝0【答案】C【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y＝0和圆：x2+y2﹣6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y＝0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x＝0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：y+33=x−23−2，即3故选：C．【变式1】圆O1：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝28与O2：x2+（y﹣4）2＝18的公共弦长为（）A．23 B．26 C．32【答案】D【解答】解：已知圆O1：(x−1)两圆方程作差，得到其公共弦的方程为AB：x﹣3y+12＝0，而圆心O1到直线AB的距离为d=|1−3+12|圆O1的半径为27，所以1所以|AB|=62故选：D．题型17直线和圆的方程的应用【典例1】已知点P为圆O：x2+y2＝1上一个动点，O为坐标原点，过P点作圆O的切线与圆O1：x2+y2﹣2x﹣8y＝19相交于两点A，B，则PAPBA．3+22 B．5 C．3+7 【答案】A【解答】解：位若两圆圆心在切线的两侧，如图所示，连接AO1，OO1，过O1作O1M⊥AB垂足为M，连接OP并延长与过O1且与AB平行的直线相交于点N，设|O1M|＝x，则0⩽x⩽17当x=17−1时，P与M重合，此时当0⩽x⩽17−1=|MA|−|PM|+2|PM|而|MA||PM|∴|MA|又当0⩽x＜17−1时，∵函数y=x+64x在∴x+10+64x+10的最小值为∴|MA||MB|的最小值为32，∴位若两圆圆心在切线的异侧，作O1M⊥AB交AB于M，连接OP，则OP⊥AB，设O1M＝x，则BM=36−x∴PAPB令m=36−x2，n=由题意知nm∈(0，1)，∴令t＝x﹣10，则x＝t+10，∴nm=1−∴PAPB∴(PA故选：A．【变式1】平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值λ（λ≠1）的点P的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点A（1，0），B（4，0），O（0，0），动点P满足|PA||PB|=12，记点A．点P的轨迹r的方程是x2+y2＝4 B．过点N（1，1）的直线被点P的轨迹r所截得的弦的长度的最小值是23 C．直线x﹣y+4＝0与点P的轨迹r相离 D．已知点M是直线L：x﹣y+4＝0上的动点，过点M作点P的轨迹r的两条切线，切点为C，D，则四边形OCMD面积的最小值是4【答案】ACD【解答】解：对于A：设P（x，y），由|PA||PB|=1化简得x2+y2＝4，故A正确；对于B：由上可知点P的轨迹r为圆，圆心坐标为（0，0），半径r＝2，点N与原点距离d=(1−0过点N（1，1）的直线被点P的轨迹r所截得弦的长度的最小值2r2−d2=22对于C：圆心到直线x﹣y+4＝0的距离为22＞r所以直线x﹣y+4＝0与点P的轨迹r相离，故C正确；对于D：设M（t，t+4），则|MC|=|MO所以四边形OCMD面积S＝2S△OCM＝2×12|MC|×2＝2|MC|＝22t2+8t+12=2故选：ACD．过过关验收1．已知直线系L：（x﹣4）cosα+ysinα＝4（0≤α≤2π），则（）A．L中所有直线均经过一个定点 B．L中所有直线均与定圆C：（x﹣4）2+y2＝16相切 C．L中所有直线的斜率均存在 D．L中不存在斜率为0的直线【答案】B【解答】解：A中，直线系L：（x﹣4）cosα+ysinα＝4（0≤α≤2π），当sinα≠0时，直线方程为y=−cosαsinα（x﹣4）+4由sinα不是定值，所以点（4，4sinα所以A不正确；B中，因为圆心C（4，0）到直线L的距离d=4sin2α+cos2α=C中，当α＝0，π，2π时，sinα＝0，此时直线L的斜率不存在，所以C不正确；D中，当α=π2，3π2时，cosα＝0，此时直线L故选：B．2．过点A(−1，3)与圆O：x2+y2＝4相切的直线方程为【答案】x−3y【解答】解：将点A(−1，3)代入圆O：x2+y所以点A在圆O上，故所求切线与直线OA垂直，又kOA=−3故所求切线方程为y−3=1故答案为：x−3y3．过点（0，﹣2）与圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（）A．64 B．74 C．34【答案】B【解答】解：因为圆（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4的圆心C（4，2），半径r＝2，设P（0，﹣2），可得|PC|=42+(2+2由题意可得sinα2因为α为锐角，可得cosα2所以sinα＝2sinα2cosα2=故选：B．4．已知圆O：x2+y2＝4，过点P（0，﹣4）作圆O的两条切线，则这两条切线的夹角为（）A．2π3 B．π6 C．π4【答案】D【解答】解：如图，设过点P的切线与圆的切点分别为A，B，连接OA，OB，在Rt△PAO中，sin∠APO=|OA||OP|=因为∠APB＝2∠APO，所以这两条切线的夹角为∠APB=2∠APO=π故选：D．5．过点（1，2）与圆x2+y2＝1相切的直线方程是（）A．x＝1 B．3x﹣4y+5＝0 C．3x﹣4y+5＝0或x＝1 D．5x﹣4y+3＝0或x＝1【答案】C【解答】解：设切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0．根据圆心（0，0）到切线的距离等于半径可得|2−k|1+解得k=34，故切线方程为3x﹣4当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1与已知圆相切综上可得，与已知圆相切的圆的方程为：3x﹣4y+5＝0或x＝1故选：C．6．过圆O：x2+y2＝4外一点P（3，4）作圆O的切线，切点分别为A，B，则|AB|＝（）A．4215 B．2215 C．【答案】A【解答】解：圆O：x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径r＝2，如图所示，可知|OA|=|OB|=2，PA⊥OA，PB⊥OB，|OP|=32+根据圆的对称性，可知OP⊥AB，则12×|OP|×|AB|=1故选：A．7．已知圆C：x2﹣mx+y2+2（2﹣m）y+m﹣1＝0，m∈R．（1）证明：圆C过定点；（2）当m＝0时，点P为直线l：x6+y3=1上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，【答案】（1）证明见解析．（2）面积最小值为53，2x+4y【解答】解：（1）依题意，将圆C的方程x2﹣mx+y2+2（2﹣m）y+m﹣1＝0化为x2+y2+4y﹣1+（1﹣x﹣2y）m＝0，令1﹣x﹣2y＝0，即x＝1﹣2y，则（1﹣2y）2+y2+4y﹣1＝0恒成立，解得x＝1，y＝0，即圆C过定点（1，0）．（2）当m＝0时，圆C：x2+（y+2）2＝5，直线l：x设P（s，t），依题意四边形PACB的面积S=2S当|PA|取得最小值时，四边形PACB的面积最小，又|PA|=|PC|2−5，即当|圆心C（0，﹣2）到直线l：x6+即|PC|Smin=15×5此时直线PC与直线l垂直，所以直线PC的方程为y＝2x﹣2，与直线l联立，解得P（2，2），设以PC为直径的圆Q上任意一点D（x，y），DP→故圆Q的方程为x（x﹣2）+（y+2）（y﹣2）＝0，即x2+y2﹣2x﹣4＝0，又圆C：x2+y2+4y﹣1＝0，两式作差可得直线AB方程2x+4y+3＝0．8．设直线l：y＝2x+4与圆C：x2+y2﹣4y＝0交于A，B两点，则|AB|＝（）A．855 B．455 【答案】A【解答】解：圆C：x2+y2﹣4y＝0化为标准方程为x2+（y﹣2）2＝4，圆心C（0，2），半径为2．圆心到直线l：2x﹣y+4＝0的距离为|0−2+4|4+1所以|AB|＝24−4故选：A．9．若P（1，2）为圆O：x2+y2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x﹣2y+5＝0 B．2x﹣y+4＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．2x+y﹣4＝0【答案】C【解答】解：由题意P（1，2）为圆O：x2+y2＝9的弦AB的中点，可知直线AB的斜率存在，且OP⊥AB∴kAB•kOP＝﹣1，∵kOP=2−0∴直线AB的方程为y−2=−12(x−1)，即x故选：C．10．若直线3x−y=0被圆x2+y2+4my+2m＝0（m∈R）截得的弦长为2，则mA．1 B．﹣1 C．﹣1或13 D．1或【答案】D【解答】解：将题中的圆化成标准方程，可得x2+（y+2m）2＝4m2﹣2m，因为该方程表示圆，所以4m2﹣2m＞0，解得m＜0或m＞1可得圆x2+（y+2m）2＝4m2﹣2m的半径r=4m2设圆心为C，则点C到直线3x−y=0的距离d=因为直线3x−y=0被圆x2+y2+4my+2m＝0（m∈R所以2r2−d2=2，即r2﹣d2＝1，可得（4m2整理得3