2026-2027学年吉林省吉林市第一中学平行班高二上学期第一次月考数学试卷

/2026-2027学年吉林省吉林市第一中学平行班高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.经过点P(1,−1)且与直线2x+A.2x+y−7=0 B.2x+2.圆C：x2+y2−4A.2 B.2 C.223.已知空间向量a=(3,−3,2)，b=(2,0,−3)，c=(−6,6,−4)A.a⊥b，a//c B.a⊥b,a⊥c4.已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的两个焦点分别为F1，A.b2a B.b2c C.5.已知焦点在x轴上的椭圆x264+y2b2A.2 B.4 C.8 D.166.已知圆O：x2+y2=1与圆C：(x−3)2+y2=r2A.4 B.2 C.23 7.下列三个图中的多边形均为正多边形，A(B)是正多边形的顶点，椭圆过A(B)且均以图中的F1，F2为焦点，设图①，②，③中的椭圆的离心率分别为e1A.e1>e2>e3 B.8.已知点O是坐标原点，点Q是圆(x−3)2+(y+4)2A.8 B.7 C.6 D.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆C：x2+y2−6x+4A.圆C的圆心坐标为(3,−2)，半径为5 B.直线l恒过定点(2,1)

C.当m=1时，直线l与圆C相离 D.直线l被圆C截得的弦长最小值为10.如图，点M，N分别是棱长为2的正四面体OABC的边OA和BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN.则(

)A.OP=16OA+13OB+13OC

11.如图，类似“心形”的曲线E，可以看成由上部分曲线C1：y=−x2+2|x|和下部分曲线C2A.曲线C2的方程为y25+x24=1(y≤0)

B.x2+(y−1)2的最大值为1+5

C.若直线y=x+m与曲线12.已知椭圆C：x2k+y29=113.已知A(1,−2)，B(2,1)，且过点P(0,−1)的直线l与线段AB总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是

，倾斜角α的取值范围是

14.已知A是平面α内一定点，B是平面α外一定点，|AB|=2，点B到平面α的距离为1.设平面α内的动点C到点A、点B的距离之比为43，则点C四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知直线l：mx+y+2m−1=0，该直线与圆C：x2+y2+4x−2y+a=0(a∈R)交于16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点

(1)证明：AE⊥平面PBC；

(2)若F是BC上靠近B的四等分点，

(i)求EF和平面ABCD17.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C过点(1,32)，离心率e=32．

(1)求椭圆C的焦距；

(2)设直线y=x+m与椭圆C18.(本小题17分)

如图，点P为正方形ABCD所在平面外一点，M为PA中点，DE=λDP(0<λ<1)．

(1)求证：PC//平面BDM；

(2)若平面ABCD⊥平面ABP，AB=BP=2，AB⊥BP．

①若点E到平面BDM的距离为419.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，过椭圆C上一点A(2,1)作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于异于点A的M，N两点．

(1)求椭圆C的方程；1.【正确答案】B

2.【正确答案】C

3.【正确答案】A

4.【正确答案】B

5.【正确答案】C

6.【正确答案】D

7.【正确答案】B

8.【正确答案】C

9.【正确答案】ABD

10.【正确答案】AC

11.【正确答案】ACD

12.【正确答案】5或13

13.【正确答案】[−1,1][3π

14.【正确答案】815.【正确答案】a=−4；

y=−416.【正确答案】(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，且BC⊂底面ABCD，∴PA⊥BC，

∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，且PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB．

∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC．

由PA=AB，E为线段PB的中点，可知AE⊥PB，

∵PB∩BC=B，且PB，BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC．

(2)(i)取AB的中点M，连接EM，FM．

∵E为PB中点，∴EM是△PAB的中位线，故EM//PA，且EM=12PA=1．

又∵PA⊥底面ABCD，∴EM⊥底面ABCD，因此FM是EF在底面ABCD内的投影，

∠EFM即为直线EF与平面ABCD所成的角．由题意可知F是BC的四等分点，BC=2，

故BF=14BC=12.又∵M是AB中点，AB=2，故MB=1．

在Rt△MBF中，FM=MB2+BF2=12+(12)2=52．

17.【正确答案】(1)23

18.【正确答案】(1)连接AC交BD于点Q，连接QM，如图所示：

易知以Q为AC中点，又M为PA中点，

故QM//PC，又QM⊂面BDM，PC⊄面BDM，

故PC//面BDM19.【正确答案】x26+y23=1

证明：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

因为AM⊥AN，

所以AM⋅AN=0，

即(x1−2)(x2−2)+(y1−1)(y2−1)=0，

当直线MN的斜率存在时，

设直线MN的方程为y=kx+m，

联立y=kx+mx26+y23=1，消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6